2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之投影练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之投影练习，共20页。

A．90cm2B．135cm2C．150cm2D．375cm2
2．（2024秋•历下区期中）如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，夏至日影最短．圭面上冬至线与夏至线之间的距离AB的长为3.5m，则表高为（ ）
（参考数据：冬至时，表高影长≈0.5；夏至时，表高影长≈3）
A．2.1mB．2.4mC．5.6mD．5.8m
3．（2024•渝中区模拟）如图，日晷是我国古代的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就像钟表的指针一样慢慢地转动，晷针的影子指向晷面的某一位置，便可知道是白天的某一时间．晷针在晷面上形成的投影是（ ）
A．平行投影
B．既是平行投影又是中心投影
C．中心投影
D．无法确定
4．（2024•赤峰一模）下列投影是平行投影的是（ ）
A．太阳光下窗户的影子
B．台灯下书本的影子
C．在手电筒照射下纸片的影子
D．路灯下行人的影子
5．（2024春•让胡路区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点P（2，2）处，木杆AB∥x轴，点A的坐标为（0，1），木杆AB在x轴上的投影长度为6，则点B的坐标为（ ）
A．（2，1）B．（3，1）C．（4，1）D．（5，1）
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•铁西区期中）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法，如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则△OA′B′的面积为 cm2．
7．（2024•南山区校级三模）如图，同一时刻在阳光照射下，树AB的影子BC＝3m，小明的影子B'C'＝1.5m，已知小明的身高A'B'＝1.7m，则树高AB＝ ．
8．（2023秋•莱芜区期末）日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是 投影．（填“平行”或“中心”）
9．（2024•渠县校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（2，2）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的影长CD为 ．
10．（2023秋•东辽县期末）如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为 米．
三．解答题（共5小题）
11．（2024•金平区二模）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．
（1）此光源下形成的投影属于 .（填“平行投影”或“中心投影”）
（2）已知树高AB为2m，树影BC为3m，树与路灯的水平距离BP为4.5m．求路灯的高度OP．
12．（2023秋•禹城市期末）如图，电线杆上有盏路灯O，小明从点F出发，沿直线FM运动，当他运动2米到达点D处时，测得影长DN＝0.6m，再前进2米到达点B处时，测得影长MB＝1.6m，（图中线段AB、CD、EF表示小明的身高）
（1）请画出路灯O的位置和小明位于F处时，在路灯灯光下的影子；
（2）求小明位于F处的影长．
13．（2023秋•信宜市期末）试确定图中路灯的位置，并画出此时小明在路灯下的影子．
14．（2023秋•九江期末）小明和小丽在操场上玩耍，小丽突然高兴地对小明说：“我踩到你的‘脑袋’了．”如图即表示此时小明和小丽的位置．
（1）请画出此时小丽在阳光下的影子；
（2）若已知小明身高为1.60m，小明和小丽之间的距离为2m，而小丽的影子长为1.75m，求小丽的身高．
15．（2023秋•浦东新区期末）汽车盲区是造成交通事故的罪魁祸首之一，它是指驾驶员位于正常驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．有一种汽车盲区叫做内轮差盲区，内轮差是车辆在转弯时前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差；由于内轮差的存在而形成的这个区域（如图1所示）是司机视线的盲区．卡车，货车等车身较长的大型车在转弯时都会产生这种盲区．为了解决这个问题，现在许多路口都开始设置“右转危险区”标线．
如图2是我区某一路口“右转危险区”的示意图，经过测量后内轮转弯半径O1A＝O1D＝10米，前内轮转弯半径O2B＝O2C＝4米，圆心角∠DO1A＝∠CO2B＝90°，求此“右转危险区”的面积和周长．
2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之投影
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋•罗湖区期中）如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若AB：A1B1＝2：5，则△A1B1C1的面积是（ ）
A．90cm2B．135cm2C．150cm2D．375cm2
【考点】中心投影；三角形的面积．
