2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之相似三角形判定定理的证明练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之相似三角形判定定理的证明练习，共27页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
1．（2024秋•锡山区校级期中）如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠得到△HEF，延长FH交BC于点M，连接EM．下列结论：①△EFM是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③当点M与点C重合时，DF＝3AF；④MF平分正方形ABCD的面积；⑤4FH•MH＝AB2．其中结论正确的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．（2024秋•滨湖区期中）如图，AB，CD相交于点E，点A，B，C，D都在格点上，则AEBE的值为（ ）
A．43B．54C．65D．76
3．（2024秋•铁西区期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝8，则EF的长为（ ）
A．2B．52C．83D．4
4．（2024秋•杨浦区期中）如图，已知在△ABC中，点G是中线AH上一点，且AGAH=34，点D、E分别在边AB、AC上，DE经过点G．那么下列结论中，错误的是（ ）
A．如果AD＝3BD，那么DE∥BC
B．如果点E与点C重合，那么AD：BD＝3：2
C．ABAD+ACAE的和是一个定值
D．ADAB+AEAC的和是一个定值
5．（2024•玉田县二模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝20cm，BD＝10cm，AQ＝8m，则树高为（ ）
A．8mB．8cmC．4mD．4cm
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•嘉定区期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0）、（1，﹣2），△AB′O′∽△ABO（点A、点B、点O的对应点分别是点A、点B'、点O'，O'的坐标为（﹣1，0），点B'在第四象限，那么点B'的坐标为 ．
7．（2024秋•南安市期中）如图，△ABC的面积为16，将△ABC沿AD方向平移，使A的对应点A′满足AA′=13DA′，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
8．（2024秋•商河县期中）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交BC于点E，EF⊥AE，交CD于点F，以AE，EF为边，作矩形AEFG，FG与DA相交于点H．若CE＝3，AH＝4，则AE＝ ．
9．（2024秋•包河区期中）如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝8cm，动点P从点A出发到B点停止，动点Q从点C出发到A点停止，点P运动的速度为1cm/s，点Q运动的速度为2cm/s．如果两点同时运动，那么当以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是 ．
10．（2024秋•松江区期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，点D为AB上一个动点，正方形DEFG的顶点E、F都在BC边上，点G在△ABC外，若∠DGC＝∠B，则正方形边长为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•泰兴市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在BA的延长线上，点F在边AC上，∠EDF＝∠B．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）若BE＝12，CF＝2，求BC的长．
12．（2024秋•宜兴市期中）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且AE⊥EF．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若BE＝3，EC＝7，求CF的长．
13．（2024秋•崂山区期中）如图，点P为线段AB上一点，在AB的同侧作等腰直角三角形PAC和等腰直角三角形PBD，AD与BC，PC分别相交于点E，F，BC与PD交于点H．
（1）求证：△APD∽△CPB；
（2）求∠FEH的度数．
14．（2024秋•商河县期中）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝9，AD＝6，EF=23EH，求矩形FFGH的面积．
15．（2024秋•奉贤区期中）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AD＝4AE，联结BE并延长交AC于点F，过点A作AG∥BC交BF的延长线于点G．
（1）求AG：BC的值；
（2）求GF：BE的值．
2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之相似三角形判定定理的证明
