2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之相似多边形练习

这是一份2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之相似多边形练习，共17页。试卷主要包含了两个相似多边形的相似比为1，书画经装裱后更便于收藏等内容，欢迎下载使用。
1．（2024秋•雁塔区校级期中）如图1是古希腊时期的巴台农神庙，把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形ABCD，当以矩形ABCD的宽AB为边作正方形ABEF时，惊奇地发现矩形CDFE与矩形ABCD相似，则ECBE等于（ ）
A．5+12B．5−12C．3+12D．32
2．（2024秋•松江区期中）下列图形一定是相似图形的是（ ）
A．两个等腰三角形
B．两个面积相等的三角形
C．两个正方形
D．两个菱形
3．（2024秋•崂山区期中）某学校致力于劳动教育的探索与实践，在校内设立了“田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形劳动场所，它们的相似比是1：2．若两个劳动场所种植相同品种的蔬菜，在每平方米所需农资成本（主要包括化肥、农药以及灌溉用水）不变的情况下，“田园风光”的农资成本为200元，则“耘梦园”的农资成本为（ ）
A．800元B．400元C．100元D．50元
4．（2024•连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
A．甲和乙B．乙和丁C．甲和丙D．甲和丁
5．（2023秋•阳谷县期末）如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（ ）
A．图形的平移B．图形的轴对称
C．图形的相似D．图形的旋转
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•西安期中）如图，五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，它们的相似比为3：4．已知BC＝4.8cm，则B'C'＝ cm．
7．（2024秋•宜兴市期中）两个相似多边形的相似比为1：4，则它们的面积的比为 ．
8．（2024秋•乐清市校级期中）两个相似五边形，一组对应边的长分别为2cm和3cm，若它们的面积之和为65cm2，则较小五边形的面积是 ．
9．（2024秋•新城区期中）五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且它们的相似比为1：3．若五边形ABCDE的面积为6，则五边形A′B′C′D′E′的面积为 ．
10．（2023秋•郏县期末）书画经装裱后更便于收藏．如图，ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A'B'C'D'，两矩形的对应边互相平行，且AB与A'B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A'D'的距离、BC与B′C′距离都等于a cm，且矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'，整幅书画最美观此时，a的值为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•驿城区期中）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是3：2，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长．
12．（2024秋•绥德县期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH．
（1）求∠H的度数；
（2）若ABEF=54，CD＝15，求HG的长．
13．（2023秋•萍乡期末）已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC中取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，求AD的长．
14．（2023秋•安庆期中）如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，如果各种开本的矩形都相似，那么AB与AD的比值是多少？
15．（2023春•肇源县期末）按2：1的比画出长方形放大后的图形，再按1：3的比画出三角形缩小后的图形．
2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期末必刷常考题之相似多边形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋•雁塔区校级期中）如图1是古希腊时期的巴台农神庙，把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形ABCD，当以矩形ABCD的宽AB为边作正方形ABEF时，惊奇地发现矩形CDFE与矩形ABCD相似，则ECBE等于（ ）
A．5+12B．5−12C．3+12D．32
【考点】相似多边形的性质；矩形的性质；正方形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】根据相似多边形的对应边的比相等列出算式，解方程得到答案．
【解答】解：设EC＝a，BE＝b，则BC＝a+b，
∵矩形CDFE∽矩形DABC，
∴CEDC=DCBC，即ab=ba+b，
整理得：a2+ab﹣b2＝0，
∴（ab）2+ab−1＝0，
解得：ab=5−12（负值舍去），
故选：B．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质、熟记相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
2．（2024秋•松江区期中）下列图形一定是相似图形的是（ ）
A．两个等腰三角形
B．两个面积相等的三角形
C．两个正方形
D．两个菱形
【考点】相似图形．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断．
【解答】解：A、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意；
B、两个面积相等的三角形不一定相似，不符合题意；
C、两个正方形一定相似，符合题意；
D、两个菱形不一定相似，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了相似图形：把形状相同的图形称为相似图形．
3．（2024秋•崂山区期中）某学校致力于劳动教育的探索与实践，在校内设立了“田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形劳动场所，它们的相似比是1：2．若两个劳动场所种植相同品种的蔬菜，在每平方米所需农资成本（主要包括化肥、农药以及灌溉用水）不变的情况下，“田园风光”的农资成本为200元，则“耘梦园”的农资成本为（ ）
A．800元B．400元C．100元D．50元
【考点】相似多边形的性质．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】A
【分析】根据相似多边形的性质求出“田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形劳动场所的面积比，再计算农资成本即可．
【解答】解：∵“田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形劳动场所，它们的相似比是1：2，
∴“田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形劳动场所的面积比为1：4，
∵“田园风光”的农资成本为200元，
∴“耘梦园”的农资成本为：200×4＝800（元）．
故选：A．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方．
4．（2024•连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（ ）
A．甲和乙B．乙和丁C．甲和丙D．甲和丁
【考点】相似图形．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
【解答】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同，
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
5．（2023秋•阳谷县期末）如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（ ）
A．图形的平移B．图形的轴对称
C．图形的相似D．图形的旋转
【考点】相似图形．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】C
【分析】根据把图形进行放大或缩小可判断出是图形的相似即可．
【解答】解：将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的图形的相似．
故选：C．
【点评】本题主要考查图形的相似，解题的关键是理解题意．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋•西安期中）如图，五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，它们的相似比为3：4．已知BC＝4.8cm，则B'C'＝ 6.4 cm．
【考点】相似多边形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】6.4．
【分析】根据相似多边形的性质解答即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，它们的相似比为3：4，BC＝4.8cm，
∴BCB′C′=34=4.8B′C′，
解得B′C′=4.8×43=6.4．
故答案为：6.4．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形对应边的比相等是解题的关键．
