人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系精练

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一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•凉州区校级月考）下列命题：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若∅⫋A，则A≠∅．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解题思路】∅是任何一个非空集合的真子集，∅只有一个子集，是它本身．
【解答过程】解：在①中，空集的子集是空集，故①错误；
在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误；
在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误；
在④中，若∅⫋A，则A≠∅，故④正确．
故选：B．
2．（3分）（2021秋•伊州区校级期末）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}
B．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1}
C．M＝{4，5}，N＝{5，4}
D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）}
【解题思路】分别对A，B，C，D进行分析，从而得出答案．
【解答过程】解：对于A：（3，2），（2，3）不是同一个点，
对于B：M是点集，N是数集，
对于C：M，N是同一个集合，
对于D：M是数集，N是点集，
故选：C．
3．（3分）（2022春•大兴区期中）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，则A的含有2个元素的子集的个数是（ ）
A．3B．5C．10D．20
【解题思路】根据集合的子集的定义判断即可．
【解答过程】解：∵A＝{1，2，3，4，5}，
从5个数中取2个数，
有C52=10种方法，
则A的含有2个元素的子集的个数是10个，
故选：C．
4．（3分）（2021秋•道里区校级月考）已知集合A＝{1，a，b}，B＝{﹣1，a2，b2}，若A＝B，则a+b＝（ ）
A．1B．0C．﹣1D．无法确定
【解题思路】由A＝B，可知a＝﹣1或b＝﹣1，分情况分别求出b的值，再结合元素的互异性，即可求出结果．
【解答过程】解：①当a＝﹣1时，a2＝1，
∴b＝b2，
∴b＝0或1，
由元素的互异性可知，b≠1，
∴b＝0，
此时A＝B＝{1，﹣1，0}，符合题意．
②当b＝﹣1时，b2＝1，
∴a2＝a，
∴a＝0或1，
由元素的互异性可知，a≠1，
∴a＝0，
此时A＝B＝{1，﹣1，0}，符合题意．
综上所述，a+b＝﹣1，
故选：C．
5．（3分）（2022•南平模拟）设集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，集合B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则a的取值范围为（ ）
A．a≥3B．﹣1≤a≤3C．a≥﹣1D．a≤﹣1
【解题思路】由包含关系建立不等式得解．
【解答过程】解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，集合B＝{x|x≥a}，且A⊆B，
∴a≤﹣1，
故选：D．
6．（3分）（2022•江苏模拟）已知集合M＝{1，4，x}，N＝{1，x2}，若N⊆M，则实数x组成的集合为（ ）
A．{0}B．{﹣2，2}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，0，1，2}
【解题思路】由N⊆M，分x2＝4或x2＝x两类讨论，再结合集合中元互异性即可求解．
【解答过程】解：∵若N⊆M，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝±2或x＝0或x＝1，又集合中元素具有互异性，∴x＝±2或x＝0，
∴实数x组成的集合为{﹣2，0，2}
故选：C．
7．（3分）（2021秋•舒城县校级期中）已知集合A＝{x∈R|x2+x﹣6＝0}，B＝{x∈R|ax﹣1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为（ ）
A．13或−12B．−13或12C．13或−12或0D．−13或12或0
【解题思路】先求出A＝{﹣3，2}，根据B⊆A即可得出﹣3∈B，或2∈B，或B＝∅，从而得出﹣3a﹣1＝0，或2a﹣1＝0，或a＝0，解出a的值即可．
【解答过程】解：A＝{﹣3，2}；
∵B⊆A；
∴﹣3∈B，或2∈B，或B＝∅；
∴﹣3a﹣1＝0，或2a﹣1＝0，或a＝0；
∴a=−13或12或0．
故选：D．
8．（3分）（2021秋•全州县校级期中）定义A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，则A*B集合中真子集的个数是（ ）
A．14B．15C．16D．17
【解题思路】先求出集合A*B＝{2，3，4}，由此能求出集合A*B的真子集的个数．
