沪教版（五四制）（2024）八年级上册19．8 直角三角形的性质精品课时训练

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一、单选题
1．（2022上·上海·八年级上海市民办上宝中学校考期中）如图，在四边形中，，点分别是对角线的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】如图所示，连接，根据中点的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，根据“边边边”可证，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，点分别是对角线的中点，
∴在中，是斜边的中线，则，
在中，是斜边的中线，则，
∴，
∵点是对角线的中点，
∴，
在中，
，
∴，
∴，且，
∴，
∴，故选项正确，
故选：．
【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．
2．（2023上·上海·八年级校考阶段练习）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．凡直角都相等
B．在一个三角形中，等边对等角
C．角平分线上的点到角的两边的距离都相等
D．在中，角所对的边是斜边的一半
【答案】A
【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的判定、等腰三角形的判定、角平分线的判定和平行线的判定定理判断即可．
【详解】解：A、凡直角都相等的逆命题是相等的角都是直角，逆命题是假命题；
B、一个三角形中，等边对等角的逆命题是同一个三角形中，等角对等边，逆命题是真命题；
C、角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，逆命题是真命题；
D、在中，角所对的边是斜边的一半的逆命题是在中，一个锐角的对边是斜边的一半补，则这个锐角等于，逆命题是真命题；
故选A．
【点睛】本题主要考查真假命题的判定，解决本题的关键是要正确写出各个命题的逆命题、熟练掌握等腰三角形，角平分线，含直角三角形的性质和判定定理．
3．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）在下列各原命题中，逆命题为假命题的是（ ）
A．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等
D．关于某一条直线对称的两个三角形全等
【答案】D
【分析】分别写出四个命题的逆命题，然后分别根据线段垂直平分线判定定理、等腰三角形的性质，三角形的内角和定理、全等三角形的判定和轴对称的定义进行判断即可．
【详解】解：A、逆命题为到线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，此逆命题为真命题；
B、逆命题为如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形为直角三角形，此逆命题为真命题；
C、逆命题为三边对应相等的三角形全等，此逆命题为真命题；
D、逆命题为两个全等三角形关于某直线对称，此逆命题为假命题．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
4．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）下列命题中逆命题是真命题的是（ ）
A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B．对顶角相等
C．全等三角形的周长相等D．全等三角形的面积相等
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形的性质，对顶角的性质，全等三角形的性质，命题和逆命题的定义，以及判断真假命题．先写出各个命题的逆命题，再判断真假即可．要说明一个命题是真命题必须一步一步有根有据的进行证明，要说明一个命题是假命题只需举出一个反例即可．正确的写出各个命题的逆命题是解题的关键．
【详解】A. “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题为“若一个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，逆命题是真命题，故符合题意；
B. “对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题，故不符合题意；
C. “全等三角形的周长相等” 的逆命题为“周长相等的三角形是全等三角形”， 逆命题是假命题，故不符合题意；
D.“全等三角形的面积相等” 的逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”， 逆命题是假命题，故不符合题意；
故选：A．
二、填空题
5．（2023上·上海·八年级校考阶段练习）在中，，平分，交于，如果，那么 ．
【答案】/30度
【分析】先画出图形，作，于点E，根据角平分线的性质得，再根据，得，根据直角三角形的性质可得答案．
【详解】如图所示，过点D作，于点E，
∵平分，，
∴．
∵，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，含的直角三角形的性质等，构造直角三角形是解题的关键．
6．（2022上·上海·八年级上海市民办上宝中学校考期中）若线段，以线段为斜边的直角三角形的顶点C的轨迹是 ．
【答案】以中点为圆心，以为半径的圆
【分析】根据直角三角形的性质求解即可．
【详解】如图所示，直角三角形中，点D是斜边的中点，

∴，
∴点C的轨迹是以中点为圆心，以为半径的圆．
故答案为：以中点为圆心，以为半径的圆．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
7．（2023上·上海·八年级校考阶段练习）在中，若，于，，，则 ．
【答案】8
【分析】先根据直角三角形两锐角互余计算出，再根据含30度角的直角三角形的性质求解．
【详解】解：如图所示，
在中， ，，，
，，
又在中，，
，
，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查直角三角形两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半．
8．（2021上·上海普陀·八年级校联考期末）如图，在中，，于H，如果,那么 度．
【答案】60
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质可得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为60．
【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键．
9．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边夹角为70°，那么这个直角三角形的较小的内角是 °
【答案】35
【分析】作出图形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等腰三角形，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】解：如图，
∵是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵斜边上的中线与斜边所成的锐角为，即，
∴，
解得，
另一个锐角，
∴这个直角三角形的较小内角的度数为．
故答案为：35．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
10．（2023下·上海·八年级上海民办南模中学校考阶段练习）已知一个直角三角形的周长为，斜边上的中线长为2，那么这个直角三角形的面积是 ．
【答案】
【分析】直接利用直角三角形的性质得出斜边长，进而得出两直角边的和，可求出两直角边的积，则可求出直角三角形的面积．
【详解】解：直角三角形斜边上的中线长为2，
直角三角形斜边长为4，
直角三角形的周长是，
两直角边长和为，
设两直角边为，，
，
，
．
∴直角三角形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11．（2023下·上海黄浦·八年级校考阶段练习）直角梯形一腰长为，此腰与一底的夹角是，那么另一腰长是 ．
【答案】6
【分析】根据题意，作出图形，过作，由含的直角三角形边的关系即可得到答案．
【详解】解：过作，如图所示：

