冀教版数学九年级上册单元测试第二十五章图形的相似（AB卷）（2份，原卷版+教师版）

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第二十四章图形的相似（B卷-拔高卷）注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期末）如图，已知，求作，则下列作图正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先在射线上依次截取，，在射线上截取，连接，过作CE∥BD，交于，则即，再根据，即可得出结论．【详解】如图，需要在射线上依次截取，，在射线上截取，连接，过作CE∥BD，交于，则，即，所以；因为，所以DE=x即即为所求．故选：．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的基本作图，熟练掌握定理是解题的关键．2．（2022·重庆南开中学八年级期末）若且，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用分式的基本性质得到，然后根据等比性质解决问题．【详解】解：∵，∴，又，∴故选B【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的系数是解题的关键．3．（2022·安徽·合肥市五十中学东校九年级阶段练习）如图，点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，S3：S2的值为（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】设AB＝a，根据黄金比值用a表示出AE、BE，根据矩形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：设AB＝a，∵点E是边AB边上的黄金分割点，AE＞EB，∴AEABa，则BE＝AB﹣AE＝aaa，∴S3：S2，故选：C．【点睛】本题考查是黄金分割的概念、黄金比值，熟记黄金比值为是解题的关键．4．（2022·广东·佛山市南海区石门实验学校三模）如图，在中，，，将沿着点到点的方向平移到的位置，图中阴影部分面积为，则平移的距离为（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，求出的面积，根据平移的性质得出，的面积的面积，再根据面积比等于相似比的平方得出即可．【详解】解：，，，，是直角三角形，，将沿着点到点的方向平移到的位置，∴，的面积的面积，，图中阴影部分面积为，，∴，解得：，即平移的距离是，故选：．【点睛】本题考查了平移的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积和相似三角形的性质等知识点，能求出的面积是解此题的关键．5．（2022·广东·模拟预测）两张全等的矩形（非正方形）纸片按如图呈中心对称方式放置在一个大正方形内，记重叠部分为①，不重叠部分为②和③；若已知正方形面积，且图形①和图形③相似，则下列可求的是（   ）A．矩形的面积 B．矩形的周长 C．图形①的面积 D．图形②的面积【答案】B【分析】设正方形的边长为c，矩形的长、宽分别为a、b，得到，进而求解．【详解】解：设正方形的边长为c，矩形的长、宽分别为a、b，则，化简后得到，，，，即矩形的周长为．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称，矩形的性质，正方形的性质，相似多边形的性质．理解相关知识是解答关键．6．（2022·江苏扬州·九年级阶段练习）如图，在中，平分，于点，为的中点，连接延长交于点若，，则线段的长为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，然后证明，根据平行线分线段成比例可得，再根据三角形中位线定理求出即可．【详解】解：，，，为中点，，，又平分，，，∴，∴，，，，故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理以及三角形中位线定理等知识，证明是解答本题的关键．7．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，把这个三角形放大为原来的倍，得到，则点的对应点的坐标是(    )A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根据位似变换的性质解答即可．【详解】解：以原点为位似中心，把放大为原来的倍，得到，，点的对应点的坐标是或，即或．故选：C．【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．8．（2022·河北·石家庄市第四十四中学三模）如图，为矩形的中心，将直角的直角顶点与重合，一条直角边与重合，使三角板沿逆时针方向绕点旋转，两条直角边始终与边、相交，交点分别为、．若，，，，则与之间的函数图象是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】过点分别作于，于，易证明，利用相似比作为相等关系即可得到关于，的方程，整理即可得到函数关系式从而判断图象．【详解】解：过点分别作于，于，即易得四边形是矩形，则有：，，，∵为矩形的中心，于，于，∴，，∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，，，∴，， ∴，∴，∵，∴，∴，∴，故选：．【点睛】解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．9．（2022·上海·上外附中九年级阶段练习）平面直角坐标系中有一直线，先将其向右平移3个单位得到，再将作关于x轴的对称图形，最后将绕与y轴的交点逆时针旋转得到，则直线的解析式为___________.A． B． C． D．