沪教版（五四制）（2024）八年级上册19．1 命题和证明精品精练

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一、单选题
1．（2022秋·上海·八年级专题练习）在下列各命题中，是假命题的是（ ）
A．在一个三角形中，等边对等角B．全等三角形的对应边相等
C．同旁内角相等，两直线平行D．等角的补角相等
【答案】C
【分析】分别判断命题的真假即可得出答案．
【详解】在一个三角形中，等边对等角，正确，是真命题，则A不符合题意；
全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，则B不符合题意；
同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，则C符合题意；
等角的补角相等，正确，是真命题，则D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了命题的真假，掌握定义是解题的关键．即条件和结论相矛盾的命题是假命题．
2．（2022秋·上海·八年级专题练习）下列语句不是命题的是（ ）
A．两条直线相交有且只有一个交点B．两点之间线段最短
C．延长AB到D，使D．等角的补角相等
【答案】C
【分析】对事情进行判断真假的陈述句叫做命题，对选项逐个分析即可．
【详解】解：A、两条直线相交有且只有一个交点，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意；
B、两点之间线段最短，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意；
C、延长到D，使，不可以判断真假，不是命题，符合题意；
D、等角的补角相等，可以判断是真的陈述句，是命题，不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了命题的定义，理解其定义是解题的关键．
3．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）下列语句中哪句话是定义（ ）
A．联结A、B两点.B．等角的余角相等吗？
C．内错角相等，两直线平行.D．整数与分数统称为有理数.
【答案】D
【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据命题和定义的概念进行判断．
【详解】解：A、联结A、B两点，不是定义，不符合题意；
B、等角的余角相等吗？不是定义，不符合题意；
C、内错角相等，两直线平行，不是定义，不符合题意；
D、整数与分数统称为有理数，是定义，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了命题的定义：判断一件事情的语句是命题，一般有“是”，“不是”等判断词，比较简单．
4．（2022秋·上海·八年级专题练习）下列命题中是真命题的（ ）
A．一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行
C．互补的两个角不是锐角就是钝角
D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴
【答案】B
【分析】根据两边分别平行的两个角相等或互补对A进行判断；根据平行线的判断方法对B进行判断；据两个直角互补，不是锐角也不是钝角对C判断；根据对称轴的定义对B进行判断；
【详解】A、一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；所以A选项为假命题；
B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行，所以B选项真命题；
C、据两个直角互补，不是锐角也不是钝角；所以C选项为假命题；
D、圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，所以D选项为假命题．
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．（2021秋·上海·八年级校考开学考试）对假命题“若”举一个反例，符合要求的反例是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】“若”举一个反例，则该反例该为：若．据此即可求解．
【详解】解：A：若，则；此时，符合题意．
B：若，则；此时，不符合题意．
C：若，则；此时，不符合题意．
D：若，则；此时，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查真假命题，正确理解反例的内容是解题关键．
6．（2022秋·上海普陀·八年级统考期中）下列命题中，假命题是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．三角形两边之和大于第三边
C．有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形
D．相等的角是对顶角
【答案】D
【分析】利用平行线的性质、三角形的三边关系、等边三角形的定义及对顶角的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A.两直线平行，内错角相等，正确，是真命题，不符合题意；
B.三角形的两边之和大于第三边，正确，是真命题，不符合题意；
C.有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题，不符合题意；
D.相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的性质及定义，难度不大．
7．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）下列命题中，真命题的个数是（ ）
①等腰三角形两腰上的高相等；
②在平面内，垂直于同一直线的两条直线平行；
③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】解：①等腰三角形两腰上的高相等，原命题是真命题；
②在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，原命题是真命题；
③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题；
④一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，原命题是假命题；
综上，①②是真命题，共2个，
故选：B．
【点睛】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．（2022秋·上海静安·八年级上海市市西中学校考期中）下列命题中，假命题是( )
A．假命题的逆命题不一定是假命题
B．所有定理都有逆命题
C．对顶角相等的逆命题是真命题
D．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行
