2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之平行线分线段成比例练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之平行线分线段成比例练习，共21页。

A．8B．607C．353D．12
2．（2024秋•饶阳县期中）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB＝9，则线段BC的长是（ ）
A．12B．32C．2D．3
3．（2024秋•深圳期中）如图，已知l1∥l2∥l3，若AB＝1，BC＝2，DE＝1.5，则EF的长为（ ）
A．1.5B．2C．3D．4.5
4．（2024•永昌县校级一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（ ）
A．3B．6C．5D．4
5．（2023秋•商河县期末）如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段AB＝3.2cm，则线段BC的长为（ ）
A．6.4cmB．8cmC．9.6cmD．12.8cm
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•铁西区期中）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF与直线l1交于点A、D，与直线l2交于点B、E，与直线l3交于点C、F，如果AB＝2，BC＝5，EF=275，那么DE的长为 ．
7．（2024秋•东城区校级期中）如图，在△ABC中，若DE∥BC，ADAB=13，AE＝4cm，则AC的长为 cm．
8．（2024秋•浦东新区期中）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果ADDF=23，BE＝20，那么线段CE的长是 ．
9．（2024•武威二模）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于 ．
10．（2024秋•宝山区校级期中）如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果AB＝2，AC＝5，那么DEEF的值是 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•西安期中）如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若AD＝3，DE＝6．
（1）若AB＝4.5，求BC的长；
（2）若EF＝10，求BE的长．
12．（2024秋•济南期中）如图，若直线a∥b∥c，它们依次交直线m、n于点A，B，C和点D，E，F．
（1）如果AB＝5，BC＝8，EF＝7，求DE的长；
（2）如果DE：EF＝3：4，AC＝21，求BC的长．
13．（2024秋•武昌区校级期中）（1）如图1，在△ABC中，AD是它的角平分线，求证：S△ABD：S△ACD＝AB：AC．
（2）如图2，AD是△ABC的外角的平分线，求证：ABAC=BDCD．
14．（2024秋•武邑县期中）如图，AD为BC边上的中线，E为AD上的点，连接BE并延长，交AC于F．
（1）若E是AD的中点，则AF：AC＝ ；
（2）若AE：ED＝1：2，则AF：AC＝ ；
（3）若AE：ED＝1：3，则AF：AC＝ ；
（4）若AE：ED＝1：n，猜想AF：AC＝ ，并证明．
15．（2024秋•裕华区校级期中）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则ABAC=BDCD．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是 ．
2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之平行线分线段成比例
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋•碑林区校级期中）如图，已知AB∥CD∥EF，AD＝6，BC＝7，CE＝10，则DF的长为（ ）
A．8B．607C．353D．12
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴BCCE=ADDF，
∵AD＝6，BC＝7，CE＝10，
∴710=6DF，
解得：DF=607，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键．
2．（2024秋•饶阳县期中）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB＝9，则线段BC的长是（ ）
A．12B．32C．2D．3
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴ABBC=31
∵AB＝9，
∴BC＝3．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
3．（2024秋•深圳期中）如图，已知l1∥l2∥l3，若AB＝1，BC＝2，DE＝1.5，则EF的长为（ ）
A．1.5B．2C．3D．4.5
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理可知，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，列出比例式解答即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴ABBC=DEEF，
∴12=1.5EF，
解得EF＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记定理并灵活运用是解题的关键．三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
4．（2024•永昌县校级一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（ ）
A．3B．6C．5D．4
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例由DE∥BC得到ADAB=AEAC，然后根据比例的性质可求出AE．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ADAB=AEAC，
∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，
∴22+3=AE10，