【答案】A【分析】直线，先将其向右平移3个单位得到，取两点（0，11），（1，9），求得其关于x轴的对称点(0，-11)，(1，-9)，待定系数法确定的解析式为y=2x-11，确定与y轴交点（0，-11），根据与垂直，利用相似和待定系数法确定的系数为，从而得到解析式．【详解】根据直线，先将其向右平移3个单位得到，取两点（0，11），（1，9），所以关于x轴的对称点(0，-11)，(1，-9)，设解析式为y=kx+b，所以，解得，所以解析式为y=2x-11，所以与y轴交点A（0，-11），与x轴交点B（，0），设与x轴的交点为C，所以OA=11，OB=，因为绕与y轴的交点逆时针旋转得到，所以∠OAC+∠OAB=90°，因为∠OBA+∠OAB=90°，所以∠OBA=∠OAC，因为∠BOA=∠AOC=90°，所以△BOA∽△AOC，所以，所以，解得OC=22，所以点C（-22，0）因为过点（0，-11），所以的解析式为y=kx-11，所以22k-11=0,解得k=，所以解析式．故选A．【点睛】本题考查了待定系数法，轴对称，平移，旋转，熟练掌握待定系数法，理解旋转的性质和意义是解题的关键．10．（2022·山东·济南育秀中学九年级阶段练习）如图，在菱形中，交的延长线于点E．连结交于点F，交于点G，于点H，连结．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有（　　）A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】根据菱形的对称轴即可判断①，证明，根据相似三角形的性质即可判断②，设 ，根据已知条件，结合含30度角的直角三角形的性质，进而可得 ，证明，可得，设 ， 则 ，根据，求得，进而即可判断③，根据，分别求得，即可求解．【详解】解：∵四边形是菱形，∴对角线所在直线是菱形的对称轴， A与C关于对称，，， 故①正确，，，，又 ，，，，， 故②正确， 菱形中，，，，，设 ，，，Rt中，，，，，，设，则，∴，又，，，，， 故③正确，中，，∴，中，，，，中，，中，，，，，， 故④正确，故正确的为∶ ①②③④．故选∶D【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握菱形的性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2022·江苏·宜兴市桃溪中学九年级阶段练习）在比例尺为的地图上，测得A、B两地间的图上距离为2.5厘米，则其实际距离为______米．【答案】500【分析】设A，B两地间的实际距离为，根据比例尺为的地图上，测得A，B两地间的图上距离为，得：，求出x再转换单位即可．【详解】解：设A，B两地间的实际距离为，根据题意列方程得，，解得，，∴A、B两地的实际距离为500米，故答案为：500．【点睛】本题考查了比例线段，比较简单，解题的关键是理解题意，根据题意列方程，注意统一单位．12．（2022·吉林吉林·九年级期末）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为____．【答案】7【详解】试题分析：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC．∴CD=BC－BD=9－3=6，；∠BAD+∠ADB=120°．∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°．∴∠DAB=∠EDC．又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE．∴，即．∴．13．（2022·辽宁·沈阳市第一三四中学九年级阶段练习）如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，那么原来矩形的长边与短边的比值是______．【答案】【分析】先根据题意得到，再代入变形得到，然后求解．【详解】根据题意，得．将代入，得，开平方得（舍去）．故答案为：．【点睛】本题考查相似多边形对应边成比例的性质，熟练掌握相似多边形对应边成比例是解题的关键．14．（2022·安徽合肥·八年级期末）如图，AD是ABC的中线，M是AD的中点，延长BM交AC于点N，若AC=4，则AN=______．【答案】##【分析】作DEBN交AC于E，根据平行线分线段成比例定理得到NE＝EC和AN＝NE，即可得到答案．【详解】解：如图，作DEBN交AC于E，∵AD是ABC的中线，∴BD＝DC，又∵DEBN，∴，∴NE＝EC，∵DE∥BN，AM＝MD，∴，∴AN＝NE，∴AN＝NE＝EC，∴．故答案为：．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系得到相关的比例是解题的关键．15．（2022·湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习）将图1中的矩形和正方形纸片沿图2中的虚线剪成5块，再用这5块拼接成如图3所示矩形，其中阴影部分为空余部分，若AB=2AD，则的值为________.【答案】【分析】如图，设FH=EJ=AK=x，则PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，首先证明x=3b-2a，利用相似三角形的性质构建关系式，即可解决问题．【详解】解：如图，设FH=EJ=AK=x，则PF=5a+2b-x，AB=4a-2b，∵JR=DQ=5a-x，AB=2CD，∴CD=2a-b，∵KQ=PF，∴x+2a-b+5a-x=5a+2b-x，∴x=3b-2a，∵∠EHF=∠P=∠EFT=90°，∴∠HFE+∠PFT=90°，∠PFT+∠FTP=90°，∴∠EFH=∠FTP，∴△EHF∽△FPT，∴，∴，整理得，3b2-15ab+14a2=0，∴b=a，∵4a-2b＞0，∴＜2，∴=．