数学必修 第一册1.5.1 全称量词与存在量词精练

这是一份数学必修 第一册1.5.1 全称量词与存在量词精练，文件包含专题19全称量词与存在量词-重难点题型精讲学生版docx、专题19全称量词与存在量词-重难点题型精讲教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。

1．全称量词与全称量词命题
2.存在量词与存在量词命题
3．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
4．命题的否定与原命题的真假
一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．
【题型1 全称量词命题与存在量词命题的理解】
【方法点拨】
判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．
【例1】（2021秋•普宁市校级月考）下列命题中全称量词命题的个数为（ ）
①正方形的对角线互相平分；
②每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0B．1C．2D．3
【变式1-1】（2021秋•临沂期中）下列命题中，是全称量词命题的是（ ）
A．∃x∈R，x2≤0
B．当a＝3时，函数f（x）＝ax+b是增函数
C．存在平行四边形的对边不平行
D．平行四边形都不是正方形
【变式1-2】（2020秋•沧州期中）下列命题是全称量词命题的是（ ）
A．有一个偶数是素数
B．至少存在一个奇数能被15整除
C．有些三角形是直角三角形
D．每个四边形的内角和都是360°
【变式1-3】（2021秋•苍南县校级月考）下列命题中
（1）有些自然数是偶数；
（2）正方形是菱形；
（3）能被6整除的数也能被3整除；
（4）对于任意x∈R，总有1x2+1≤1．
存在量词命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】
【方法点拨】
判断全称量词命题真假的方法：要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可．
判断存在量词命题真假的方法：判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性．若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命题是假命题．
【例2】（2022春•荆州校级月考）下列结论中正确的是（ ）
A．∀n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是真命题
B．∀n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题
C．∃n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命题
D．∃n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假命题
【变式2-1】（2021秋•武汉期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．对每一个无理数x，x2也是无理数
B．存在一个实数x，使x2+2x+4＝0
C．有些整数只有两个正因数
D．所有的质数都是奇数
【变式2-2】（2022春•丰城市校级期中）下列四个命题中的真命题为（ ）
A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3B．∃x0∈Z，4x0+1＝0
C．∀x∈R，x2﹣1＝0D．∀x∈R，x2﹣2x+2≥0
【变式2-3】（2022春•罗甸县校级月考）下列命题中是假命题是（ ）
A．∀x∈R，|x|+1＞0B．∃x∈R，1|x|+1＝2
C．∃x∈R，|x|＜1D．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0
【题型3 根据命题的真假求参数】
【方法点拨】
(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．
(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
【例3】（2021春•泰安期末）已知命题p：∃x0＞0，x0+a﹣1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）
【变式3-1】（2020秋•普宁市期中）若命题p：∀x∈R，x2﹣2x+m≠0是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m＞1C．m＜1D．m≤1
【变式3-2】（2022•四川模拟）若“∃x∈[﹣1，m]（m＞﹣1），|x|﹣1＞0”是假命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，1]C．[1，+∞）D．[0，1]
【变式3-3】（2021秋•黄石月考）已知命题“存在x∈{x|﹣2＜x＜3}，使得等式2x﹣m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4]∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（6，+∞）
C．（﹣∞，﹣4）∪[6，+∞）D．（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）
【题型4 全称量词命题与存在量词命题的否定】
【方法点拨】
对全称量词命题否定的两个步骤：
①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)eq \(――→,\s\up7(改为))存在量词(∃)．
②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
对存在量词命题否定的两个步骤：
①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)eq \(――→,\s\up7(改为))全称量词(∀)．
②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．
【例4】（2022春•阿勒泰地区期末）全称命题：∀x∈R，x2+5x＝4的否定是（ ）
A．∃x∈R，x2+5x＝4B．∀x∈R，x2+5x≠4
C．∃x∈R，x2+5x≠4D．以上都不正确
【变式4-1】（2021秋•荷塘区校级期末）命题“∃x∈R，使x＞1”的否定是（ ）
A．∀x∈R，都有x＞1B．∃x∈R，使x＜1
C．∀x∈R，都有x≤1D．∃x∈R，使x≤1
【变式4-2】命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x3﹣x2+1≥0B．∃x∈R，x3﹣x2+1＞0
C．∃x∈R，x3﹣x2+1≤0D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0
【变式4-3】（2021•衡阳县校级四模）设x∈Z，集合A为偶数集，若命题p：∀x∈Z，2x∈A，则￢p（ ）
A．∀x∈Z，2x∉AB．∀x∉Z，2x∈AC．∃x∈Z，2x∈AD．∃x∈Z，2x∉A
【题型5 命题否定的真假判断】
【方法点拨】
(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；
(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，
当原命题为假时，命题的否定为真.
【例5】写出下列命题的否定，并判断真假．
（1）正方形都是菱形；
（2）∃x∈R，使4x﹣3＞x；
（3）∀x∈R，有x+1＝2x；
（4）集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．
【变式5-1】（2021秋•邹城市期中）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：
（Ⅰ）p：对任意的x∈R，x2+x+1≠0都成立；
（Ⅱ）q：∃x∈R，使x2+3x+5≤0．
【变式5-2】（2021秋•广平县校级期中）判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
（1）∀x∈N，x3＞x2；
（2）所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
（3）∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0；
（4）存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
【变式5-3】（2021秋•澄城县校级月考）判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．
（1）存在实数x，使得x2+2x+3≤0；
（2）有些三角形是等边三角形；
（3）方程x2﹣8x﹣10＝0的每一个根都不是奇数．
【题型6 根据命题否定的真假求参数】
【方法点拨】
结合题目条件，根据命题的否定的真假与原命题的真假之间的关系进行转化求解，进而求出参数即可.
【例6】（2022春•荆州期末）已知命题p：∀a∈R，一元二次方程x2﹣ax+1＝0有实根；若￢p是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣2，2）C．（﹣4，4）D．（﹣2，4）
【变式6-1】（2022•香洲区校级学业考试）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，3]B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【变式6-2】（2022春•福建月考）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1≤0”的否定是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，3]B．（﹣1，3）
C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
【变式6-3】（2021•枣庄校级模拟）命题p：∀x∈R，ax2+ax+1≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，4]B．[0，4]
C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）