初中数学沪教版（五四制）（2024）八年级上册19．2 证明举例精品同步训练题

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一、解答题
1．（2020·八年级校考课时练习）已知：如图，A=E，点E在AB的延长线上，且CE=CB．求证：AD∥BC．
【答案】见解析
【分析】由等边对等角，得∠CBE=∠E，则∠CBE=∠A，即可得到AD∥BC．
【详解】证明：∵CE=CB，
∴∠CBE=∠E，
∵A=E，
∴∠CBE=∠A，
∴AD∥BC．
【点睛】本题考查了平行线的判定，等边对等角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行证明．
2．（2022秋·上海·八年级专题练习）已知：、相交于，、分别平分、．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】首先根据角平分线的性质，得出，，然后根据平角的性质列出等式，即可得证.
【详解】∵平分，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质应用,熟练掌握,即可解题.
3．（2022秋·上海·八年级专题练习）已知：如图，，、分别平分、，、交于点．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】首先根据两直线平行，同旁内角互补得出，然后根据角平分线的性质，得出，进而得出，，即可得证.
【详解】∵，
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵、分别是平分、，
∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】此题主要考查平行线以及角平分线的性质，熟练掌握，即可解题.
4．（2022秋·上海·八年级专题练习）如图，是等腰锐角三角形，，是腰上的高．求证：.
【答案】证明见解析
【分析】首先过点作于点，得出，又由得出，进而得出，又由，，得出，进而得出.
【详解】过点作于点，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握，即可解题.
5．（2022秋·上海闵行·八年级上海市实验学校西校校考期中）如图，点A、F、C、D在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC，求证：BC∥EF．
【答案】见解析
【分析】由全等三角形的性质判定，则对应角，故证得结论．
【详解】解：证明：，
，
，
．
在与中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
6．（2022秋·八年级单元测试）如图， AB=AC， E是AD上的一点，∠BAE=∠CAE．求证：∠EBD=∠ECD．
【答案】见解析
【分析】先证明△ABD≌△ACD，得到∠ADB=∠ADC，BD=CD，再证明△BDE≌△CDE，问题得证．
【详解】证明：在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD，
∴∠ADB=∠ADC，BD=CD，
在△BDE和△CDE中
∴△BDE≌△CDE，
∴∠EBD=∠ECD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理并根据题意灵活选择方法是解题关键．
7．（2022秋·上海·八年级专题练习）证明命题“全等三角形对应边上的高相等”是真命题．
解：已知：如图，△ABC≌△EFG，AD，EH分别是△ABC和△EFG的对应边BC，FG上的高．
求证：AD＝EH.
【答案】见解析
【详解】试题分析：根据△ABC≌△EFG，可得AB＝EF，∠B＝∠F，再根据∠ADB＝∠EHF＝90°，利用AAS证明△ABD≌△EFH即可得.
试题解析：∵△ABC≌△EFG，
∴AB＝EF，∠B＝∠F，
∵AD，EH分别是△ABC和△EFG的对应边BC，FG上的高，
∴∠ADB＝∠EHF＝90°，
在△ABD和△EFH中，，
∴△ABD≌△EFH(AAS)，
∴AD＝EH.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等的问题，基本的思路是转化成三角形全等．
8．（2020·八年级校考课时练习）已知：如图，AB=DE，BC=DF，AF=CE．求证：BC∥DF．
【答案】见解析
【分析】由AF=CE，得到AC=EF，然后得到△ABC≌△DEF，则∠ACB=∠EFD，然后即可证明结论成立．
【详解】证明：∵AF=CE，
∴AC=EF，
在△ABC和△DEF中
AC=EF，AB=DE，BC=DF，
∴△ABC≌△DEF
∴∠ACB=∠EFD，
∴∠BCF=∠DFC，
∴BC∥DF；
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
9．（2022秋·八年级单元测试）已知：如图，AB=DE，A=D，AC=DF．求证：AC∥DF．

【答案】见解析
【分析】由边角边证得△ABC≌△DEF，得到∠ACB=∠DFE，由同位角相等两直线平行即可得证.
【详解】证明：在△ABC和△DEF中，
，
所以△ABC≌△DEF（SAS），
所以∠ACB=∠DFE，
所以AC∥DF.
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，要牢固掌握并灵活运用这些知识．
10．（2020·八年级校考课时练习）已知：如图，AC=BD，1=2．求证：AD∥BC．
【答案】见解析
【分析】根据等角对等边求出OB=OC,再利用已知条件求得AO=OD,进一步利用等腰三角形性质得：∠OAD=∠ODA,再利用内角和定理可得:1=∠ODA,即可得到平行.