【专题】投影与视图；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】由题意可知△A1B1C1与△ABC是位似图形，根据位似图形的面积比等于位似比的平方可得答案．
【解答】解：由题意可知，△A1B1C1与△ABC是位似图形，且位似比为：2：5，
∴△A1B1C1的面积是60÷（25）2＝375（cm2），
故选：D．
【点评】本题考查了中心投影以及三角形的面积，根据题意得出△A1B1C1与△ABC是位似图形是解答本题的关键．
2．（2024秋•历下区期中）如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，夏至日影最短．圭面上冬至线与夏至线之间的距离AB的长为3.5m，则表高为（ ）
（参考数据：冬至时，表高影长≈0.5；夏至时，表高影长≈3）
A．2.1mB．2.4mC．5.6mD．5.8m
【考点】平行投影．
【专题】投影与视图；运算能力．
【答案】A
【分析】设表高CD＝x m．判断出BC＝2x m，AC=13x m，根据AB＝3.5m，构建方程求解．
【解答】解：设表高CD＝x m．
则有BC＝2x m，AC=13x m，
∵AB＝3.5m，
∴2x−13x＝3.5，
解得x＝2.1．
∴表高CD＝2.1m．
故选：A．
【点评】本题考查平行投影，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
3．（2024•渝中区模拟）如图，日晷是我国古代的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就像钟表的指针一样慢慢地转动，晷针的影子指向晷面的某一位置，便可知道是白天的某一时间．晷针在晷面上形成的投影是（ ）
A．平行投影
B．既是平行投影又是中心投影
C．中心投影
D．无法确定
【考点】中心投影；平行投影．
【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】A
【分析】根据中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可．
【解答】解：晷针在晷面上形成的投影是平行投影．
故选：A．
【点评】本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键．
4．（2024•赤峰一模）下列投影是平行投影的是（ ）
A．太阳光下窗户的影子
B．台灯下书本的影子
C．在手电筒照射下纸片的影子
D．路灯下行人的影子
【考点】平行投影．
【答案】A
【分析】可根据平行投影的特点分析求解，或根据常识直接确定答案即可．
【解答】解：A、太阳光下窗户的影子，是平行投影，故本选项正确；
B、台灯下书本的影子是中心投影，故本选项错误；
C、在手电筒照射下纸片的影子是中心投影，故本选项错误；
D、路灯下行人的影子是中心投影，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了平行投影特点：解题的关键是根据平行投影和中心投影的区别进行解答即可．
5．（2024春•让胡路区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点P（2，2）处，木杆AB∥x轴，点A的坐标为（0，1），木杆AB在x轴上的投影长度为6，则点B的坐标为（ ）
A．（2，1）B．（3，1）C．（4，1）D．（5，1）
【考点】中心投影；坐标确定位置．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】利用中心投影，延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，证明△PAB∽△PA′B′，然后利用相似比可求出AB的长．
【解答】解：延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图，
∵P（2，2），A（0，1），AB∥x轴，
∴PD＝1，PE＝2，A'B'＝6，
∵AB∥A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴ABA′B′=PDPE，
即AB6=12，
∴AB＝3，
∵点A的坐标为（0，1），
∴B（3，1），
故选：B．
【点评】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•铁西区期中）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法，如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则△OA′B′的面积为 240 cm2．
【考点】平行投影．
【专题】投影与视图；运算能力．
【答案】240．
【分析】利用已知得出：△ABO∽△A′B′O，进而利用相似三角形的性质求出小孔O到A′B′的距离，再根据三角形的面积公式得出答案即可．
【解答】解：设小孔O到A′B′的距离为x cm，
根据小孔成像的原理可得：△ABO∽△A′B′O，
∴ABA′B′=3624=30x，
∴x＝20．
△OA′B′的面积为12x×A′B′=12×20×24=240（cm2），
故答案为：240．
【点评】此题主要考查平行投影，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．
