高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念课后复习题

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1．（3分）（2021秋•临夏县校级期中）下列集合中，表示同一集合的是（ ）
A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}
B．M＝{1，2}，N＝{（1，2）}
C．M＝{（x，y）|y＝1﹣x}，N＝{x|y＝1﹣x}
D．M＝{3，2}，N＝{2，3}
【解题思路】结合集合相同，元素完全相同的要求分别检验各选项即可判断．
【解答过程】解：A：由于（3，2）与（2，3）为有序实数对，故M与N的元素不同，不是同一集合；
B：M为数集，有2个元素，N为点集，有1个元素，不是同一集合；
C：M为点集，N为数集，不是同一集合；
根据集合的无序性可知，M＝{2，3}与N＝{3，2}表示同一集合．
故选：D．
2．（3分）（2021秋•河南月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．若a∈Z，则﹣a∉Z
B．R中最小的元素是0
C．“3的近似值的全体”构成一个集合
D．一个集合中不可以有两个相同的元素
【解题思路】由集合的含义及元素与集合的关系逐一判断即可．
【解答过程】解：对于A，若a∈Z，则﹣a∈Z，故A错误；
对于B，R是实数集，没有最小值，故B错误；
对于C，3的近似值的全体，元素不具有确定性，不能构成一个集合，故C错误；
对于D，由集合的互异性可知，一个集合中不可以有两个相同的元素，故D正确．
故选：D．
3．（3分）（2022•安徽模拟）已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x∈N*且x﹣1∈A}，则B＝（ ）
A．{0，1}B．{0，1，2}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}
【解题思路】先化简集合A，再根据集合B的条件化简B即可得解．
【解答过程】解：∵A＝[﹣2，2]，又B＝{x|x∈N*且x﹣1∈A}，
∴x﹣1∈[﹣2，2]，∴x∈[﹣1，3]，又x∈N*，
∴x＝1，2，3，∴B＝{1，2，3}，
故选：C．
4．（3分）（2022秋•垫江县校级月考）若用列举法表示集合A＝{（x，y）|2y−x=7x+y=2}，则下列表示正确的是（ ）
A．{x＝﹣1，y＝3}B．{（﹣1，3）}C．{3，﹣1}D．{﹣1，3}
【解题思路】先解方程组，然后用列举法表示所求集合，需要注意集合中的元素．
【解答过程】解：2y−x=7x+y=2，解得x=−1y=3，
所以A＝{（x，y）|2y−x=7x+y=2}＝{（﹣1，3）}．
故选：B．
5．（3分）（2022•河南模拟）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【解题思路】通过x的取值，确定y的取值，推出B中所含元素的个数．
【解答过程】解：由A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}，
当x＝3时，y＝1，2，满足集合B．
当x＝2时，y＝1，3；满足集合B．
当x＝1时，y＝2，3；满足集合B．
共有6个元素．
故选：C．
6．（3分）（2022秋•汇川区校级月考）已知集合A中含有5和a2+2a+4这两个元素，且7∈A，则a3的值为（ ）
A．0B．1或﹣27C．1D．﹣27
【解题思路】根据条件得“a2+2a+4＝7”，求出a的值，则易求a3的值．
【解答过程】解：依题意得：a2+2a+4＝7，
整理，得
（a+3）（a﹣1）＝0
解得a1＝﹣3，a2＝1．
故a3＝﹣27或a3＝1．
故选：B．
7．（3分）（2021秋•桥东区校级月考）集合{1，3，5，7}用描述法表示出来应为（ ）
A．{x|x是不大于7的非负奇数}
B．{x|1≤x≤7}
C．{x|x∈N且x≤7}
D．{x|x∈Z且1≤x≤7}
【解题思路】利用集合的表示法直接求解．
【解答过程】解：集合{1，3，5，7}用描述法表示出来应为{x|x是不大于7的非负奇数}，
故选：A．
8．（3分）（2021秋•秦淮区校级月考）设P＝{1，2，3，4}，Q＝{4，5，6，7，8}，定义P*Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为（ ）
A．4B．5C．19D．20
【解题思路】根据定义P※Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q，a≠b}和P、Q中元素，一一列举出所有的情况再得个数．
【解答过程】解：由题意可以采用列举的方式易得：
（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），（1，8）
（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（2，8）
（3，4），（3，5），（3，6），（3，7），（3，8）
（4，5），（4，6），（4，7），（4，8）
P*Q中元素的个数为19个．
故选：C．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021秋•武安市校级期末）下列各组对象能构成集合的是（ ）
A．拥有手机的人B．2020年高考数学难题
C．所有有理数D．小于π的正整数
【解题思路】根据集合元素的确定性对四个选项依次判断即可．
【解答过程】解：拥有手机的人具有确定性，能构成集合，故A正确；