7．（2024秋•宜兴市期中）两个相似多边形的相似比为1：4，则它们的面积的比为 1：16 ．
【考点】相似多边形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】1：16．
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵两个相似多边形的相似比为1：4，
∴它们的面积的比为：（14）2＝1：16，
故答案为：1：16．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
8．（2024秋•乐清市校级期中）两个相似五边形，一组对应边的长分别为2cm和3cm，若它们的面积之和为65cm2，则较小五边形的面积是 20cm2 ．
【考点】相似多边形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】20cm2．
【分析】根据相似多边形相似比即对应边的比，面积的比等于相似比的平方，即可解决．
【解答】解：设较小五边形与较大五边形的面积分别是x cm2，y cm2．
则xy=(23)2=49，因而x=49y．
根据面积之和是65cm2，得到49y+y＝65，
解得：y＝45，
则x=49×45＝20．
即较小五边形的面积分别是20cm2．
故答案为：20cm2．
【点评】本题考查相似多边形的性质．掌握相似多边形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
9．（2024秋•新城区期中）五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且它们的相似比为1：3．若五边形ABCDE的面积为6，则五边形A′B′C′D′E′的面积为 54 ．
【考点】相似多边形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】54．
【分析】根据相似多边形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，
∴五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的面积比等于相似比的平方．
∵相似比为1：3．五边形ABCDE的面积为6，
∴五边形A′B′C′D′E′的面积54，
故答案为：54．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，解决本题的关键是掌握相似多边形面积的比等于相似比的平方．
10．（2023秋•郏县期末）书画经装裱后更便于收藏．如图，ABCD为长90cm、宽30cm的矩形，装裱后整幅画为矩形A'B'C'D'，两矩形的对应边互相平行，且AB与A'B'的距离、CD与C′D′的距离都等于4cm．当AD与A'D'的距离、BC与B′C′距离都等于a cm，且矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'，整幅书画最美观此时，a的值为 12 ．
【考点】相似多边形的性质；矩形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】12．
【分析】根据相似多边形的性质即可解答．
【解答】解：由题意AD＝30cm，AB＝90cm，A'B'＝（90+2a）cm，A'D'＝30+8＝38cm，
∵矩形ABCD∽矩形A'B'C'D'，
∴A′B′AB=A′D′AD，
∴90+2a90=3830，
解得a＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋•驿城区期中）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是3：2，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长．
【考点】相似多边形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）GD=13．
【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB＝60°得到BP＝1，然后求得EP的长，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可．
【解答】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB＝GD；
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是3：2，AB＝2，
∴AE=3，BP=12AB＝1，
∴AP=AB2−BP2=3，
∴EP=23，
∴EB=EP2+BP2=12+1=13，
∴GD=13．
【点评】本题主要考查相似多边形形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，菱形的性质等知识的综合运用．
12．（2024秋•绥德县期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH．
（1）求∠H的度数；
（2）若ABEF=54，CD＝15，求HG的长．
【考点】相似多边形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】12．
【分析】（1）根据四边形内角和是360°求出∠D，再根据相似多边形的对应角相等解答即可；
（2）根据相似多边形对边的比相等列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：（1）在四边形ABCD中，∠A＝72°，∠B＝135°，∠C＝95°，
则∠D＝360°﹣72°﹣135°﹣95°＝58°，
∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴∠H＝∠D＝58°；
（2）∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴ABEF=CDHG，即54=15HG，
解得：HG＝12．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应角相等、对边的比相等是解题的关键．
13．（2023秋•萍乡期末）已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC中取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，求AD的长．
【考点】相似多边形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】1+5．
【分析】可设AD＝x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式求解即可．
【解答】解：根据已知得四边形ABEF是正方形．
设AD＝x，则FD＝x﹣2，FE＝2，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴EFFD=ADAB，∴2x−2=x2，
解得x1=1+5，x2=1−5（不合题意，舍去）．
经检验：x=1+5是分式方程的解，且符合题意．
∴x=1+5，
即AD=1+5．
【点评】本题考查了翻折变换，相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
14．（2023秋•安庆期中）如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，如果各种开本的矩形都相似，那么AB与AD的比值是多少？
【考点】相似多边形的性质；矩形的性质；比例线段．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】22．
【分析】根据矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出ABAD的值．
【解答】解：∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，
∵各种开本的矩形都相似，
∴(ABAD)2=12，
∴ABAD=22．
答：AB与AD的比值是22．
【点评】此题主要考查了多边形的相似的性质，得出相似图形面积比是相似比的平方是解决问题的关键．
15．（2023春•肇源县期末）按2：1的比画出长方形放大后的图形，再按1：3的比画出三角形缩小后的图形．
【考点】相似多边形的性质．
【专题】图形的相似；几何直观．
【答案】图形见解答．
【分析】根据相似多边形的性质，即可解答．
【解答】解：如图：
∴长方形ABCD，△EFG即为所求．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
考点卡片
1．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
2．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
3．菱形的性质
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）
4．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
5．矩形的判定与性质
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
6．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
7．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
8．比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
9．相似图形
（1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
（3）相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
10．相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．