7．（2024•南山区校级三模）如图，同一时刻在阳光照射下，树AB的影子BC＝3m，小明的影子B'C'＝1.5m，已知小明的身高A'B'＝1.7m，则树高AB＝ 3.4m ．
【考点】平行投影．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用同一时刻物体的高度与其影长成正比得到AB3=1.71.5，然后利用比例性质求出AB即可．
【解答】解：根据题意得ABBC=A′B′B′C′，即AB3=1.71.5，
所以AB＝3.4（m）．
故答案为3.4m．
【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
8．（2023秋•莱芜区期末）日晷是我国古代的一种计时仪器，它由晷面和晷针组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子会随着时间的推移慢慢移动，以此来显示时刻，则晷针在晷面上形成的投影是 平行 投影．（填“平行”或“中心”）
【考点】平行投影；平行线的判定．
【专题】数形结合；线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据中心投影和平行投影的定义，结合光的照射方式判断即可．
【解答】解：∵太阳光的光线可以看成平行光线，
∴晷针在晷面上形成的投影是平行投影，
故答案为：平行．
【点评】本题考查了中心投影和平行投影的定义，正确分析光的照射方式是解答本题的关键．中心投影的定义：光由一点向外散射形成的投影；平行投影的定义：光源以平行的方式照射到物体上形成的投影．
9．（2024•渠县校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（2，2）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的影长CD为 6 ．
【考点】中心投影；坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；投影与视图；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用中心投影，作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，证明△PAB∽△CPD，然后利用相似比可求出CD的长．
【解答】解：过P作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，
∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．
∴PM＝1，PE＝2，AB＝3，
∵AB∥CD，
∴ABCD=PMPE
∴3CD=12
∴CD＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
10．（2023秋•东辽县期末）如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为 127 米．
【考点】视点、视角和盲区．
【专题】解直角三角形及其应用；投影与视图；运算能力；应用意识．
【答案】127．
【分析】通过作高，利用相似三角形的判定和性质，列比例解答即可．
【解答】解：如图，过点P作PQ⊥BE，交AF于点M，由于3FD＝2FA，可是AF＝x米，则DF=23x米，
∵四边形ACDF是矩形，
∴AF∥CD，
∴△PAF∽△PBE，
∴AFBE=PMPQ，
即x6=1.6−23x1.6．
解得x=127，
即AF=127米，
故答案为：127．
【点评】本题考查视角与盲区，掌握相似三角形的判定和性质以及矩形的性质是正确解答的前提．
三．解答题（共5小题）
11．（2024•金平区二模）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．
（1）此光源下形成的投影属于 中心投影 .（填“平行投影”或“中心投影”）
（2）已知树高AB为2m，树影BC为3m，树与路灯的水平距离BP为4.5m．求路灯的高度OP．
【考点】中心投影；平行投影．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】（1）中心投影；（2）5米．
【分析】（1）由中心投影的定义确定答案即可；
（2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：（1）∵此光源属于点光源，
∴此光源下形成的投影属于中心投影，
故答案为：中心投影；
（2）∵AB⊥CP，PO⊥PC，
∴OP∥AB，
∴△ABC∽△OPC，
∴ABOP=BCPC，
即：2OP=33+4.5，
解得：OP＝5（m），
∴路灯的高度为5米．
【点评】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
12．（2023秋•禹城市期末）如图，电线杆上有盏路灯O，小明从点F出发，沿直线FM运动，当他运动2米到达点D处时，测得影长DN＝0.6m，再前进2米到达点B处时，测得影长MB＝1.6m，（图中线段AB、CD、EF表示小明的身高）
（1）请画出路灯O的位置和小明位于F处时，在路灯灯光下的影子；
（2）求小明位于F处的影长．
【考点】中心投影．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接MA、NC并延长，交点即为点O，再连接OE并延长于底面的交点为G，FG即为所求；