数学难题定义不明确，不符合集合的定义，故B不正确；
有理数具有确定性，能构成集合，故C正确；
小于π的正整数具有确定性，能构成集合，故D正确；
故选：ACD．
10．（4分）（2021秋•孝感期中）已知集合A＝{2，a2+1，a2﹣4a}，B＝{0，a2﹣a﹣2}，5∈A，则a为（ ）
A．2B．﹣2C．5D．﹣1
【解题思路】由已知对a2+1＝5与a2﹣4a＝5，分别求出a的值，再求出对应的集合A，B，进而可以判断求解．
【解答过程】解：因为集合A＝{2，a2+1，a2﹣4a}，B＝{0，a2﹣a﹣2}，5∈A，
则a2+1＝5，解得a＝2或﹣2，
当a＝2时，集合A＝{2，5，﹣4}，集合B＝{0，0}与集合元素的互异性矛盾，故a≠2，
当a＝﹣2时，集合A＝{2，5，12}，集合B＝{0，4}，故a＝﹣2成立，
当a2﹣4a＝5时，解得a＝5或﹣1，
当a＝5时，集合A＝{2，26，5}，集合B＝{18，0}，故a＝5成立，
当a＝﹣1时，集合A＝{2，2，5}与集合元素的互异性矛盾，故a≠﹣1，
综上，实数a的为﹣2或5，
故选：BC．
11．（4分）（2020秋•农安县月考）下面四个说法中错误的是（ ）
A．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}
B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
C．方程x2﹣2x+1＝0的所有解组成的集合是{1，1}
D．0与{0}表示同一个集合
【解题思路】结合集合的表示及元素与集合的基本关系分别检验各选项即可判断．
【解答过程】解：10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故A正确；
由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，2，1}表示同一集合，故B正确；
方程x2﹣2x+1＝0的所有解组成的集合是{1}，故C错误；
由集合的表示方法知0不是集合，故D错误，
故选：CD．
12．（4分）设M、N是两个非空集合，定义M⊗N＝{（a，b）|a∈M，b∈N}．若P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，则P⊗Q中元素的个数不可能是（ ）
A．9B．8C．7D．6
【解题思路】根据定义，P⊗Q中元素为点集，且横坐标属于集合P，纵坐标属于集合Q，P、Q中的元素个数分别是3、3，即可求出P⊗Q中元素的个数．
【解答过程】解：因为P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，
所以a有3种选法，b有3种取法，
可得P⊗Q中元素的个数是3×3＝9（个）．
故选：BCD．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2021秋•黄梅县校级期末）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+1＝0，a∈R}，若集合A中至多只有一个元素，则a的取值范围是 {0}∪[94，+∞） ．
【解题思路】分类讨论方程解的个数，从而确定a的取值范围．
【解答过程】解：当a＝0时，方程可化为﹣3x+1＝0，
解得x=13，故成立；
当a≠0时，Δ＝9﹣4a≤0，
解得a≥94；
综上所述，a的取值范围是{0}∪[94，+∞）．
故答案为：{0}∪[94，+∞）．
14．（4分）（2021秋•玉林期末）集合A={x∈N|83−x∈N∗}，用列举法可以表示为A＝ {1，2} ．
【解题思路】由题意可知3﹣x是8的正约数，然后分别确定8的约数，从而得到x的值为1，2，即A＝{1，2}．
【解答过程】解：由题意可知3﹣x是8的正约数，当3﹣x＝1，x＝2；当3﹣x＝2，x＝1；
当3﹣x＝4，x＝﹣1；当3﹣x＝8，x＝﹣5；而x∈N，∴x＝1，2，
即A＝{1，2}．
故答案为：{1，2}．
15．（4分）（2022•七星区校级开学）已知x∈{1，2，x2﹣x}，则实数x为 0或1 ．
【解题思路】将x依次等于集合中的值并验证即可．
【解答过程】解：①若x＝1，则{1，2，x2﹣x}＝{1，2，0}，成立；
②若x＝2，则2＝x2﹣x，不成立；
③当x＝x2﹣x时，x＝0，或x＝2（舍去）．
故答案为：1或0．
16．（4分）（2021秋•开福区校级期中）设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是 4 ．
【解题思路】由已知写出集合P，Q，然后根据新定义求出新集合P+Q，进而可以求解．
【解答过程】解：由已知可得集合P＝{0，2}，Q＝{1，6}，
而0+1＝1，0+6＝6，2+1＝3，2+6＝8，
所以集合P+Q＝{1，3，6，8}，
故答案为：4．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）已知﹣3是由x﹣2，2x2+5x，12三个元素构成的集合中的元素，求x的值．
【解题思路】由已知可得x﹣2＝﹣3或2x2+5x＝﹣3，分别求出x的值，验证可得结论．
【解答过程】解：当x﹣2＝﹣3时，x＝﹣1，此时这三个元素构成的集合为{﹣3，﹣3，12}，不满足集合元素的互异性；
当2x2+5x＝﹣3时．x=−32或x＝﹣1（舍），此时这三个元素构成的集合为{−72，﹣3，12}，满足集合元素的互异性，
综上，x的值为−32．
18．（6分）（2021秋•长安区校级月考）用适当的方法表示下列集合
①方程x（x2+2x+1）＝0的解集；