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋•锡山区校级期中）如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠得到△HEF，延长FH交BC于点M，连接EM．下列结论：①△EFM是直角三角形；②△BEM≌△HEM；③当点M与点C重合时，DF＝3AF；④MF平分正方形ABCD的面积；⑤4FH•MH＝AB2．其中结论正确的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；展开与折叠；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】利用正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质可得②的结论正确；利用角平分线的定义和平角的性质可得①的结论正确；利用①②的结论和相似三角形的判定与性质可得⑤的结论正确；设AE＝EB＝2a，则AB＝BC＝CD＝DA＝4a，通过证明△AEF∽△BCE，利用相似三角形的判定与性质求得AF＝a，得到DF＝3AF，说明③的结论正确；通过举出反例说明④的结论不正确，从而得出正确选项．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠A＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，
∵将△AEF沿EF折叠得到△HEF，
∴△AEF≌△HEF，
∴AE＝EH，∠A＝∠FHE＝90°，∠AEF＝∠HEF．
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∴BE＝HE．
在Rt△BEM和Rt△HEM中，
EH=EBEM=EM，
∴Rt△BEM≌Rt△HEM（HL），
∴②的结论正确；
∵△BEM≌△HEM，
∴∠HEM＝∠BEM，
∵∠AEF+∠HEF+∠HEM+∠BEM＝180°，
∴2∠FEH+2∠HEM＝180°，
∴∠FEH+∠HEM＝90°，
即∠FEM＝90°，
∴△EFM是直角三角形．
∴①的结论正确；
∵∠FEM＝90°，EH⊥FM，
∴△EHF∽△MHE，
∴EHFH=MHEH，
∴EH2＝FH•MH．
∵EH＝EB=12AB，
∴14AB2=FH⋅MH，
∴4FH•MH＝AB2．
∴⑤的结论正确；
当点M与点C重合时，如图，
设AE＝EB＝2a，则AB＝BC＝CD＝DA＝4a，
由①知：∠FEM＝90°，
∴∠FEA+∠CEB＝90°，
∵∠AFE+∠FEA＝90°，
∴∠AFE＝∠BEC，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴△AEF∽△BCE，
∴AFBE=AEBC，
∴AF2a=2a4a，
∴AF＝a．
∴DF＝AD﹣AF＝3a，
∴DF＝3AF．
∴③的结论正确；
当点F与点D重合时，如图，
显然，MF不能平分正方形ABCD的面积，
∴④的结论不正确．
∴正确的结论有：①②③⑤，共四个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，中点的定义，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反证法，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
2．（2024秋•滨湖区期中）如图，AB，CD相交于点E，点A，B，C，D都在格点上，则AEBE的值为（ ）
A．43B．54C．65D．76
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】延长CD到F点使DF＝CD，DF与格线交于点G，连接AC、BG，利用网格特征得到AC＝3，BG＝2.5，再证明△ACE∽△BGE，然后根据相似三角形的性质求解．
【解答】解：延长CD到F点使DF＝CD，DF与格线交于点G，连接AC、BG，
则AC＝3，BG＝2.5，
∵AC∥BG，
∴△ACE∽△BGE，
∴AEBE=ACBG=32.5=65．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．
3．（2024秋•铁西区期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB＝8，则EF的长为（ ）
A．2B．52C．83D．4
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出CE=14AC，证明△CEF∽△CAB，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，
∴OC=12AC，
∴CE=12OC=14AC，
∵EF∥AB交BC于点F，AB＝8，
∴△CEF∽△CAB，
∴EFAB=CEAC，即EF8=14，
∴EF＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
4．（2024秋•杨浦区期中）如图，已知在△ABC中，点G是中线AH上一点，且AGAH=34，点D、E分别在边AB、AC上，DE经过点G．那么下列结论中，错误的是（ ）
A．如果AD＝3BD，那么DE∥BC
B．如果点E与点C重合，那么AD：BD＝3：2
C．ABAD+ACAE的和是一个定值
D．ADAB+AEAC的和是一个定值
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．
【专题】面积法；推理能力．
【答案】D
【分析】通过设ADAB=m，AEAC=n，由三角形面积公式S=12absinC推出S△ADG和S△ABH、S△AEG和S△ACH的比值，进而得出S△ADE和S△ABC的比值为34（m+n），根据三角形面积公式又得出S△ADE和S△ABC之比等于mn，由此得出1m+1n=83．显然进而选项C正确，选项D错误；对于选项A，通过两边对应成比例及夹角相等证得△DAE∽△BAC，然后由同位角相等即可证明DE∥BC；对于选项B，由n＝1推出m=35，进而得到AD：BD＝3：2．
【解答】解：设ADAB=m，AEAC=n，S△ADG＝S1，S△AEG＝S2，S△ABC＝2S．
∵根据三角形面积公式：12ah=12absinC．
∴S1S△ABH=12AD⋅AGsin∠DAG12AB⋅AHsin∠BAH=34m，S2S△ACH=12AE⋅AGsin∠EAG12AC⋅AHsin∠CAH=34n，
∵BH＝CH=12BC．