（2）过O作OH⊥MG于点H，设DH＝xm，根据AB∥CD∥OH得MBMH=NDNH，据此求得DH，再根据FGHG=NDNH可求得FG．
【解答】解：（1）如图：
（2）过O作OH⊥MG于点H，设DH＝xm，
由AB∥CD∥OH得：MBMH=NDNH，
即1.63.6+x=0.60.6+x，
解得x＝1.2．
设FG＝ym，
同理得FGHG=NDNH，
即y0.8+y=0.61.8，
解得y＝0.4．
所以EF的影长为0.4m．
【点评】本题主要考查中心投影，需要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可．
13．（2023秋•信宜市期末）试确定图中路灯的位置，并画出此时小明在路灯下的影子．
【考点】中心投影．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别过物体的顶点及其影子的顶点作射线，两条射线的交点即为光源的位置，进而画出小明的影子即可．
【解答】解：如图所示：
【点评】本题考查了中心投影的作图，解题的关键是要知道：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．
14．（2023秋•九江期末）小明和小丽在操场上玩耍，小丽突然高兴地对小明说：“我踩到你的‘脑袋’了．”如图即表示此时小明和小丽的位置．
（1）请画出此时小丽在阳光下的影子；
（2）若已知小明身高为1.60m，小明和小丽之间的距离为2m，而小丽的影子长为1.75m，求小丽的身高．
【考点】平行投影．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用阳光是平行投影进而得出小丽在阳光下的影子进而得出答案；
（2）利用相同时刻身高与影子成正比进而得出即可．
【解答】解：（1）如图所示：CA即为小丽在阳光下的影子；
（2）∵小明身高为1.60m，小明和小丽之间的距离为2m，而小丽的影子长为1.75m，
设小丽的身高为xm，
∴1.62=x1.75，
解得：x＝1.4，
答：小丽的身高为1.4m．
【点评】此题主要考查了平行投影的性质，根据已知得出小丽的影子位置是解题关键．
15．（2023秋•浦东新区期末）汽车盲区是造成交通事故的罪魁祸首之一，它是指驾驶员位于正常驾驶座位置，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．有一种汽车盲区叫做内轮差盲区，内轮差是车辆在转弯时前内轮转弯半径与后内轮转弯半径之差；由于内轮差的存在而形成的这个区域（如图1所示）是司机视线的盲区．卡车，货车等车身较长的大型车在转弯时都会产生这种盲区．为了解决这个问题，现在许多路口都开始设置“右转危险区”标线．
如图2是我区某一路口“右转危险区”的示意图，经过测量后内轮转弯半径O1A＝O1D＝10米，前内轮转弯半径O2B＝O2C＝4米，圆心角∠DO1A＝∠CO2B＝90°，求此“右转危险区”的面积和周长．
【考点】视点、视角和盲区．
【专题】与圆有关的计算；应用意识．
【答案】周长为（7π+12）m，面积为（84﹣21π）m2．
【分析】根据“右转危险区”的周长=AD的长+2AB+BC的长．“右转危险区”的面积＝六边形O1DCO2BA的面积+S扇形O2BC−S扇形O1AD，求解即可．
【解答】解：“右转危险区”的周长=AD的长+2AB+BC的长=90π×10180+2（10﹣4）+90π×4180=（7π+12）（m）．
“右转危险区”的面积＝六边形O1DCO2BA的面积+S扇形O2BC−S扇形O1AD=102﹣42+90π×42360−90π×102360=（84﹣21π）（m2）．
【点评】本题考查视点，视角和盲区，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
考点卡片
1．坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．
2．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
3．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
4．平行投影
（1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．
（2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．
（3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．
（4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影．
（5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影．
5．中心投影
（1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．
（2）中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
（3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影．
6．视点、视角和盲区
（1）把观察者所处的位置定为一点，叫视点．
（2）人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角．
（3）盲区：视线到达不了的区域为盲区．