2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之图形的位似练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之图形的位似练习，共22页。

A．6B．8C．9D．12
2．（2024秋•铁西区期中）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，若OA：AD＝1：2，DF﹣AC＝8，则DF+AC为（ ）
A．8B．12C．16D．18
3．（2024秋•城关区期中）如图，在正方形网格图中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点RB．点PC．点QD．点O
4．（2024•裕华区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
5．（2024秋•滨湖区期中）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0）．以点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比2：1放大，得到△A′OB′，则A′，B′的坐标是（ ）
A．(1，32)，(32，0)B．（4，5），（5，0）
C．（4，6），（6，0）D．（6，9），（9，0）
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•潍坊期中）如图，在直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，则它们位似中心的坐标是 ．
7．（2024秋•武侯区校级期中）如图，已知△A1OB1与△A2OB2位似，且△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，点A1的坐标为（﹣1，2），则点A2的坐标为 ．
8．（2024秋•长春期中）如图，以点A为位似中心的四边形ABCD和四边形AB′C′D′面积比为9：4，若AB＝6，则AB′的长为 ．
9．（2023秋•牧野区校级期末）如图所示，在△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣2，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的3倍，设点B的对应点B′的横坐标是7，则点B的横坐标是 ．
10．（2023秋•富锦市校级期末）在平面直角坐标系中，A（﹣2，4），B（1，3），现以原点O为位似中心画出A′B′，使A′B′与AB相似比为12，则A的对应点A′的坐标为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•鹤山市期中）如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）请按顺序写出点A，E，C的对应点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；A（2，3）与D ；B 与E（﹣1，﹣2）；C（3，1）与F ；对应点坐标的特征是横坐标、纵坐标均 ；
（2）若点P（a+3，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值．
12．（2024秋•南安市期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．
（1）以原点O为位似中心，在第三象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的位似图形△A1B1C1；
（2）若△ABC的周长为k，则△A1B1C1的周长是 （用含k的代数式表示）．
13．（2024秋•市中区期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，以原点O为位似中心，在第一象限内将△OAB放大到原来的2倍后得到△OA'B'，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为A′、B′．
（1）在第一象限内画出△OA'B'；
（2）求△OA′B′的面积；
（3）若点P（m，n）在边OB上，直接写出点P位似后的对应点P1的坐标 ．
14．（2024秋•商河县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的左侧，画一个△A′B′C′，使它与△ABC位似，相似比是2；
（2）请直接写出点B′，C′的坐标：B′（ ， ），C′（ ， ）．
15．（2024秋•郑州校级期中）实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．
（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；
（2）点M是OA的中点，在（1）的条件下，M的对应点M′的坐标为 ．
（3）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O2A2B．
2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之图形的位似
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋•武强县期中）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心．若OA＝2AD，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为（ ）
A．6B．8C．9D．12
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】A
【分析】结合题意可得△ABC与△DEF的位似比为2：3，则△ABC与△DEF的周长比为2：3，进而可得答案．
【解答】解：∵OA＝2AD，
∴OA：OD＝2：3．
∵△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，
∴△ABC与△DEF的位似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：3．
∵△ABC的周长为4，
∴△DEF的周长为6．
故选：A．
【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
2．（2024秋•铁西区期中）如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，若OA：AD＝1：2，DF﹣AC＝8，则DF+AC为（ ）
A．8B．12C．16D．18
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】首先根据题意可知OAOD=13，再结合位似图形的性质可得ACDF=OAOD=13，结合DF﹣AC＝8解得AC、DF的值，进而可得答案．
【解答】解：△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，OA：AD＝1：2，
∴OAOD=13，
∴ACDF=OAOD=13，
∴DF＝3AC，
∵DF﹣AC＝8，
∴3AC﹣AC＝2AC＝8，
解得AC＝4，