【答案】C
【分析】根据命题，定理的定义，逆命题的定义一一判断即可．
【详解】解：、假命题的逆命题不一定是假命题．正确，是真命题，本选项不符合题意；
B、所有定理都有逆命题，正确，是真命题，本选项不符合题意；
C、对顶角相等的逆命题是真命题．错误，是假命题，本选项符合题意；
D、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，正确，是真命题，本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）下列命题中，假命题的是（ ）
A．直角三角形三条高相交于直角顶点
B．全等三角形对应边上的高相等
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等
【答案】C
【分析】根据三角形的高，全等三角形的判定和性质，平行线的性质以及等腰三角形的性质逐项分析即可．
【详解】解：A、直角三角形的三条高相交于直角顶点，是真命题，不符合题意；
B、全等三角形对应边上的高相等，是真命题，不符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，符合题意；
D、顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等，是真命题，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理，牢记有关的性质、定义及定理是解决此类题目的关键．
10．（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）下列命题中，真命题是（ ）
A．面积相等的两个三角形全等
B．三角形外角大于三角形的内角
C．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直
D．等腰三角形两边上的中线相等
【答案】C
【分析】根据全等三角形的概念、三角形的外角的性质、平行线的性质、等腰三角形的定义，对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、面积相等的两个三角形不一定全等，∵形状和大小完全相同的两个三角形是全等三角形，而面积相等只能说明底和高的乘积相等，故该命题为假命题，不符合题意；
B、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，不是大于所有的内角，故该命题为假命题，不符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直，∵两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，∴同旁内角的平分线与截线的夹角就互余，即同旁内角的平分线互相垂直，故该命题为真命题，符合题意；
D、等腰三角形两边上的中线不一定相等，∵腰上的中线与底边上的中线不一定相等，故该命题为假命题，不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解本题的关键在熟练掌握全等三角形的概念、三角形的外角的性质、平行线的性质、等腰三角形的定义等知识．
11．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）下列命题中真命题是（ ）
A．有一个角对应相等的两个等腰三角形是全等三角形
B．有三个角对应相等的两个三角形全等
C．有一个角和一腰对应相等的两个等腰三角形全等
D．顶角和底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定，逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
有一个角对应相等的两个等腰三角形不一定是全等三角形，如两块大小不同的等腰直角三角板就不是全等三角形，故A是假命题，不符合题意；
有三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如边长为1与边长为2的两个等边三角形就不全等，故B是假命题，不符合题意；
有一个角和一腰对应相等的两个等腰三角形不一定全等，不能判定全等，故C是假命题，不符合题意；
顶角和底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等是真命题；
故选D．
【点睛】本题考查真假命题的判断，全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，说明命题是假命题关键是举出反例．
12．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）下列命题是真命题的是（ ）
A．三角形的外角大于它的任何一个内角
B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C．等腰三角形一边上的中线也是这边上的高
D．等边三角形是轴对称图形
【答案】D
【分析】根据三角形的外角的性质，全等三角形的判定，轴对称图形的定义一一判断即可．
【详解】解：A、三角形的外角大于它的任何一个内角，错误，应该是三角形的外角大于它的任何一个和它不相邻的内角，本选项不符合题意；
B、有两边及一角对应相等的两个三角形全等，错误，应该是有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，本选项不符合题意；
C、等腰三角形一边上的中线也是这边上的高，错误，应该是等腰三角形底边上的中线也是这边上的高，本选项不符合题意；
D、等边三角形是轴对称图形，正确，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题
13．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）命题“同旁内角相等，两直线平行”是 （填“真”或“假”）命题﹒
【答案】假
【分析】利用平行线的判定对命题进行判断即可确定答案．
【详解】同旁内角互补，两直线平行是真命题．
故答案为∶假﹒
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质，难度比较小．
14．（2022秋·上海·八年级专题练习）“若，则，” 命题（选填“是”或“不是”）．
【答案】是
【分析】根据命题的定义判断即可．
【详解】若，则，是一个命题.
故答案为：是．
【点睛】本题主要考查了命题的判断，掌握定义是解题的关键．即是表示判断一件事情的句子是命题.
15．（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）把命题“三边分别相等的两个三角形全等”写成“如果⋯⋯那么⋯⋯”的形式 .
【答案】如果两个三角形三条边对应相等，那么这两个三角形全等
【分析】命题一般都可以写成如果…那么…形式；如果后面是题设，那么后面是结论．
【详解】把命题“三边分别相等的两个三角形全等”写成“如果⋯⋯那么⋯⋯”的形式为：如果两个三角形三条边对应相等，那么这两个三角形全等.