故答案为：．【点睛】本题考查图形拼剪，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．16．（2022·浙江金华·一模）将一本高为（即）的词典放入高（AB）为的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F离收纳盒最左端B处，若此时将词典无滑动向右倒，书角的对应点恰为CD中点．（1）收纳盒的长_______；（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有________本书可与边BC有公共点．【答案】     cm     7【分析】（1）由图知，已知，根据得到，在Rt中根据勾股定理得到，从而得到结论；（2）延长交BC于G'，如图2所示，由（1）知在Rt中，，根据，得到，由得到最多有7本书可与边BC有公共点．【详解】解：（1）如图所示：在Rt中，，，，则，，，连接，如图所示：恰好能盖上盒盖，，词典是长方体，，即，在Rt中，，，，，即，解得，将词典无滑动向右倒，，书角的对应点恰为CD中点，，在Rt中，，，，则，，收纳盒的长cm，故答案为：cm；（2）延长交BC于G'，如图2所示：由（1）知，，，由（1）知，，，由（1）知在Rt中，，，，则，，解得，由（1）知，，最多有7本书可与边BC有公共点．【点睛】本题考查利用勾股定理及相似的实际运用，涉及到勾股定理求线段长及三角形相似的判定与性质，读懂题意，根据图形作出辅助线，找到直角三角形灵活运用勾股定理及相似求线段长是解决问题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022·江苏连云港·九年级期末）如图，一个矩形广场的长米，宽米，广场内两条纵向的小路宽为a米，横向的两条小路宽为b米，矩形矩形EFGH．(1)求的值；(2)若，求矩形EFGH的面积．【答案】(1)a：b＝2：1(2)6272米2【分析】（1）根据题意可得HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，根据矩形ABCD∽矩形EFGH．可得，进而可以解决问题；（2）由（1）得2b＝a，根据矩形EFGH的面积＝EF•HE，即可解决问题．（1）根据题意可知：HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，∵矩形ABCD∽矩形EFGH．∴，∴，整理，得2b＝a，∴a：b＝2：1；（2）∵a＝4，2b＝a，∴b＝2，∴矩形EFGH的面积＝EF•HE＝（120﹣2a）•（60﹣2b）＝（120﹣8）（60﹣4）＝112×56＝6272（米2）．答：矩形EFGH的面积为6272米2．【点睛】本题考查了相似多边形的应用，列代数式，解决本题的关键是掌握相似多边形的性质．18．（2022·山西省运城市运康中学校九年级阶段练习）如图，在8×11网格图中，与是位似图形. (1)若在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为（-1，6），点的坐标为（2，3），则点B的坐标为___________；(2)以点A为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为1：2；(3)在图上标出与的位似中心P，并写出点P的坐标为___________，计算四边形ABCP的周长为___________．【答案】(1)(2)见解析(3)，【分析】（1）利用点A和的坐标画出直角坐标系，然后写出B点坐标；（2）利用网格特点，根据位似的性质取AB的中点和AC的中点，则和位似，且位似比为 1：2；（3）连接、、，它们相交于点P，再写出P点坐标，然后利用勾股定理计算AB、BC、PC和AP的长，从而可得到四边形ABCP的周长．（1）解：如图，点B的坐标为（−5，2）；故答案为：；（2）如图，为所作；（3）如图，点P为所作，P点坐标为（1，2），，，，，所以四边形ABCP的周长．故答案为：（1，2），．【点睛】本题考查了作图−位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．19．（2022·全国·九年级专题练习）李懿菲放学回家途经过一个足球场，如图，足球场边有一路灯P，在灯下足球门横梁AB在地面上的影子为CD，经测量得知CD=9.8米，已知足球门横梁AB=7.3米，高AE=BF=2.4米，试求路灯P距地面的高度．【答案】路灯P距地面的高度为9.408m．【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出答案．【详解】∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，∴，∴，∵AE∥PG，∴，∴，∴PG=9.408（m），答：路灯P距地面的高度为9.408m．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．20．（2022·上海市康健外国语实验中学九年级阶段练习）已知：如图，梯形中，AD//BC，是对角线上一点，(1)求证：(2)求证：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）先由得到，然后由得证； （2）先由得到，再由得到，从而得到，再利用相似三角形的性质可得答案．（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴．（2）∵梯形中，， ∴  又∵， ∴，∵， ∴， ∴ ∴【点睛】本题考查了梯形的性质、等腰梯形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、平行线的性质，解题的关键是熟练应用等量代换得证．