初中沪教版（五四制）（2024）17．1 一元二次方程的概念优秀当堂检测题

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1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．(x-1)2=(x-1)(x+1)C．3x2-4=yD．
【答案】A
【详解】解：是一元二次方程，故A符合题意；
(x-1)2=(x-1)(x+1)即 不是一元二次方程，故B不符合题意；
3x2-4=y是二元二次方程，故C不符合题意；
是分式方程，故D不符合题意；
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣x＝x2+3B．
C．x2＝﹣1D．
【答案】C
【详解】解：A、方程整理为，是一元一次方程，此项不符题意；
B、方程中的是分式，不是一元二次方程，此项不符题意；
C、方程是一元二次方程，此项符合题意；
D、方程中的不是整式，不是一元二次方程，此项不符题意；
3．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．ax2﹣bx+c＝0B．2ax（x﹣1）＝2ax2+x﹣5
C．（a2+1）x2﹣x+6＝0D．（a+1）x2﹣x+a＝0
【答案】C
【详解】解：A．当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B．2ax（x-1）=2ax2+x-5整理后化为：-2ax-x+5=0，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C．（a2+1）x2-x+6=0，是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意；
D．当a=-1时，（a+1）x2-x+a=0不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
4．（2022·上海·八年级专题练习）当m为何值时，关于x的方程（m+）+2（m﹣1）x﹣1=0是一元二次方程？
【答案】m=
【详解】解：依题意得：m2﹣1=2且m+≠0，
解得：m=．
考查题型二 一元二次方程的一般形式
5.关于x的一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是4，则这个一元二次方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】∵关于x的二次方程的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是4，∴这个方程是．
6．一元二次方程化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，则的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【答案】B
【详解】方程整理得：x2﹣ax+1=0．
∵结果一次项系数为﹣1，∴﹣a=﹣1，即a=1．
7．一元二次方程化成一般式后的值为（ ）
A．3，－10，－4B．3，－12，－2
C．8，－10，－2D．8，－12，4
【答案】A
【详解】解：，
去括号，得，
移项合并同类项，得，
则化成一般式后的值为，
8．方程中二次项是______，一次项系数是______．
【答案】
【详解】解：把方程化为一般形式
二次项为，一次项系数为，
9．把下列方程先化为一元二次方程的一般式，再写出它的二次项、一次项和常数项．
（1）； （2）．
【详解】（1），，二次项是，一次项是－5x，常数项是﹣3；
（2），，，，二次项是，一次项是x，常数项是﹣5．
10.把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项．
（1）； （2）．
【详解】（1）25x2﹣10x+1=4 x2﹣24x+36，21x2+14x－35=0，二次项为21x2，一次项为14x，常数项－35；
（2），，二次项为，一次项为－4y，常数项－9．
考查题型二 一元二次方程的根
11．下列一元二次方程中，有一个根为0的方程是（ ）
A．x2﹣4＝0B．x2﹣4x＝0C．x2﹣4x+4＝0D．x2﹣4x﹣4＝0
【答案】B
【详解】解：A.当x＝0时，02﹣4＝﹣4≠0，故错误，不符合题意；
B.当x＝0时，02﹣0＝0，故正确，符合题意；
C.当x＝0时，02﹣0+4＝4≠0，故错误，不符合题意；
D.当x＝0时，02﹣0﹣4＝﹣4≠0，故错误，不符合题意．
12.写出一个二次项系数为2，且方程有一个根为0的一元二次方程是____________
【答案】
【详解】由题意得：
故答案为（答案不唯一）
13.如果关于x的方程x2+x+c＝0有一个根为1，那么c的值为 ___．
【答案】-2
【详解】解：把x=1代入得，1+1+c＝0．
解得，c＝-2．
14．若方程有一个根为－1，则m=______________．
【答案】9
【详解】解：将-1代入方程得：
1+8-m=0
∴m=9
提升练
15.若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵方程是“月亮”方程，
∴
∴，
16．（2022·上海·八年级期末）将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知，可用“降次法”求得的值是（ ）
A．2B．1C．0D．无法确定
【答案】B
【详解】解：∵x2-x-1=0，
∴x2=x+1，
∴x4-3x-1=（x+1）2-3x-1
=x2+2x+1-3x-1
=x2-x
=x+1-x
=1，
17.若m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝___，n＝___．
【答案】 0 7
【详解】解：m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0，
整理得，，
∵为一元二次方程且不含x的一次项，
∴，
解得，
18.若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ___．
【答案】
【详解】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，
∴“天宫”方程的一个解为，
方程是“天宫”方程，
，
，，，
．
19.已知x＝a是关于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0的根，则﹣＝___．
【答案】
【详解】解：∵x＝a是关于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0的根，
∴把代入已知方程，则
，
∴．
20．已知关于的方程的两个根为，，则方程的两根为________．
【答案】或
【详解】解：根据题意可得：题目所给的两个方程的系数、结构都相同，
∴2和3也是关于的方程的两根，
∴或，
解得：或，
21．若关于的方程是一元二次方程，则___________．
【答案】
【详解】∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程，
∴a2+1＝2，且a﹣1≠0，
解得，a＝﹣1．
22.当取何值时，关于的方程是一元二次方程．
【答案】0或－1．
【解析】 整理得：
时，此时原方程为：，
由， 解得：；
当时，此时原方程为：，
由，解得：．
综上：．
【总结】本题考查了一元二次方程的概念．
23.关于的方程．
当取何值时，方程为一元二次方程？
当取何值时，方程为一元一次方程？
【答案】（1）时，原方程是一元二次方程；
（2）时，原方程是一元一次方程．
【解析】（1），即时，原方程是一元二次方程；
（2），即时，方程最高次数是1，方程要为一元一次方程，则必有
，可知，则，即时，原方程是一元一次方程．
【总结】是否为一元二次方程先整理成一般形式，看题目中未知数最高次数是否为2，再看二次项系数是否为0，若题目未明确说明，需要进行分类讨论．
24.已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围．
【答案】．
【解析】对方程进行整理，即为：，方程为一元二次方程，则有，即，由此确定的取值范围为．
【总结】方程为一元二次方程，整理成一般形式，首先题目中未知数最高次数要为2，同时二次项系数不能为0，注意相关隐含条件．
25.如果关于x方程有实数根，试确定a、b应满足的关系．
【答案】异号或且．
【解析】（1）当时，原方程为一元二次方程，
当异号时，原方程有实数根；
（2）当时，原方程为等式，当时，原方程有无数解；
综上：当异号时或且时，原方程有实数根．
【总结】本题考查了含参数方程的分类讨论．
26.关于x方程满足下列两个等式成立
，试求方程的解．
【答案】．
【解析】由，，
得：原方程的解为：．
【总结】本题考查了方程的解得概念．
27.已知方程和有共同的根2，试求n的值．
【答案】．
【解析】把代入得： ，
②×5－①得：
解得：．
【总结】本题考查了方程的解得概念．
28.若两个方程和只有一个公共根，写出与之间的关系．
【答案】．
【解析】设这个公共根是，则，
将两个方程相减得：，
解得：，
将代入原方程得：．
【总结】本题考查了方程的解的概念．
29.已知关于x的方程是一元二次方程，求a、b的值．
【答案】；；；；．
【解析】由已知得：
；；；；；
解得：；；；；．
【总结】本题考查了含参方程的分类讨论．
30.已知是方程的一个根，求代数式的值，用含a的式子表示．
【答案】．
【解析】由已知，得：，
两边同时除以，得：，
．
．
【总结】本题考查了方程的根的概念．