苏科版数学九上期末培优训练专题10 圆的对称性（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16065" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16065 \h 1
\l "_Tc31786" 【考点一 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 PAGEREF _Tc31786 \h 1
\l "_Tc16562" 【考点二 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 PAGEREF _Tc16562 \h 3
\l "_Tc10568" 【考点三 利用垂径定理求值】 PAGEREF _Tc10568 \h 5
\l "_Tc1959" 【考点四 利用垂径定理求平行弦问题】 PAGEREF _Tc1959 \h 8
\l "_Tc13329" 【考点五 垂径定理的推论】 PAGEREF _Tc13329 \h 11
\l "_Tc26736" 【考点六 垂径定理的实际应用】 PAGEREF _Tc26736 \h 13
\l "_Tc11757" 【过关检测】 PAGEREF _Tc11757 \h 15
【典型例题】
【考点一 利用弧、弦、圆心角的关系求解】
例题：（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
2．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）下列说法：
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；
④圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【考点二 利用弧、弦、圆心角的关系求证】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知 的半径 ，， 在 上， 于点 ， 于点 ，且 ，求证：．

【变式训练】
1．（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）已知：如图，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求证：AB=CD．
2．（2023秋·河北秦皇岛·九年级统考期末）如图，A、B是⊙O上的两点，C是弧AB中点．求证：∠A＝∠B．
【考点三 利用垂径定理求值】
例题：（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，是的直径，弦，垂足为，连接，若，，则弦的长为 ．

【变式训练】
1．（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）已知的半径为，弦的长为，则圆心到的距离为 ．
2．（2023·浙江·九年级假期作业）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，是的直径，弦，垂足为E，寸，寸．则直径的长为 寸．

【考点四 利用垂径定理求平行弦问题】
例题：（2023秋·天津和平·九年级校考期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（ ）
A．1B．7C．1或7D．3或4
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ．
2．（2023春·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）的半径为13cm，AB、CD是的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离．
【考点五 垂径定理的推论】
例题：（2023·新疆喀什·统考二模）某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高为4米，则的半径为 米．
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起 厘米．
2．（2023春·江苏无锡·九年级校联考期末）《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，为的半径，弦，垂足为，寸，尺尺寸，则此圆材的直径长是 寸．
【考点六 垂径定理的实际应用】
例题：（2023春·安徽亳州·九年级专题练习）如图，的直径与弦交于点E，，则下列说法错误的是（ ）
A．B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·九年级单元测试）下列说法正确的是（ ）
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
②平分弦的直径平分弦所对的弧
③垂直于弦的直线必过圆心
④垂直于弦的直径平分弦所对的弧
A．②③B．①③C．②④D．①④
2．（2023·四川攀枝花·校联考二模）下列说法中正确的说法有（ ）个
①对角线相等的四边形是矩形
②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等
③相等的圆心角所对的弧相等
④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
⑤到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点
A．1B．2C．3D．4
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·上海普陀·统考二模）下列关于圆的说法中，正确的是（ ）
A．过三点可以作一个圆B．相等的圆心角所对的弧相等
C．平分弦的直径垂直于弦D．圆的直径所在的直线是它的对称轴
2．（2023·浙江·模拟预测）已知弦AB把圆周分成两部分，则弦AB所对圆心角的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，线段是的直径，于点E，若长为16，长为6，则半径是（ ）
A．5B．6C．8D．10
4．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，是的直径，弦垂直于点，连接，，，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·浙江衢州·统考二模）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于，，，四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
6．（2023春·九年级单元测试）为的直径，弦于，且，，则 ．
7．（2023春·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习）如图，是的直径，，，则的度数是 ．
-
8．（2023春·九年级单元测试）半径为的内有一点，且，则过点的最短的弦长是 ，最长的弦长是 ．
9．（2023·河南南阳·校联考二模）已知半径为5的圆O中有一条长度为8的弦，分别以A，B为圆心，长度大于4为半径作圆弧交于点M，N，连接，点C为直线与圆O的交点，点D为直线与弦的交点，则的长度为 ．
10．（2023·浙江·九年级专题练习）图1是小文家的木马玩具，图2是木马玩具底座水平放置的示意图，点是所在圆的圆心，，点，点离地高度均为，水平距离．则 ．当半径转到竖直位置时，木马就有翻倒的风险，为安全起见，点离地高度应小于 ．
三、解答题
11．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）如图，是的直径，，，求的度数．

12．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，，交于点，，是半径，且于点F．
(1)求证：．
(2)若，，求的半径．
13．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．
(1)求的半径长；
(2)连接，作于点F，求的长．
14．（2023·河北衡水·校考模拟预测）图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆的中点，（即当支架水平放置时直线平行于水平线，支撑杆垂直于水平线），通过滑动A、B可以调节的高度．当经过圆心O时，它的宽度达到最大值，在支架水平放置的状态下：
(1)当滑动杆的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆的高度．
(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（），求该手机的宽度．
15．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图1，是的弦，点C在外，连接、分别交于D、E，
(1)求证：．
(2)如图2，过圆心O作，交于P、Q两点，交、于M、N两点，求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接、，，若，，求弦的长．