∴S△ABH＝S△ACH=12S△ABC＝S．
∴S1+S2S=S△ADES=34（m+n）．
又∵S△ADE2S=12AD⋅AEsin∠DAE12AB⋅ACsin∠BAC=mn．
∴m+nmn=83，即1m+1n=83．
当AD＝3BD，1m=1n=43，又因∠DAE＝∠BAC，则△DAE∽△BAC，∠ADE＝∠ABC．
∴DE∥BC，选项A正确．
当点E与点C重合，n＝1，则m=35，即AD：AB＝3：5．
∴AD：BD＝3：2，选项B正确．
由于ABAD+ACAE=1m+1n=83，选项C正确．
而ADAB+AEAC=m+n=83mn，不是定值，选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形面积公式，比例的性质，平行线的判定等知识点．根据两个三角形的面积之比得出相关边之比是解答本题的关键．
5．（2024•玉田县二模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝20cm，BD＝10cm，AQ＝8m，则树高为（ ）
A．8mB．8cmC．4mD．4cm
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】C
【分析】由BD∥PQ，推出△ABD∽△AQP，利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵BD∥PQ，
∴△ABD∽△AQP，
∴ABAQ=BDPQ，
∴20800=10PQ，
∴PQ＝400cm＝4m，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•嘉定区期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0）、（1，﹣2），△AB′O′∽△ABO（点A、点B、点O的对应点分别是点A、点B'、点O'，O'的坐标为（﹣1，0），点B'在第四象限，那么点B'的坐标为 （12，﹣3） ．
【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（12，﹣3）．
【分析】作BC⊥x轴于点C，B′D⊥x轴于点D，则△AB′D∽△ABC，所以B′DBC=ADAC=AB′AB，由A（2，0）、B（1，﹣2）、O′（﹣1，0），得AO＝2，AO′＝3，C（1，0），则AC＝1，BC＝2，由△AB′O′∽△ABO，得AB′AB=AO′AO=32，则B′D2=AD1=32，求得B′D＝3，AD=32，则OD=12，所以B'（12，﹣3），于是得到问题的答案．
【解答】解：作BC⊥x轴于点C，B′D⊥x轴于点D，则B′D∥BC，
∴△AB′D∽△ABC，
∴B′DBC=ADAC=AB′AB，
∵A（2，0）、B（1，﹣2）、O′（﹣1，0），
∴AO＝2，AO′＝2﹣（﹣1）＝3，C（1，0），
∴AC＝2﹣1＝1，BC＝0﹣（﹣2）＝2，
∵△AB′O′∽△ABO，
∴AB′AB=AO′AO=32，
∴B′D2=AD1=32，
∴B′D＝3，AD=32，
∴OD＝AO﹣AD＝2−32=12，
∵点B'在第四象限，
∴点B'的坐标为（12，﹣3），
故答案为：（12，﹣3）．
【点评】此题重点考查坐标与图形性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
7．（2024秋•南安市期中）如图，△ABC的面积为16，将△ABC沿AD方向平移，使A的对应点A′满足AA′=13DA′，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 9 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积；平移的性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】9．
【分析】设BC与A′B′相交于点E，BC与A′C′相交于点F，根据已知易得：DA′DA=34，再利用平移的性质可得：AB∥A′B′，从而可得∠B＝∠A′ED，∠BAD＝∠EA′D，进而可得△ABD∽△A′ED，然后利用相似三角形的性质可得S△A′EDS△ABD=916，从而可得S△A′ED=916S△ABD，同理可得：S△A′DF=916S△ADC，进而可得S△A′EF=916S△ABC，＝9，即可解答．
【解答】解：如图：设BC与A′B′相交于点E，BC与A′C′相交于点F，
∵AA′=13DA′，
∴DA′DA=34，
由平移得：AB∥A′B′，
∴∠B＝∠A′ED，∠BAD＝∠EA′D，
∴△ABD∽△A′ED，
∴S△A′EDS△ABD=（DA′DA）2=916，
∴S△A′ED=916S△ABD，
同理可得：S△A′DF=916S△ADC，
∴S△A′EF＝S△A′ED+S△A′DF=916S△ABD，+916S△ADC，=916S△ABC，=916×16＝9，
∴平移前后两三角形重叠部分的面积是9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平移的性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
8．（2024秋•商河县期中）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交BC于点E，EF⊥AE，交CD于点F，以AE，EF为边，作矩形AEFG，FG与DA相交于点H．若CE＝3，AH＝4，则AE＝ 23 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；矩形的性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】23．
【分析】首先证明Rt△ECF≌Rt△ABE（ASA），推导出AE＝EF，结合矩形AEFG，推导出四边形AEFG为正方形，然后利用∠GAH＝∠FEC，∠G＝∠C，推导出△GAH∽△CEF，AGAH=CEEF，进而得到AG•EF＝AH•CE，代入数据得到AE2＝4×3＝12．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，CD＝AB，∠B＝∠C＝90°，