【详解】证明:
因为1=2．
所以OB=OC．
因为AC=BD．
所以OA=OD．
所以∠OAD=∠ODA．
因为1+2+∠BOC=180°．
∠OAD+∠ODA+∠AOD=180°．
∠BOC=∠AOD．
所以1+2=∠OAD+∠ODA．
所以21=2∠ODA．
即1=∠ODA．
所以AD∥BC．
【点睛】本题利用等腰三角形的性质与判定得到边与角的关系,本题关键找到角与角的关系．
11．（2020·八年级校考课时练习）已知：如图，在中，AB=AC，AE是外角CAD的平分线．求证：AE∥BC．

【答案】见解析
【分析】首先根据角平分线的性质可得∠DAC＝2∠DAE，再由AB＝AC可得∠B＝∠ACB，然后根据内角与外角的关系可得∠DAC＝∠B＋∠ACB＝2∠B，进而可证明∠DAE＝∠B，再根据同位角相等，两直线平行可得AE∥BC．
【详解】证明：∵AE是∠CAD的平分线，
∴∠DAC＝2∠DAE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
又∵∠DAC＝∠B＋∠ACB＝2∠B，
∴∠DAE＝∠B，
∴AE∥BC．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．
12．（2022秋·八年级单元测试）如图，现有以下三个条件：①②③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的一个命题即可)．
【答案】（1）可构造如下几个命题：如果那么，如果那么，如果，那么；（2）证明见解析．
【分析】（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题；
（2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假．
【详解】解：（1）有：如果那么；
如果那么；
如果，那么；
（2）如图：
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠CDF，
∴CE∥BF，
∴∠E=∠F，
∴如果那么为真命题；
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∴∠B=∠C，
∴如果那么为真命题；
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠CDF，
∴AB∥CD，
∴如果，那么为真命题．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
提升练
1．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在正方形中，点、分别在、边上，且，联结、．求证：．
【答案】详见解析
【分析】根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根据已知条件可证≌，即可得出.
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，．
在与中，
，
∴≌（SAS）．
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形四边相等，四角相等都等于90°是解题关键.
2．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在已知△ABC中，AB=AC，点在BC上，过点的直线分别交AB于点E，交AC的延长线于点，且BE=CF．求证：DE=DF．
【答案】证明见解析
【分析】过点作交于，根据平行的性质可得，再根据等边对等角可得，进而得到，再根据等角对等边可得BE=GE，从而得到GE=CF，利用AAS证得，根据全等三角形的性质可得DE=DF.
【详解】证明：过点作交于，
∴，
∵
∴
∴
∴．
又∵
∴．
∵在和中
，
∴（AAS）．
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形、全等三角形的判定与性质，构造出全等三角形是解答本题的关键.
3．（2022·上海·八年级单元测试）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE
【答案】证明见详解．
【分析】根据“ASA”证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论.
【详解】证明：在△ABE和△ACD中，
∵,
△ABE≌△ACD (ASA)，
∴AE=AD，
∴BD=AB–AD=AC-AE=CE．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
4．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∠BHC的度数．
【答案】135°
【分析】先设∠A=3x，∠ABC=4x，∠ACB=5x，再结合三角形内角和等于180°，可得关于x的一元一次方程，求出x，从而可分别求出∠A，∠ABC，∠ACB，在△ABD中，利用三角形内角和定理，可求∠ABD，再利用三角形外角性质，可求出∠BHC．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，
故设∠A=3x，∠ABC=4x，∠ACB=5x．
∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴3x+4x+5x=180°，
解得x=15°，
∴∠A=3x=45°．
∵BD，CE分别是边AC，AB上的高，
∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，
∴在△ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠A=180°-90°-45°=45°，
∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°．
【点睛】本题利用了三角形内角和定理、三角形外角的性质．解题关键是熟练掌握:三角形三个内角的和等于180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
5．如图，△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，且AD＝BD．求证：CD⊥AC．
【答案】见解析
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据等腰三角形性质推出AE=AB，∠DEA=90°，求出AE=AC，根据SAS证△DEA≌△DCA，推出∠ACD=∠AED即可．
【详解】
过D作DE⊥AB于E，
∵AD＝BD，DE⊥AB
∴AE＝AB，∠DEA＝90°，
∵2AC＝AB
∴AE＝AC
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD，
在△DEA和△DCA中，
，
∴△DEA≌△DCA，
∴∠ACD＝∠AED，
∴∠ACD＝90°，
∴AC⊥DC．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△DEA≌△DCA，主要培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较好，难度适中．
6．已知，，，．直线过点，交、于点、．
（1）若是中线，求证：；
（2）若，求证：．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）延长至，使，易证≌，可得，，再根据可得，再利用∠BAC、∠BAE、∠EAD和∠DAC四个角和为360°，可得，利用△AEF的内角和可得，可得，即可证明≌，最后利用等角的余角相等的等量代换以及△ABN的内角和为180°可得出结论.