∴AE＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，正确记忆行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题关键．
5．（2023秋•商河县期末）如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在竖格线上．若线段AB＝3.2cm，则线段BC的长为（ ）
A．6.4cmB．8cmC．9.6cmD．12.8cm
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵练习纸中的竖格线都平行，
∴ABBC=26，
∵AB＝3.2cm，
∴BC＝9.6cm，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•铁西区期中）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF与直线l1交于点A、D，与直线l2交于点B、E，与直线l3交于点C、F，如果AB＝2，BC＝5，EF=275，那么DE的长为 5425 ．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】5425．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴ABBC=DEEF，
∵AB＝2，BC＝5，EF=275，
∴ABBC=25=DE275，
∴DE=25×275=5425，
所以DE的长为5425．
故答案为：5425．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
7．（2024秋•东城区校级期中）如图，在△ABC中，若DE∥BC，ADAB=13，AE＝4cm，则AC的长为 12 cm．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】12．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ADAB=AEAC，即4AC=13，
解得：AC＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
8．（2024秋•浦东新区期中）如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果ADDF=23，BE＝20，那么线段CE的长是 12 ．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】12．
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ADDF=BCCE=23，
∴23=BC20−BC，
∴BC＝8，
∴CE＝20﹣8＝12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
9．（2024•武威二模）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于 5：8 ．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得到AE：EC＝AD：DB＝3：5，则利用比例性质得到CE：CA＝5：8，然后利用EF∥AB可得到CF：CB＝5：8．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴AE：EC＝AD：DB＝3：5，
∴CE：CA＝5：8，
∵EF∥AB，
∴CF：CB＝CE：CA＝5：8．
故答案为5：8．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
10．（2024秋•宝山区校级期中）如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果AB＝2，AC＝5，那么DEEF的值是 23 ．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】23．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
【解答】解：∵AB＝2，AC＝5，
∴BC＝AC﹣AB＝5﹣2＝3，
∵AD∥BE∥FC，
∴DEEF=ABBC=23，
故答案为：23．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•西安期中）如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线a，b，c于点A，B，C，D，E，F．若AD＝3，DE＝6．
（1）若AB＝4.5，求BC的长；
（2）若EF＝10，求BE的长．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）9；
（2）203．
【分析】（1）（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3，
∴ABBC=ADDE，
∵AD＝3，DE＝6．AB＝4.5，
∴4.5BC=36，
解得：BC＝9；
（2）∵l1∥l2∥l3，
∴FBBE=ADDE，即10−BEBE=36，
解得：BE=203．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键．
12．（2024秋•济南期中）如图，若直线a∥b∥c，它们依次交直线m、n于点A，B，C和点D，E，F．
（1）如果AB＝5，BC＝8，EF＝7，求DE的长；
（2）如果DE：EF＝3：4，AC＝21，求BC的长．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）358；
（2）12．
【分析】（1）（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴AB：BC＝DE：EF，
∵AB＝5，BC＝8，EF＝7，
∴5：8＝DE：7，
∴DE=358；
（2）∵AD∥BE∥CF，
∴AB：BC＝DE：EF，
∵DE：EF＝3：4，
∴AB：AC＝3：7，
∵AC＝21，
∴AB＝9，
∴BC＝AC﹣AB＝12．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键．
13．（2024秋•武昌区校级期中）（1）如图1，在△ABC中，AD是它的角平分线，求证：S△ABD：S△ACD＝AB：AC．
（2）如图2，AD是△ABC的外角的平分线，求证：ABAC=BDCD．