②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
③不等式x﹣2＞6的解的集合；
④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
【解题思路】①根据方程根的个数为有限个，且个数不多，故解方程后用列举法表示；
②③④利用描述法表示．
【解答过程】解：①解方程x（x2+2x+1）＝0得：
x＝0或x＝﹣1，
故方程x（x2+2x+1）＝0的解集为{﹣1，0}；
②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合可表示为：{x|x＝2n+1，n≤499，且n∈N}；
③解不等式x﹣2＞6得：
x＞8．
故不等式x﹣2＞6的解集为{x|x＞8}；
④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合是：{x|0.5＜x≤6，且x∈N}．
19．（8分）（2021秋•镜湖区校级月考）用适当的方法表示下列集合．
（1）方程组2x−3y=143x+2y=8，的解集；
（2）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合；
（3）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合；
（4）所有三角形构成的集合．
【解题思路】根据题意以及集合的表示法，选择恰当的方法表示各集合即可．
【解答过程】解：（1）．解方程组2x−3y=143x+2y=8，得x=4y=−2，故解集为{（4，﹣2）}；
（2）．集合的代表元素是数x，用描述法表示为{x|x＝3k+2，k∈N且x＜1000}．
（3）．集合的代表元素是点（x，y），用描述法表示为{（x，y）|x＜0且y＞0}
（4）．集合用描述法表示为{x|x是三角形}，简写为{三角形}．
20．（8分）（2021秋•洮南市校级月考）设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则11−a∈A，且1∉A．
（1）若3∈A，求A；
（2）证明：若a∈A，则1−1a∈A．
【解题思路】（1）根据集合A的定义，找出A的所有元素即可；
（2）有集合A的定义证明即可．
【解答过程】解：（1）因为3∈A，所以11−3=−12∈A，
所以11−(−12)=23∈A，
所以11−23=3∈A，
所以A＝{3，−12，23}．
（2）证明：因为a∈A，有11−a∈A，
所以11−11−a=1−a−a=1−1a∈A．
21．（8分）已知由实数构成的集合A满足条件：若a∈A，则1+a1−a∈A（a≠0，且a≠±1），则集合A中至少有几个元素？证明你的结论．
【解题思路】由已知中若a∈A，则1+a1−a∈A（a≠0，且a≠±1），依次代入可得a、1+a1−a、−1a和a−1a+1均属于A，且互不相等，进而得到结论．
【解答过程】解：∵a∈A，则1+a1−a∈A，
∴1+1+a1−a1−1+a1−a=−1a∈A，
进而有1+(−1a)1−(−1a)=a−1a+1∈A，
∴又有1+a−1a+11−a−1a+1=a∈A，
∵a∈R，∴a≠−1a，
假设a=1+a1−a，则a2＝﹣1，矛盾，
∴a≠1+a1−a，
类似方法可证a、1+a1−a、−1a和a−1a+1四个数互不相等，
这就证得集合A中至少有四个元素．
22．（8分）（2021秋•西城区期末）设A是实数集的非空子集，称集合B＝{uv|u，v∈A，且u≠v}为集合A的生成集．
（Ⅰ）当A＝{2，3，5}时，写出集合A的生成集B；
（Ⅱ）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
（Ⅲ）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，并说明理由．
【解题思路】（Ⅰ）利用集合的生成集定义直接求解．
（Ⅱ）设A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，且0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，利用生成集的定义即可求解；
（Ⅲ）不存在，理由用反证法说明．
【解答过程】解：（Ⅰ）∵A＝{2，3，5}，∴B＝{6，10，15}，
（Ⅱ）设A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，不妨设0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，
因为a1a2＜a1a3＜a1a4＜a1a5＜a2a5＜a3a5＜a4a5，
所以B中元素个数大于等于7个，
又A＝{21，22，23，24，25}，B＝{23，24，25，26，27，28，29}，
此时B中元素个数大于等于7个，
所以生成集B中元素个数的最小值为7．
（Ⅲ）不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合A＝{a，b，c，d}，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，
不妨设0＜a＜b＜c＜d，则集合A的生成集B＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，
则必有ab＝2，cd＝16，其4个正实数的乘积abcd＝32；
也有ac＝3，bd＝10，其4个正实数的乘积ahcd＝30，矛盾；
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}．