（2）过点作交的延长线于，则，根据，可得；，可得，等量代换得出．根据周角等于360°，可得；根据三角形内角和可得，可得，则可证明≌（AAS），得到；易证≌，即可得到．
【详解】解：（1）如图，延长至，使，
∵是中线，∴．
在和中，，
∴≌（SAS）．∴，．
∵，∴．
∵，，∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴≌（SAS）．∴．
∵，∴．∴．
在中，，∴．
（2）如图，过点作交的延长线于，则，
∵，∴．
∵，∴．∴．
∵，，∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴≌（AAS）．∴．
∵，∴．
在和中，，
∴≌（AAS）．∴．
【点睛】本题考查三角形全等以及角度之间的等量代换，第（1）题通过“倍长中线”这一辅助线做法，构造全等三角形，从而得出角相等，在遇到有中线的题目，并且题中没有全等三角形，那么我们就可以通过延长中线，或者经过中点的线段，构造全等三角形；
第（2）题是通过构造平行线，进而得到角相等，构造全等三角形，然后再根据角之间的等量代换，常见的就是等角的余角相等、等角的补角相等，当直角比较多的地方都可以想到这种方法.
7．如图，在中，已知，平分，且，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】在上截取，连结，可得BE=CD，由角平分线的定义可得∠CAD=∠EAD，推出△ACD≌△ADE，易得DE=CD、∠C=∠AED，即DE=BE，由等腰三角形的性质可得∠B=∠BDE，∠CAB=∠B，进而得到∠C=∠DEB=∠DEA，即可得到结论.
【详解】
证明：在上截取，连接，
∵，
∴．
∵平分，
∴．
在与中，
，
∴≌．
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查全等三角形、等腰三角形的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.
8．如图，在中，，点，、分别在边、、上，，，是的中点，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】连结、，根据等腰三角形得到，利用SAS证明△BEF与△CFG全等，最后利用等腰三角形”三线合一”的性质证明即可.
【详解】
证明：连接、
∵
∴．
在与中，
，
∴≌（SAS）．
∴．
∵是的中点，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形和等腰三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定方法是解答本题的关键.
9．将两块全等的直角三角形如图（1）摆放，其中，．

（1） （2）
（1）求证：；
（2）将图中的绕点顺时针旋转得到图（2），、交于点，、交于，求证：．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）根据直角三角形的性质，可得∠A＋∠ABC＝90°，根据余角的性质，可得∠D＋∠ABC＝90°，∠D＋∠DBF＝90°，即可证明；
（2）△ECM和△BCN，根据全等三角形的性质，可证明．
【详解】（1）如图延长交于点，
∵，，∴．∴．
∵，∴．∴．∴．
（2）∵，，∴．
在和中，，
∴≌（ASA）．∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了余角的性质，直角三角形的判定，全等三角形的判定与性质．
10．如图，在中，，平分交于，是上一点，且，求证：．
【答案】详见解析
【分析】作EF⊥AC于F，再根据等腰三角形的性质可得AF＝AC，再证明△ABE≌△AFE可得∠ABE＝∠AFE＝90°．
【详解】作于点，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵平分交于，
∴．
在和中，，
∴≌（SAS）．
∴．
∴
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理．
11．如图，在△ABC中，AB=AC，D点在BA的延长线上，点E在AC上，且AD=AE，DE的延长线交BC于点F，求证：DF⊥BC．
【答案】见解析证明．
【详解】试题分析：过A作AM⊥BC于M，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出∠BAC=2∠BAM，由三角形外角的性质及等边对等角的性质得出∠BAC=2∠D，则∠BAM=∠D，根据平行线的判定得出DF∥AM，进而得到DF⊥BC．
试题解析：证明：如图，过A作AM⊥BC于M，
∵AB=AC，∴∠BAC=2∠BAM，∵AD=AE，∴∠D=∠AED，∴∠BAC=∠D+∠AED=2∠D，∴∠BAC=2∠BAM=2∠D，∴∠BAM=∠D，∴DF∥AM，∵AM⊥BC，∴DF⊥BC．
考点：等腰三角形的性质．
12．（2022·上海·八年级单元测试）如图，，，，直线过点交于，交于点．求证：．
【答案】详见解析
【分析】在线段上取，连接，易证≌，可得，因为得，∠D+∠C=180°，再根据邻补角∠AFE+∠BFE=180°，可得∠BFE=∠C，可证≌，可得BC=BF，再进行等量代换即可得出答案.