故答案为：如果两个三角形三条边对应相等，那么这两个三角形全等
16．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…那么…”的形式 ．
【答案】如果两个三角形全等，那么它们的周长相等
【分析】根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解．
【详解】解：将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…，那么…”的形式：
如果两个三角形全等，那么它们的周长相等，
故答案为：如果两个三角形全等，那么它们的周长相等．
【点睛】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，熟练掌握如果的后面是条件，那么的后面是结论是解题的关键．
17．（2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习）把命题“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是 ．
【答案】如果两个角是两个相等的角的余角，那么这两个角相等
【分析】命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【详解】解：根据命题可得：“如果两个角是两个相等的角的余角，那么这两个角相等．”
故答案为：如果两个角是两个相等的角的余角，那么这两个角相等．
【点睛】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题有题设和结论两部分组成．
提升练
一、单选题
1．（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行B．钝角没有余角
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．若，则
【答案】B
【分析】根据平行线的公理及判定、余角的定义和举反例可逐一判断．
【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行，故A是假命题；
B、钝角没有余角，故B是真命题；
C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C是假命题；
D、，但，故D是假命题；
故选：B．
【点睛】本题主要考查真假命题的判断，掌握平行线的公理及判定、余角的定义和举反例是关键．
2．（2023春·上海·八年级上外附中校考期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质和二次根式的性质，逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A．若，，则，故A选项不符合题意；
B．若，，为负数，则，但，故B选项不符合题意；
C．若，则，故C选项不符合题意；
D．若，则，，故，故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了判断命题的真假，不等式的性质，二次根式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．（2022秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）下列命题中，真命题有（ ）
①面积相等的两个三角形一定全等； ②若，则；
③有一边相等的两个等腰直角三角形全等； ④以5、10为两边的两个等腰三角形全等．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】逐项判断是否是真命题，即可选出正确答案．
【详解】①面积相等的两个三角形一定全等，不一定全等，是假命题；
②若，当时不成立，是假命题，；
③有一边相等的两个等腰直角三角形全等，如果相等的边分别两个三角形的底和腰，则命题错误，是假命题；
④以5、10为两边的两个等腰三角形边长只能为10，10，5，则两个三角形全等，是真命题．
故选：B．
【点睛】此题考查了真命题，解题的关键是掌握真命题的概念．
4．（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）在下列四个命题中，是真命题的是（ ）
A．有两边及其中一边上的高线对应相等的两个三角形全等；
B．有两个内角是60°的三角形是等边三角形；
C．垂直于同一条直线的两条直线平行；
D．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则顶角是70°．
【答案】B
【分析】利用全等三角形的判定判定A；利用等边三角莆的判定判定B；利用平行线的判定判定C；利用等腰三角形分类讨论判定D．
【详解】解：A、因为有两边及其中一边上的高线对应相等的两个三角形，若是第三边的高对应相等，则两个三角形不一定全等，所以原命题假命题，故此选项不符合题意；
B、有两个内角是60°的三角形是等边三角形，是真命题，故此选项符合题意；
C、因为在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，所以原命题是假命题，故此选项不符合题意；
D、因为等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则顶角是70°或110°，所以原命题是假命题，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟练掌握全等三角形的判定，等边三角形的判定，平行线的判定，等腰三角形分类讨论等知识．
二、填空题
5．（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）把命题“同角的补角相等”改写为“如果……，那么……”的形式，如果 那么 ．
【答案】 两个角是同一个角的补角 这两个角相等
【分析】命题由题设和结论两部分组成，命题可以写成“如果，那么”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论，由此即可得．
【详解】解：把命题“同角的补角相等”改写为“如果，那么”的形式：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等，
故答案为：两个角是同一个角的补角，这两个角相等．
【点睛】本题考查了命题，熟练掌握命题的表达形式是解题关键．
6．（2022秋·上海·八年级专题练习）将命题“同角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为 ．
【答案】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
【分析】每一个命题都是基于条件的一个判断，只要把条件部分和判断部分分开即可.
【详解】解：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.
7．（2022秋·上海·八年级校考期中）请将命题"等腰三角形的底角相等"改写为"如果……,那么……"的形式: .
【答案】如果一个三角形是等腰三角形,那么它的两个底角相等
【分析】命题中的条件是一个三角形是等腰三角形，放在“如果”的后面，结论是它的两个底角相等，应放在“那么”的后面．
【详解】题设为：一个三角形是等腰三角形，结论为：这个三角形的两个底角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．
故答案为如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．
【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
8．（2022秋·上海·八年级专题练习）根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出：
已知：
求证： ．
【答案】 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线 求证：AD平分∠BAC.
【分析】结合几何图形写出已知条件和结论．
【详解】已知：△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；
求证：AD平分∠BAC．
故答案为△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；AD平分∠BAC．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
三、解答题
9．（2022秋·八年级单元测试）如图，直线、均被直线、所截，且与相交，给定以下三个条件：
①；②；③；请从这三个条件中选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并进行证明
已知：
求证：
证明：
【答案】已知：，； 求证：，证明见解析
【分析】如果选择①②两个作为条件，③作为结论可组成一个真命题．首先根据平行线的判定定理，可得，由，可得，然后，根据直角三角形的两个锐角互余及对顶角的性质，即可证明．
【详解】已知：，，求证：．
证明：，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，直角三角形两锐角互余，对顶角的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
10．（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）命题：“在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等”
对于此命题作出图形，写出已知和求证，并证明之．
已知：____________________________________
求证：________________________
作图：
证明：
【答案】见解析
【分析】先写出已知，求证，画出图形，再证明，即可．
【详解】已知：如图，是的平分线，点P为上任意一点，且，垂足分别为E，F．
求证：．
作图：
证明：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等．