∴DF＝3AC＝12，
∴DF+AC＝12+4＝16．
故选：C．
【点评】本题主要考查了位似变换，熟练掌握位似图形的定义和性质是解题关键．
3．（2024秋•城关区期中）如图，在正方形网格图中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心是（ ）
A．点RB．点PC．点QD．点O
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】D
【分析】根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心．
【解答】解：连接AA′，CC′，交于点O，
∴点O是位似中心，
故答案为：D．
【点评】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键．
4．（2024•裕华区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）
C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【答案】D
【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．
【解答】解：∵点A（﹣3，6），以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，
∴点A的对应点A′的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2），
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
5．（2024秋•滨湖区期中）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0）．以点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比2：1放大，得到△A′OB′，则A′，B′的坐标是（ ）
A．(1，32)，(32，0)B．（4，5），（5，0）
C．（4，6），（6，0）D．（6，9），（9，0）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据关于以原点为位似中心的对称点的坐标特征，把点A、B的横纵坐标都乘以2得到点A′，B′的坐标．
【解答】解：∵以点O为位似中心，在第一象限内把△AOB按相似比2：1放大，得到△A′OB′，而点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0），
∴点A′的坐标为（2×2，2×3），点B′的坐标为（3×2，0×2），即点A′的坐标为（4，6），点B′的坐标为（6，0），
故选：C．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•潍坊期中）如图，在直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，则它们位似中心的坐标是 （0，2） ．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；图形的相似；几何直观．
【答案】（0，2）．
【分析】直接利用位似图形的性质：对应点的连线都经过同一点，连接对应点，进而得出位似中心的位置．
【解答】解：如图所示：位似中心点P的坐标为（0，2）．
故答案为：（0，2）．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
7．（2024秋•武侯区校级期中）如图，已知△A1OB1与△A2OB2位似，且△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，点A1的坐标为（﹣1，2），则点A2的坐标为 （2，﹣4） ．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（2，﹣4）．
【分析】利用相似的性质得到△A1OB1与△A2OB2的位似之比为1：2，然后把点A1的横纵坐标分别乘以﹣2得到点A2的坐标．
【解答】解：∵△A1OB1与△A2OB2的周长之比为1：2，
∴△A1OB1与△A2OB2的位似之比为1：2，
而点A1的坐标为（﹣1，2），
∴点A2的坐标为（2，﹣4）．
故答案为：（2，﹣4）．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
8．（2024秋•长春期中）如图，以点A为位似中心的四边形ABCD和四边形AB′C′D′面积比为9：4，若AB＝6，则AB′的长为 4 ．
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；几何直观；应用意识．
【答案】4．
【分析】由题意得四边形ABCD与四边形AB′C′D′的相似比为3：2，即AB：AB'＝3：2，进而可得答案．
【解答】解：∵以点A为位似中心的四边形ABCD和四边形AB′C′D′面积比为9：4，
∴四边形ABCD与四边形AB′C′D′的相似比为3：2，
∴AB：AB'＝3：2，
∵AB＝6，
∴AB′＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
9．（2023秋•牧野区校级期末）如图所示，在△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣2，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的3倍，设点B的对应点B′的横坐标是7，则点B的横坐标是 ﹣5 ．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】﹣5．
【分析】设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣2﹣x，B′、C间的横坐标的长度为7﹣（﹣2）＝9，然后根据位似图形的性质解答即可．
【解答】解：设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣2﹣x，B′、C间的横坐标的长度为7﹣（﹣2）＝9，
∵△ABC放大到原来的3倍得到△A′B′C，
∴3（﹣2﹣x）＝9，
解得：x＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查的是位似图形的性质，灵活运用位似图形坐标的性质列方程计算是解题的关键．
10．（2023秋•富锦市校级期末）在平面直角坐标系中，A（﹣2，4），B（1，3），现以原点O为位似中心画出A′B′，使A′B′与AB相似比为12，则A的对应点A′的坐标为 （﹣1，2）或（1，﹣2） ．
【考点】作图﹣位似变换．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点的A的横纵坐标都乘以12或−12得到A的对应点A′的坐标．
【解答】解：∵以原点O为位似中心画出A′B′，使A′B′与AB相似比为12，
而A（﹣2，4），
∴A的对应点A′的坐标为（﹣2×12，4×12）或[﹣2×（−12），4×（−12）]，