【详解】解：在线段上取，连接，
在与中，，
∴≌（SAS）．
∴．
由又可得，
∴．
又，
∴．
在与中，，
∴≌（AAS）．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形证明中辅助线其中一种截长补短的方法，在遇到两条线段和等于第三条线段的时候可用截长补短构造全等三角形，即在较长的线段上截取某条较短线段长度，或者延长一条较短线段长度使之等于另一条线段长度.
13．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在中，，，是上的一点，且的延长线交于，又平分，求证：．
【答案】详见解析
【分析】延长，交于点，根据在Rt△BEF中，∠EBF+∠F=90°，在Rt△ACF中∠FAC+∠F=90°，可得∠EBF=∠FAC，进而可证≌，可得，易证≌，可得，即，所以.
【详解】解：延长，交于点，
∵，，，
∴．
∵在和中，，
∴≌（ASA）．∴．
∵在和中，，
∴≌（ASA）．∴，即．
∴．
【点睛】本题考查全等三角形证明中与等腰三角形三线合一相关的辅助线，如果一个题目中一条线段既是高线又是角平分线，那么我们可以将这个高线和角平分线所在的三角形补全，即可证得等腰三角形，就可以利用这些条件构造全等.
14、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF=EF,求证：AC=BE.
【解析】倍长AD至点M，得8字全等△BMD≌△CAD（AAS）
∵AF=EF
∴∠FAE=∠FEA，BE=BM
∴AC=BM=BE
15、如图所示，已知△ABC中，AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上，DE=CD,EF=AC.求证EF∥AB.
【解析】倍长FD至点M得8字全等△FED≌△MCD（AAS）
所以EF=CM=AC
∴∠CAD=∠EFD=∠BAD
∴EF∥AB
16.如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC,AD=AE
求证：AM⊥CD
【解析】倍长AM至点F，连BF和EF
可证△ABF≌△CAD（SAS）
∠C+∠CAF=∠BAF+∠CAF=90°
∴AM⊥CD
17、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．
求证：AB=AC．
方法1：
如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE
在△BDE和△CDA中
∴△BDE≌△CDA（SAS）
∴AC=BE，∠E=∠2
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2[来源:Z。xx。k.Cm]
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
方法2：
如图，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E
∵BE∥AC
∴∠E=∠2
在△BDE和△CDA中
∴△BDE≌△CDA（AAS）
∴BE=AC
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
18．（2022·上海·八年级单元测试）在中，，，直线经过点，且于点，于点．
（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：
①≌；
②．
（2）当直线绕点旋转到图（2）、图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）．
【分析】（1）①利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，根据互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE，然后根据“AAS”可判断△ADC≌△CEB，
②由（1）得，CD=BE，AD=CE，再利用等量代换得到DE=AD+BE；
（2）进行分类讨论，证明△ADC≌△CEB，则CD=BE，AD=CE，根据位置不同可得结论．
【详解】（1）①∵，，
∴．
∵，
∴，．
∴．
在和中，
，
∴≌（AAS）．
②由（1）知：≌，
∴，．
∵，
∴．
（2）．
绕点旋转到图（2）的位置时，．
绕点旋转到图（3）的位置时，．
绕点旋转垂直于时，，
综合以上得．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．
19．（2022秋·八年级单元测试）在中，，，直线经过点，且于点，于点．
（1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：
①≌；
②．
（2）当直线绕点旋转到图（2）、图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）．
【分析】（1）①利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，根据互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE，然后根据“AAS”可判断△ADC≌△CEB，
②由（1）得，CD=BE，AD=CE，再利用等量代换得到DE=AD+BE；
（2）进行分类讨论，证明△ADC≌△CEB，则CD=BE，AD=CE，根据位置不同可得结论．
【详解】（1）①∵，，
∴．
∵，
∴，．
∴．
在和中，
，
∴≌（AAS）．
②由（1）知：≌，
∴，．
∵，
∴．
（2）．
绕点旋转到图（2）的位置时，．
绕点旋转到图（3）的位置时，．
绕点旋转垂直于时，，
综合以上得．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．
20．（2022秋·上海·八年级专题练习）已知：如图，在和中，，，是上的中线，是上的中线，且，求证：≌．

【答案】证明见解析
【分析】首先根据中线的性质，得出BN=CN，EM=FM，然后根据BC=EF，得出，即可判定≌（SSS），进而得出，即可得证.
【详解】∵是上的中线，是上的中线，
∴BN=CN，EM=FM
又∵BC=EF
∴．
在和中，，
∴≌（SSS）．
∴，
在和中，，
∴≌（SAS）．
【点睛】此题主要考查中线的性质和三角形全等的判定，熟练掌握，即可解题.