【考点】平行线分线段成比例；角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到DE＝DF，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）过点C作CF∥AD，交AB于点F，根据平行线的性质可得∠ACF＝∠CAD，∠EAD＝∠AFC，进而证得AF＝AC，根据平行线分线段成比例得ABAF=BDCD，等量代换证得结论．
【解答】证明：（1）如图1，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∵S△ABD=12AB⋅DE，S△ACD=12AC⋅DF，
∴S△ABDS△ACD=12AB⋅DE12AC⋅DF=ABAC，
即S△ABD：S△ACD＝AB：AC；
（2）过点C作CF∥AD，交AB于点F，
∴∠ACF＝∠CAD，∠EAD＝∠AFC，ABAF=BDCD，
∵AD平分∠CAE，
∴∠CAD＝∠EAD，
∴∠ACF＝∠AFC，
∴AF＝AC，
∴ABAC=BDCD．
【点评】本题考查了角平分线的性质以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确添加辅助线．
14．（2024秋•武邑县期中）如图，AD为BC边上的中线，E为AD上的点，连接BE并延长，交AC于F．
（1）若E是AD的中点，则AF：AC＝ 1：3 ；
（2）若AE：ED＝1：2，则AF：AC＝ 1：5 ；
（3）若AE：ED＝1：3，则AF：AC＝ 1：7 ；
（4）若AE：ED＝1：n，猜想AF：AC＝ 1：（2n+1） ，并证明．
【考点】平行线分线段成比例；三角形中位线定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力．
【答案】（1）1：3；
（2）1：5；
（3）1：7；
（4）1：（2n+1），理由见解析．
【分析】（1）取CF中点G，连接DG，根据三角形中位线定理得出DG∥EF，根据平行线分线段成比例得出AEDE=AFFG=1，然后根据比例的性质求解即可；
（2）仿照（1）求解即可；
（3）仿照（1）求解即可；
（4）仿照（1）求解即可．
【解答】解：（1）取CF中点G，连接DG，则FG＝CG，
∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴DG是△BCF的中位线，
∴DG∥EF，
∴AEDE=AFFG，
∵E是AD的中点，
∴AEDE=1，
∴AFFG=1，
又FG＝CG，
∴AFAC=AFAF+FG+CG=11+1+1=13，
即AF：AC＝1：3，
故答案为：1：3；
（2）取CF中点G，连接DG，则FG＝CG，
∵AD为BC边上的中线，
∴DG∥EF，
∴AEDE=AFFG=12，
又FG＝CG，
∴AFAC=AFAF+FG+CG=11+2+2=15，
即AF：AC＝1：5，
故答案为：1：5；
（3）取CF中点G，连接DG，则FG＝CG，
∵AD为BC边上的中线，
∴DG∥EF，
∴AEDE=AFFG，
∵AE：ED＝1：3，
∴AFFG=13，
又FG＝CG，
∴AFAC=AFAF+FG+CG=11+3+3=17，
即AF：AC＝1：7，
故答案为：1：7；
（4）AF：AC＝1：（2n+1）．
理由：取CF中点G，连接DG，则FG＝CG，
∵AD为BC边上的中线，
∴DG∥EF，
∴AEDE=AFFG，
∵AE：ED＝1：n，
∴AFFG=1n，
又FG＝CG，
∴AFAC=AFAF+FG+CG=11+n+n=12n+1，
即AF：AC＝1：（2n+1），
故答案为：1：（2n+1）．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线定理，解题的关键掌握平行线分线段成比例定理．
15．（2024秋•裕华区校级期中）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则ABAC=BDCD．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E．…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是 9+35 ．
【考点】平行线分线段成比例；角平分线的性质；勾股定理．
【答案】（1）证明见解析；
（2）9+35．
【分析】（1）过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到BDCD=BAEA，利用平行线的性质得∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，由∠1＝∠2得∠ACE＝∠E，所以AE＝AC，于是有ABAC=BDCD；
（2）利用勾股定理计算出AC＝10，再利用（1）中的结论得到ACAB=CDBD，则可计算出BD＝3，然后利用勾股定理计算出AD=35，从而可得到△ABD的周长．
【解答】（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E，
∴BDCD=BAEA，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴ABAC=BDCD；
（2）解：如图3，∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，
∴AC=62+82=10，
∵AD平分∠BAC，
∴ACAB=CDBD，即106=BC−BDBD，
∴BD＝3，
∴AD=BD2+AB2=32+62=35，
∴△ABD的周长=3+6+35=9+35．
故答案为：9+35．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、勾股定理．熟记三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
考点卡片
1．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
2．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=c2−b2，b=c2−a2及c=a2+b2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
3．三角形中位线定理
（1）三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2）几何语言：
如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE=12BC．
4．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．