人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.3 集合的基本运算课后练习题

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1．并集的概念及表示
2.交集的概念及表示
温馨提示：(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．
(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．
(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．
3．并集、交集的运算性质
4．全集
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)符号表示：全集通常记作U.
5．补集
温馨提示：∁UA的三层含义：
(1)∁UA表示一个集合；
(2)A是U的子集，即A⊆U；
(3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．
【题型1 并集的运算】
【方法点拨】
①定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果．
②数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．
【例1】（2022•河南模拟）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，集合B＝{x|1﹣x＞﹣1}，则集合A∪B＝（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，2）C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，3）
【变式1-1】（2022•东城区校级三模）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（ ）
A．{x|0≤x＜1}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|0＜x＜1}
【变式1-2】（2022春•乐清市校级期中）设集合A＝{2，3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝（ ）
A．{3}B．{2，3}C．（2，3）D．[2，4）
【变式1-3】（2022春•平罗县校级期中）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|0＜x＜2}，则M∪N等于（ ）
A．(0，1)B．(−1，2)C．(−1，0)D．(1，2)
【题型2 交集的运算】
【方法点拨】
①求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果．
②在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰．
【例2】（2022•金东区校级模拟）设集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．{x|x≥2}B．{x|x＜2}C．{x|2≤x＜3}D．{x|﹣1≤x＜2}
【变式2-1】（2022•金凤区校级三模）已知集合A＝{x|1＜x﹣1≤3}，B＝{2，3，4}，则A∩B＝（ ）
A．{2，3，4}B．{3，4}C．{2，4}D．{2，3}
【变式2-2】（2022•浙江学业考试）已知集合P＝{0，1，2}，Q＝{1，2，3}，则P∩Q＝（ ）
A．{0}B．{0，3}C．{1，2}D．{0，1，2，3}
【变式2-3】（2022•巴宜区校级二模）集合A＝{x∈Z|x＜2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{1}
【题型3 由集合的并集、交集求参数】
【方法点拨】
①策略：当题目中含有条件A∩B＝A或A∪B＝B，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A∩B＝A转化为A⊆B，A∪B＝B转化为A⊆B.
②方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．
③注意点：当题目条件中出现B⊆A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝∅的情况．
【例3】（2021秋•宜宾期末）已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a﹣1≤x≤2a+1，a∈R}．
（1）若a＝1，求A∪B；
（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
【变式3-1】（2021秋•资阳期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|2a+1＜x＜2a+6}，B＝{x|﹣4≤x≤2}．
（1）若a＝﹣1，求A∪B；
（2）若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．
【变式3-2】（2021秋•伊州区校级期末）若集合A＝{x|2x﹣1⩾3}，B＝{x|3x﹣2＜m}，C＝{x|x＜5，x∈N}．
（1）求A∩C；
（2）若A∪B＝R，求实数m的取值范围．
【变式3-3】（2021秋•黑龙江期末）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．
（1）当用m＝5时，求A∩B，A∪B；
（2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
【题型4 补集的运算】
【方法点拨】
①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；
②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
【例4】（2022•沈阳模拟）已知全集U＝{x∈N|﹣1＜x≤3}，A＝{1，2}，∁UA＝（ ）
A．{3}B．{0，3}C．{﹣1，3}D．{﹣1，0，3}
【变式4-1】（2022•林州市校级开学）已知全集A＝{x|1≤x≤6}，集合B＝{x|1＜x＜5}，则∁AB＝（ ）
A．{x|x≥5}B．{x|5＜x≤6或x＝1}
C．{x|x≤1或x≥5}D．{x|5≤x≤6}∪{1}
【变式4-2】（2022•乙卷）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则（ ）
A．2∈MB．3∈MC．4∉MD．5∉M
【变式4-3】（2022•北京）已知全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，则∁UA＝（ ）
A．（﹣2，1]B．（﹣3，﹣2）∪[1，3）
C．[﹣2，1）D．（﹣3，﹣2]∪（1，3）
【题型5 交集、并集、补集的综合运算】
【方法点拨】
①如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．
②如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．
【例5】（2022•临沂三模）已知集合A＝N，B＝{x|x≥3}，A∩（∁RB）＝（ ）
A．{﹣1，0}B．{1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}
【变式5-1】（2022•柯桥区模拟）已知集合A＝{x∈R|x≤0}，B＝{x∈R|﹣1≤x≤1}，则∁R（A∪B）＝（ ）
A．（﹣∞，0）B．[﹣1，0]C．[0，1]D．（1，+∞）
【变式5-2】（2022•大通县三模）已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合A＝{x|x≤2，x∈N}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∪（∁UB）＝（ ）
A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2，3，4}
【变式5-3】（2022•义乌市模拟）已知全集U＝R，集合P＝{x|﹣2＜x＜1}，Q＝{x|x⩾0}，则P∩（∁UQ）＝（ ）
A．（﹣2，0）B．（0，1）
C．（﹣∞，0）∪（0，1）D．（﹣∞，1）
【题型6 利用集合间的关系求参数】
【方法点拨】
①与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况．
②不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．
【例6】（2021秋•沈阳期末）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，U＝R．
（1）若A∪∁UB＝U，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．
【变式6-1】（2021秋•湖州期末）已知集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+3}．
（1）当m＝0时，求∁R（A∩B）；
（2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
【变式6-2】（2021秋•海东市期末）已知集合A＝{x|a＜x＜2a}，B＝{x|x≤﹣4或x≥3}．
（1）当a＝2时，求A∪（∁RB）；
（2）若A⊆∁RB，求a的取值范围．
【变式6-3】（2021秋•玉溪期末）已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，B={x|x−5x+3≤0}．
（1）若a＝﹣3，求A∪B；
（2）在①A∩B＝∅，②B∪（∁RA）＝R，③A∪B＝B，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．