，，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查直角梯形性质及含的直角三角形边的关系，熟记含的直角三角形所对的边是斜边的一半是解决问题的关键．
12．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）在中，，，，点D为斜边的中点，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形相关知识，根据勾股定理，求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案，解题关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【详解】解：由勾股定理得：，
∵点是的中点，
∴．
故答案为：．
13．（2022上·上海虹口·八年级校考期中）在中，，，，如果将这个三角形折叠，使得点B与点A重合，折痕交于点M，交于点N，那么 ．
【答案】8
【分析】根据折叠的性质得到，，再利用三角形的外角定理得，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出，即可得到．
【详解】解：如图，
∵三角形折叠，得点B与点A重合，折痕交于点M，交于点N，
∴，，
∴，
而，，
∴，
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了翻折变换，线段垂直平分线的性质，30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
14．（2022上·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）如图，在中，已知，，点在边上，．把绕着点逆时针旋转度后，如果点恰好落在初始的边上，那么 ．
【答案】或
【分析】本题可以图形的旋转问题转化为点B绕D点逆时针旋转的问题，故可以D点为圆心，长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边上的一点，交直角边于，此时，，由等腰三角形的性质求旋转角的度数，在中，解直角三角形求，可得旋转角的度数．
【详解】解：如图，在线段取一点，使，在线段上取一点，使，
①旋转角，
②在中，
，
，
旋转角．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，关键是将图形的旋转转化为点的旋转，求旋转角．
15．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）在中，，于点，且，．则
【答案】20
【分析】根据题意画出图，在上找一点E，使得，连接，证明，得到，进而证明是等边三角形，得到，则，再根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：如图所示，在上找一点E，使得，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16．（2023下·上海浦东新·八年级校考期末）如图，梯形中，，，且平分，则梯形的周长是 cm．

【答案】15
【分析】由推出，得到，由角平分线的定义得到因此，推出求出，得到梯形是等腰梯形，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴梯形是等腰梯形，
∴，
∴，
∴梯形的周长，
故答案为：15．
【点睛】本题考查梯形，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，关键是证明．
提升练
三、解答题
17．（2023上·上海·八年级校考阶段练习）如图，，的平分线上有一点，，，，求的长．

【答案】
【分析】过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，，再证明，计算出，则可计算出，然后证明，从而得到，进而即可求解．
【详解】解：过点作于，如图，

∵是平分线上一点，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴， ，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质和含30度的直角三角形三边的关系．
18．（2023上·上海·八年级校考阶段练习）如图，在和中，，是中点．求证：．