∴∠AEB+∠EAB＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠EAB＝∠CEF，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=12∠ADC＝45°，
在Rt△CDE中，CE＝CD＝AB，
在Rt△ECF和Rt△ABE中，
∠B=∠CCE=AB∠EAB=∠CEF，
∴Rt△ECF≌Rt△ABE（ASA），
∴AE＝EF，
在矩形AEFG中，AG＝EF＝AE，
∴四边形AEFG为正方形，
∴∠G＝90°，
∴AG∥EF，
∴∠GAH＝∠FEC，
又∵∠G＝∠C，
∴△GAH∽△CEF，
∴AGAH=CEEF，
∴AG•EF＝AH•CE，
∴AE2＝4×3＝12，
∴AE＝23，
故答案为：23．
【点评】本题主要考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是得到△GAH∽△CEF．
9．（2024秋•包河区期中）如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝8cm，动点P从点A出发到B点停止，动点Q从点C出发到A点停止，点P运动的速度为1cm/s，点Q运动的速度为2cm/s．如果两点同时运动，那么当以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是 2s或165s ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】2s或165s．
【分析】设点P运动的时间为t s，则AP＝t cm，CQ＝2t cm，AQ＝（8﹣2t）cm，再分两种情况求t的值，一是∠APQ＝∠C，则△AQP∽△ACB，APAC=AQAB，可得方程t8=8−2t4；二是∠APQ＝∠B，则△APQ∽△ABC，APAB=AQAC，可列方程t4=8−2t8，解方程求出相应的t的值即可．
【解答】解：设点P运动的时间为t s，则AP＝t cm，CQ＝2t cm，
∴AQ＝（8﹣2t）cm，
∵∠A＝∠A，
∴当∠APQ＝∠C时，则△AQP∽△ACB，
∴APAC=AQAB，可得方程t8=8−2t4；
解得t=165；
当∠APQ＝∠B时，则△APQ∽△ABC，
∴APAB=AQAC，
∴t4=8−2t8，
解得t＝2，
综上所述，当以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是2s或165s．
故答案为：2s或165s．
【点评】此题考查相似三角形的判定与性质，数形结合与分类讨论数学思想的运用是解题的关键．
10．（2024秋•松江区期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，点D为AB上一个动点，正方形DEFG的顶点E、F都在BC边上，点G在△ABC外，若∠DGC＝∠B，则正方形边长为 23 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】23．
【分析】根据正方形的性质得到DE＝FG＝EF，∠GFC＝∠DEB＝90°，DG∥BC，求得∠DGC＝∠GCB，得到∠GCB＝∠B，根据全等三角形的性质得到BE＝CF，根据相似三角形的性质得到BE＝2DE，求得CE＝EF＝BF=13BC=23．
【解答】解：∵四边形DEFG是正方形，
∴DE＝FG＝EF，∠GFC＝∠DEB＝90°，DG∥BC，
∴∠DGC＝∠GCB，
∵∠DGC＝∠B，
∴∠GCB＝∠B，
在△GFC与△DEB中，
∠GFC=∠DEB∠GCF=∠DBEGF=DE，
∴△GFC≌△DEB（AAS），
∴BE＝CF，
∵∠ACB＝90°，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴DEBE=ACBC，
∴DEBE=12，
∴BE＝2DE，
∴BF＝EF，
∵BE＝CF，
∴CE＝EF＝BF=13BC=23，
∴正方形边长为23，
故答案为：23．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•泰兴市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在BA的延长线上，点F在边AC上，∠EDF＝∠B．
（1）求证：△BDE∽△CFD；
（2）若BE＝12，CF＝2，求BC的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）46．
【分析】（1）根据等边对等角可得∠B＝∠C，根据三角形的外角的性质结合已知可得∠FDC＝∠E，即可得证；
（2）根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠E，∠EDF＝∠B，
∴∠FDC＝∠E，
∴△BDE∽△CFD，
（2）解：∵△BDE∽△CFD
∴BDCF=BECD，
又∵D是BD的中点，
∴BD＝CD，
∵BE＝12，CF＝2，
∴BD2＝BE•CF＝24，
∴BD=26，
∴BC=2BD=46．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
12．（2024秋•宜兴市期中）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且AE⊥EF．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若BE＝3，EC＝7，求CF的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；（2）CF＝2.1．
【分析】（1）根据正方形的性质，得出∠B＝∠C＝90°，而AE⊥EF，利用同角的余角相等可以得到∠EAB＝∠CEF，由此即可证明两个三角形相似；