【解答过程】解：∵A＝{0，1}，B＝{1，2，3}，
∴A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}＝{1，2，3，4}，
则A*B集合中真子集的个数是24﹣1＝15个，
故选：B．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2021秋•河北月考）下列集合中，与{1，2}相等的是（ ）
A．{4，(−2)0}B．{x∈N||x|≤2}
C．{x|x2﹣3x+2＝0}D．{(x，y)|y=2x，y=3−x}
【解题思路】利用集合相等的定义直接判断．
【解答过程】解：对于A，{4，(−2)0}＝{1，2}，故A正确；
对于B，{x∈N||x|≤2}＝{0，1，2}，故B错误；
对于C，{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，故C正确；
对于D，{（x，y）|y=2xy=3−x}＝{（1，2）}≠{1，2}，故D错误．
故选：AC．
10．（4分）给出下列四个集合，其中为空集的是（ ）
A．{∅}B．{x∈R|x2+x+1＝0}
C．{（x，y）|y=−1xy=x，x，y∈R}D．{x∈R||x|＜0}
【解题思路】利用空集的定义、一元二次方程、方程组、不等式的性质直接求解．
【解答过程】解：对于A，表示由空集构成的集合，故A不是空集；
对于B，集合中的元素为方程x2+x+1＝0的实根，
∵Δ＝12﹣4＝﹣1＜0，
∴方程x2+x+1＝0无实根，故B为空集；
对于C，方程x=−1x无实数解，故C为空集；
对于D，不等式|x|＜0的解集是空集，故D为空集．
故选：BCD．
11．（4分）（2022春•增城区期末）以下满足{0，2，4}⊆A⫋{0，1，2，3，4}，则A＝（ ）
A．{0，2，4}B．{0，1，3，4}C．{0，1，2，4}D．{0，1，2，3，4}
【解题思路】集合A一定要含有0，2，4三个元素，且至少要多一个元素，多的元素只能从1、3中选，根据要求写出集合即可．
【解答过程】解：A可以为{0，1，2，4}，{0，2，3，4}，{0，2，4}．
故选：AC．
12．（4分）（2021秋•湖北月考）定义：若集合A非空，且是集合B的真子集，就称集合A是集合B的孙子集．下列集合是集合B＝{1，2，3}的孙子集的是（ ）
A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}
【解题思路】由题意写出集合B的孙子集，再进行判断即可．
【解答过程】解：由题意可知集合B＝{1，2，3}的孙子集有
{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，
故BC正确，
故选：BC．
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2021秋•临川区校级月考）若集合A＝{x|ax2﹣2ax+a﹣1＝0}＝∅，则实数a的取值范围是 （﹣∞，0] ．
【解题思路】利用空集的定义，将问题转化为ax2﹣2ax+a﹣1＝0无解，分a＝0和a≠0两种情况，分别求解即可．
【解答过程】解：因为集合A＝{x|ax2﹣2ax+a﹣1＝0}＝∅，
所以ax2﹣2ax+a﹣1＝0无解，
当a＝0时，方程无解，符合题意；
当a≠0时，Δ＝（﹣2a）2﹣4a（a﹣1）＝4a＜0，解得a＜0．
综上所述，a的取值范围为（﹣∞，0]．
故答案为：（﹣∞，0]．
14．（4分）（2022春•安徽期中）设集合A={x∈N|y=12x+3∈N}，则集合A的子集个数为 16 ．
【解题思路】先求出集合A，再根据集合子集个数为2n个，求解即可．
【解答过程】解：∵A={x∈N|y=12x+3∈N}={0，1，3，9}，
∴集合A的子集个数为24＝16，
故答案为：16．
15．（4分）（2022春•尖山区校级期中）已知集合A＝{x∈R|2a≤x≤a+3}，B＝{x∈R|x＜﹣1或x＞4}．若A⊆B，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣4）∪（2，+∞） ．
【解题思路】对集合A＝∅，A≠∅两种情况讨论，根据集合的子集关系建立不等式，由此即可求解．
【解答过程】解：当A＝∅时，满足A⊆B，此时2a＞a+3，解得a＞3，
当A≠∅时，要满足A⊆B，只需满足2a≤a+32a＞4或2a≤a+3a+3＜−1，
解得2＜a≤3或a＜﹣4，
综上，实数a的范围为（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．
16．（4分）（2021秋•安康期中）定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}，设A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A⊗B的真子集的个数为 7 ．
【解题思路】先求出集合A⊗B＝{2，3，4}，由此能求出集合A⊗B的真子集的个数．
【解答过程】解：∵A⊗B＝{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}，A＝{0，1}，B＝{2，3}，
∴集合A⊗B＝{2，3，4}，
∴集合A⊗B的真子集的个数为7．