【答案】见解析
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，找出相等的边，再利用等边对等角、三角形外角的性质得出、，从而证明结论．
【详解】证明：在中，，是中点．
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
19．（2022上·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）如图，在中，垂直平分边，交于点，平分的外角，，垂足为点，，垂足为点．
(1)求证：；
(2)如果，求证：点在的垂直平分线上．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）通过证明，即可求证；
（2）通过四边形内角和的性质得到，从而得到，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解．
【详解】（1）证明：∵垂直平分边，
∴，
∵平分的外角，，，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：连接，如下图：
由（1）可得，，
又∵，
∴，
∴，
由题意可得：为的中点，
∴，，
∴，
∴点在的垂直平分线上．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
20．（2022上·上海宝山·八年级校联考期末）如图，在中，，、边上的高、交于点H，点F、G分别是、的中点．
(1)求证：；
(2)联结，求证是等腰直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据、分别为、边上的高，得到，再根据，得到，即可得到证明；
（2）由（1）得，根据点G是的中点得到，，同理得到，从而得到，即可得证明．
【详解】（1）证明∵、分别为、边上的高
∴、、是直角三角形，
∴，，
∴
在中，
∵，
∴，
∴
在和中
∵ ，
∴；
（2）证明：∵；
∴，
在中，点G是的中点，
∴，
∴
同理，，
∴，，
∵
∴，
∴
∴是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查全等三角形性质与判定，直角三角形斜边上中线等于斜边一半及直角三角形两锐角互余，解题的关键是经过角度互余转换等到线段相等．
21．（2021上·上海普陀·八年级校联考期末）在中，，，平分，是的垂直平分线，交于点M，交于点N，已知，求的长．
【答案】
【分析】连接，过点D作于点H，由角平分线的性质可得，由线段垂直平分线的性质可证，进而可证，求出，然后根据含30度角的直角边等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：连接，过点D作于点H
∵平分，，DH⊥AB
∴，
∵是的垂直平分线
∴
∴
∴
∴
∴
∴在中，
即AN=4
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，综合运用各知识点是解答本题的关键．
22．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）已知，如图在中，、分别是，边上的高，、交于，，，点为的中点，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由全等三角形的判定定理HL证得结论即可；
（2）结合（1）中全等三角形的对应边相等得到DC=DH，结合直角三角形斜边中线性质得到，然后证明是等边三角形，推出，根据得到，即可求出．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴（HL）．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，直角三角形30度角的性质等，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）已知：如图，在四边形中，，，点是边的中点，．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）延长交于点F，证明，可得，，从而得到垂直平分，进而得到，即可；
（2）根据等腰三角形的性质可得，再由，可得，从而得到，进而得到，可得到，即可．
【详解】（1）证明：如图，延长交于点F，
∵，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，，
∵，，
∴，即，
∴，即：，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
24．（2022上·上海青浦·八年级校考期末）如图，已知中，，于点，是中点，，求证：．
【答案】证明见详解
【分析】连接，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出等腰三角形，再等量代换即可得到结论；
【详解】证明：连接，
∵，
∴ ，
∵是中点，
∴；
∴
∵
∴
在中
外角
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了三角形的外角定理，平行线额性质以及直角三角形的性质，正确地识别图形是解题的关键．
25．（2023上·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，已知锐角中、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点．求证：
(1)．
(2)若，求证：是等边三角形
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，然后由等腰三角形“三线合一”即可得到答案；
（2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出即可证明．
【详解】（1）如图：连接、，
、分别是、边上的高，
,，
在与中，
M是线段的中点，
,，
，
是等腰三角形，
又因为N是线段的中点，
；
（2）在中，，
，
由（1）可知：
，
，，
，
，
，
由（1）可知是等腰三角形，
是等边三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和，等边三角形的证明；掌握基本性质是解题的关键．
26．（2022上·上海宝山·八年级校考期末）如图，在中，于点D，，点E、F分别是、的中点且，求证：．
【答案】见解析
【分析】利用证明，即可解决问题．
【详解】证明： ，
．
∵点E、F分别是、的中点，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，正确证明三角形全等是解题的关键．
27．（2021上·上海青浦·八年级校考期末）如图，在中，，是斜边上的中线，过点A作于点F，交于点E．

(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据，得出，根据，推出，根据是斜边上的中线，得出，进而得出，即可等量代换求证；
（2）由（1）可得：，则，得出则平分，推出，进而得出为等边三角形，则，得出，根据等角对等边得出，即可求证．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是斜边上的中线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得：，
∵，
∴，则平分，
∵，
∴，
∵是斜边上的中线，
∴，
∴为等边三角形，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，等腰三角形等角对等边，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，并灵活运用．
28．（2022上·上海普陀·八年级校考期中）如图，已知：是等边三角形，，点D为直线上一点，点E是直线上一点，连接、、．
(1)如图1，当且点D在边上，求证：是等边三角形；
(2)如果的边长为11，且，请直接写出线段的长度；（无需写出解题过程）
(3)当时，
①如图1，当点D在边上，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
②如图2，点D在的反向延长线上，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
【答案】(1)证明见解析
(2)线段的长度为或
(3)①成立，理由见解析；②成立，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出，，再根据平行线的性质，得出，再根据等量代换，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等边三角形的判定定理，即可得出结论；
（2）①当点在边上时，根据角之间的数量关系，得出，再根据等边三角形的性质和三线合一的性质，即可得出线段的长度；②点在边的延长线上时，根据角之间的数量关系，得出，进而得出，再根据直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据线段之间的数量关系，即可得出线段的长度；
（3）①在上截取，连接，根据等边三角形的判定定理，得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出，再根据邻补角互补，得出，再根据平行线的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，进而得出，再根据三角形的外角的性质和角之间的数量关系，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等边三角形的判定定理，即可得出结论；②过作交的延长线于点，根据等边三角形的判定定理，得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出，再根据平行线的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据“角边角”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等边三角形的判定定理，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：①当点在边上时，
∵，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，边长为11，
∴，；
②点在边的延长线上时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，线段的长度为或；
（3）解：①成立，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形；
②成立，理由如下：
如图，过作交的延长线于点，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、三角形的外角的性质，解本题的关键在证明三角形全等和运用分类讨论思想．