（2）利用相似三角形的性质和正方形的性质可以解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C，AB＝BC，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠EAB＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF；
（2）解：∵BE＝3，EC＝7，
∴AB＝BC＝BE+CE＝10，
∵△ABE∽△ECF，
∴AB：CE＝BE：CF，
∴10：7＝3：CF，
∴CF＝2.1．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
13．（2024秋•崂山区期中）如图，点P为线段AB上一点，在AB的同侧作等腰直角三角形PAC和等腰直角三角形PBD，AD与BC，PC分别相交于点E，F，BC与PD交于点H．
（1）求证：△APD∽△CPB；
（2）求∠FEH的度数．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）135°．
【分析】（1）先证明△PAC∽△PBD得PA：PD＝PC：PB，再证明∠APD＝∠CPB，据此即可得出结论；
（2）依题意得∠PBD＝∠PBC+∠CBD＝45°，∠FEH＝∠EDB+∠CBD＝∠PDA+90°+∠CBD，再由（1）的结论得∠PDA＝∠PBC，则∠PDA+∠CBD＝45°，由此可得出∠FEH得度数．
【解答】（1）证明：∵△PAC和△PBD均为等腰直角三角形，如图所示：
∴∠PAC＝∠PDB＝90°，∠1＝∠2＝∠PBD＝45°，
∴△PAC∽△PBD，
∴PA：PD＝PC：PB，
∵∠1＝∠2＝45°，
∴∠1+∠ACD＝∠2+∠ACD，
即∠APD＝∠CPB，
又∵PA：PD＝PC：PB，
∴PA：PC＝PD：PB，
∴△APD∽△CPB；
（2）∵∠PBD＝∠PBC+∠CBD＝45°，
∴∠FEH＝∠EDB+∠5＝∠PDA+90°+∠CBD，
由（1）的结论得：∠PDA＝∠PBC，
∴∠PDA+∠CBD＝45°，
∴∠FEH＝∠PDA+90°+∠CBD＝135°．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
14．（2024秋•商河县期中）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝9，AD＝6，EF=23EH，求矩形FFGH的面积．
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【答案】272．
【分析】通过证明△AEH∽△ABC得出AEAB=EHBC，通过证明△BEF∽△BAD得出BEAB=EFAD，根据等式的性质可得AEAB+BEAB=EHBC+EFAD，代入数值求解即可．
【解答】解：∵矩形EFGH内接于△ABC，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠ABC，∠AHE＝∠ACB，
∴△AEH∽△ABC，
∴AEAB=EHBC，
同理∵AD⊥BC，EF⊥FG，
∴EF∥AD，
∴∠BEF＝∠BAD，∠BFE＝∠BDA，
∴△BEF∽△BAD，
∴BEAB=EFAD，
∴AEAB+BEAB=EHBC+EFAD，
∵EF=23EH，AEAB+BEAB=AE+BEAB=ABAB=1，
∴1=EH9+23EH6，
∴EH=92，
∴EF=23×92=3，
∴EF⋅EH=3×92=272，
即矩形FFGH的面积为272．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
15．（2024秋•奉贤区期中）如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且AD＝4AE，联结BE并延长交AC于点F，过点A作AG∥BC交BF的延长线于点G．
（1）求AG：BC的值；
（2）求GF：BE的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可．
【解答】解：（1）∵AG∥BC，AD＝4AE，
∴AGBD=AEED=GEBE=13，
∵D为BC的中点，
∴BD＝DC=12BC，
∵AG∥BC，
∴AGBC=GFBF=16，
（2）根据（1）BE＝3（GF+FE），BF＝6GF，
∴6GF﹣EF＝3GF+3EF，
∴EF=34GF，
∴GF：BE＝4：21，
故答案为：（1）16；（2）4：21．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
考点卡片
1．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
2．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
3．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
4．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
5．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
6．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
7．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
8．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
9．平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
10．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
11．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
声明：试题解析著