故答案为：7．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2021秋•凉山州期末）已知集合A＝{x|x2+2x+m＝0}，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．
【解题思路】由题意知集合A有且仅有一个元素，再转化为方程x2+2x+m＝0有两个相同的根，利用判别式Δ＝22﹣4m＝0求解．
【解答过程】解：存在实数m满足条件，理由如下：
若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，
即方程x2+2x+m＝0有两个相同的根，
∴Δ＝22﹣4m＝0，解得m＝1．
∴所有的m的值组成的集合M＝{1}．
18．（6分）已知集合A＝{x|x2+4ax﹣4a+3＝0}，B＝{x|x2+（a﹣1）x+a2＝0}，C＝{x|x2+2ax﹣2a＝0}，其中至少有一个集合不为空集，求实数a的取值范围．
【解题思路】关于“至少“至多”“不存在”等问题可考虑反面，本题的反面是A、B、C都是空集，由此能求出a的取值范围．
【解答过程】解：假设集合A、B、C都是空集，
对于A，元素是x，A＝∅，表示不存在x使得式子x2+4ax﹣4a+3＝0，
所以Δ＝16a2﹣4（﹣4a+3）＜0，解得−32＜a＜12；
对于B，B＝∅，同理Δ＝（a﹣1）2﹣4a2＜0，解得a＞13或者a＜﹣1；
对于集合C，C＝∅，同理Δ＝（2a）2+8a＜0，解得﹣2＜a＜0；
三者交集为−32＜a＜﹣1．
取反面即可得A、B、C三个集合至少有一个集合不为空集，
∴a的取值范围是a≥﹣1或a≤−32．
19．（8分）（2021秋•东莞市校级月考）定义A⊗B＝{z|z＝xy+xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}．
（1）求集合A⊗B的所有元素之和．
（2）写出集合A⊗B的所有真子集．
【解题思路】（1）分别将A，B中的元素代入，从而求出A⊗B中的元素，进而求出元素之和；
（2）由（1）A⊗B＝{0，4，5，}，逐项写出即可．
【解答过程】解：（1）A⊗B＝{0，4，5}，
集合所有元素和 9
（2）∅，{0}，{4}，{5}，{0，4}，{0，5}，{ 4，5}共7种可能．
20．（8分）（2021秋•山西期末）已知集合A＝{x|x2﹣ax+b＝0，a∈R，b∈R}．
（1）若A＝{1}，求a，b的值；
（2）若B＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}，且A＝B，求a，b的值．
【解题思路】（1）若A＝{1}，则1−a+b=0Δ=(−a)2−4b=0，由此能求出a，b；
（2）由B＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}＝{﹣2，﹣1}，且A＝B，得4+2a+b=01+a+b=0，由此能求出a，b．
【解答过程】解：（1）集合A＝{x|x2﹣ax+b＝0，a∈R，b∈R}．
若A＝{1}，则1−a+b=0Δ=(−a)2−4b=0，
解得a＝2，b＝1；
（2）B＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}＝{﹣2，﹣1}，且A＝B，
∴4+2a+b=01+a+b=0，
解得a＝﹣3，b＝2．
21．（8分）（2021秋•重庆月考）已知集合A＝{1，2，3}．
（1）若M是A的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M；
（2）若B＝{x|ax﹣3＝0}，且B⊆A，求实数a的取值集合．
【解题思路】（1）利用列举法能求出满足条件的所有集合M．
（2）当a＝0时，B＝∅，当a≠0时，B＝{3a}，此时3a=1或3a=2或3a=3，由此能求出实数a的取值集合．
【解答过程】解：（1）集合A＝{1，2，3}，M是A的子集，且至少含有元素3，
∴满足条件的所有集合M为：
{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}．
（2）若B＝{x|ax﹣3＝0}，且B⊆A，
∴当a＝0时，B＝∅，符合题意，
当a≠0时，B＝{3a}，
∴3a=1或3a=2或3a=3，
解得a＝3或a=32或a＝1，
综上，实数a的取值集合为{0，1，32，3}．
22．（8分）（2020秋•麒麟区校级期中）已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．
（1）若M⊆N，求实数a的取值范围；
（2）若M⊇N，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；
（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立
【解答过程】解：（1）∵M⊆N，∴a+1≤22a−1≥5，∴a∈∅；
（2）①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．
②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，
则a+1≥22a−1≤5，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．
综上a≤3．