即（﹣1，2）或（1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•鹤山市期中）如图，△DEF是△ABC经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）请按顺序写出点A，E，C的对应点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；A（2，3）与D （﹣2，﹣3） ；B （1，2） 与E（﹣1，﹣2）；C（3，1）与F （﹣3，﹣1） ；对应点坐标的特征是横坐标、纵坐标均 互为相反数 ；
（2）若点P（a+3，4﹣b）与点Q（2a，2b﹣3）也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值．
【考点】几何变换的类型；坐标与图形性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）（﹣2，﹣3），（1，2），（﹣3，﹣1），互为相反数；
（2）a＝﹣1，b＝﹣1．
【分析】（1）根据点D，B，F的位置写出坐标即可；
（2）利用规律构建方程组求解．
【解答】解：（1）A（2，3）与D（﹣2，﹣3）；B（1，2）与E（﹣1，﹣2）；C（3，1）与F（﹣3，﹣1）；
对应点坐标的特征是横坐标、纵坐标均互为相反数；
故答案为：（﹣2，﹣3），（1，2），（﹣3，﹣1），互为相反数；
（2）由题意a+3+2a=04−b+2b−3=0，
解得a=−1b=−1．
∴a＝﹣1，b＝﹣1．
【点评】本题考查几何变换的类型，坐标与图形性质，解题的关键是掌握中心对称变换的性质，属于中考常考题型．
12．（2024秋•南安市期中）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．
（1）以原点O为位似中心，在第三象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的位似图形△A1B1C1；
（2）若△ABC的周长为k，则△A1B1C1的周长是 2k （用含k的代数式表示）．
【考点】作图﹣位似变换．
【专题】作图题；图形的相似；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）2k．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可．
（2）由题意得，△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2，进而可得答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由题意得，△ABC与△A1B1C1的相似比为1：2，
∴△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2，
∵△ABC的周长为k，
∴△A1B1C1的周长是2k．
故答案为：2k．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
13．（2024秋•市中区期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，以原点O为位似中心，在第一象限内将△OAB放大到原来的2倍后得到△OA'B'，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为A′、B′．
（1）在第一象限内画出△OA'B'；
（2）求△OA′B′的面积；
（3）若点P（m，n）在边OB上，直接写出点P位似后的对应点P1的坐标 （2m，2n） ．
【考点】作图﹣位似变换．
【专题】作图题；图形的相似；几何直观；运算能力．
【答案】（1）见解答．
（2）10．
（3）（2m，2n）．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（3）根据位似的性质可得答案．
【解答】解：（1）如图，△OA'B'即为所求．
（2）△OA′B′的面积为12×(2+4)×6−12×4×2−12×2×4=18﹣4﹣4＝10．
（3）由题意得，点P位似后的对应点P1的坐标为（2m，2n）．
故答案为：（2m，2n）．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
14．（2024秋•商河县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的左侧，画一个△A′B′C′，使它与△ABC位似，相似比是2；
（2）请直接写出点B′，C′的坐标：B′（ ﹣2 ， 8 ），C′（ ﹣6 ， 4 ）．
【考点】作图﹣位似变换．
【专题】作图题；图形的相似；几何直观．
【答案】（1）作图见解析过程；
（2）﹣2；8；﹣6；4．
【分析】（1）根据位似即可得解；
（2）根据（1）中的图即可得解．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）根据图得，B′（﹣2，8），C′（﹣6，4）．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换，解题的关键是理解题意，掌握位似．
15．（2024秋•郑州校级期中）实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为（1，3），（3，2）．
（1）画出△OAB绕点B顺时针旋转90°后的△O′A′B；
（2）点M是OA的中点，在（1）的条件下，M的对应点M′的坐标为 (52，92) ．
（3）以点B为位似中心，相似比为2：1，在x轴的上方画出△O′A′B放大后的△O2A2B．
【考点】作图﹣位似变换；作图﹣旋转变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解析；
（2）(52，92)；
（3）见解析．
【分析】（1）先作出点O、A绕点B顺时针旋转90°的对应点，然后再顺次连接即可；
（2）由题意得，点M′是O′A′的中点，利用中点坐标公式求解即可；
（3）根据位似的性质作图即可．
【解答】解：（1）如图，△O′A′B即为所求．
（2）∵点M是OA的中点，
∴点M′是O′A′的中点，
根据作图可知：O′（1，5），A′（4，4），
∴点M′的坐标为(52，92)；
（3）如图，△O2A2B即为所求．
【点评】本题考查作图——旋转变换、位似变换、中点坐标公式，熟练掌握旋转和位似的性质是解答本题的关键．
考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．作图-旋转变换
（1）旋转图形的作法：
根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．
3．几何变换的类型
（1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等． （2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分． （3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角． （4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心．
4．位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
5．作图-位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．