21．（2022·上海·新区川沙新镇江镇中学九年级阶段练习）如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且，，、交于点M，、交于点N．(1)求证：；(2)若，，求线段的长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，由得到，由得到，所以，即＝，于是可判断；（2）先利用得到＝，则可设，再由得到，，所以，接着由得到，于是可设，则，然后证明四边形为平行四边形得到，最后利用得到，求出a从而得到的长．（1）证明：∵，∴，即，∵，∴，即，∴，即，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，设，则，∵，∴，，∴，∵，∴，设，则，∵，，∴四边形为平行四边形，∴，∵，即，解得，∴．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理．平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例．22．（2022·山东烟台·八年级期末）阅读与思考如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．解决问题：(1)写出正确的比例式及后续解答．(2)指出另一个错误，并给出正确解答．拓展延伸：(3)如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)＝，解答见解析(2)没有进行分类讨论，见解析(3)存在，t＝或t＝【分析】（1）根据三角形相似的性质可得＝，再进行计算即可；（2）根据题意可知另一个错误是没有进行分类讨论，进行解答即可；（3）根据题意可知有两种情况分别是和，然后列出方程进行计算即可．（1）由题意得∵∴正确比例式是：＝， ∴DE＝＝＝＝；（2）另一个错误是没有进行分类讨论，如图，过点D作∠ADE＝∠ACB，又∵∠A＝∠A，则△ADE∽△ACB，∴＝，∴DE＝＝＝，综合以上可得：DE为或．（3）由题意可知，有两种情况，第一种：当时，设AM=t，则AN=6-2t，则由得，解得：t=；第二种：当时，则由，，解得：t=，综上所述，当t＝或t＝时以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解决此题的关键是要学会分类讨论．23．（2022·全国·九年级课时练习）（1）观察猜想：如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____．（2）类比探究：如图3，当，时，请求出的值及的度数．（3）拓展应用：如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离．【答案】（1），45°；（2），30°；（3）2【分析】（1）由题意得△ABC和△ADE为等腰直角三角形，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，进而得出∠BFC=∠BAC=45°；（2）由直角三角形的性质得DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，证出∠BFC=∠BAC=30°；（3）以AD为斜边在AD右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，由等腰直角三角形的性质得∠BAC=∠DAM=45°，，证△BAD∽△CAM，得∠ABD=∠ACM，，则CM=3，证出∠DCM=90°，由勾股定理得DM=，则AD=DM=2．【详解】（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=∠DAE=45°，DE=AE，∴∆ABC和∆ADE为等腰直角三角形，∴，∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴∆BAD~∆CAE，∴，∠ABD=∠ACE，又∵∠AGB=∠FGC，∴∠BFC=∠BAC=45°，故答案是：，45°；（2）∵∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°，∴DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC，∴，∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴∆BAD~∆CAE，∴，∠ABD=∠ACE，又∵∠AGB=∠FGC，∴∠BFC=∠BAC=30°；（3）以AD为斜边，在AD的右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，如图，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∆ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=∠DAM=45°，，∴∠BAC-∠DAC=∠DAM-∠DAC，即∠BAD=∠CAM，∴∆BAD~∆CAM，∴∠ABD=∠ACM，，又∵BD=6，∴CM==3，∵四边形ABDC的内角和为360°，∠BDC=45°，∠BAC=45°，∠ACB=90°∴∠ABD+∠BCD=180°，∴∠ACM+∠BCD=180°，∴∠DCM=90°，∴DM=，∴AD=DM=2，即A，D两点之间的距离是2．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，第（3）小题，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．