苏科版数学九下单元复习第5章《二次函数》知识点梳理+讲与练（2份，原卷版+教师版）

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知识点01：二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.知识点02：二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：　　①；②；③；④，　　其中；⑤.（以上式子a≠0）　　几种特殊的二次函数的图象特征如下：2.抛物线的三要素：　　开口方向、对称轴、顶点.　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线中，的作用：　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，　 　　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：　 　　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .4.用待定系数法求二次函数的解析式：　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.)　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．知识点03：二次函数与一元二次方程的关系　　函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.　　　 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：要点诠释： 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.知识点04：利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：　　(1)建立适当的平面直角坐标系；　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•高港区二模）已知点P（﹣1，y1），Q（3，y2），M（m，y3）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，其中2am+b＝0．若y3＜y1＜y2，则m的取值范围是（　　）A．﹣1＜m＜3 B．m＞1 C．m＜1且m≠﹣1 D．1＜m＜4解：由2am+b＝0得，直线x＝m是抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴，且此时y＝y3，且y3＜y1＜y2，∴M（m，y3）为抛物线的顶点，且抛物线开口向上，当m＞1时，P（﹣1，y1）到对称轴的距离大于Q（3，y2）到对称轴的距离，y3＜y2＜y1，不符合题意，当时，P（﹣1，y1），Q（3，y2）关于直线x＝m对称，此时y1＝y2，不符合题意，故m≠1；当m＝﹣1时，点P（﹣1，y1），M（m，y3）重合，不符合题意，故m≠﹣1；当﹣1＜m＜1时，P（﹣1，y1）到对称轴的距离小于Q（3，y2）到对称轴的距离，y3＜y1＜y2，符合题意，当m＜﹣1时，P（﹣1，y1）到对称轴的距离小于Q（3，y2）到对称轴的距离，y3＜y1＜y2，符合题意，综上所述：m＜1且m≠﹣1．故选：C．2．（2分）（2023•泗阳县一模）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2解：∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，∴y1＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+2＝2，y2＝﹣1﹣2+2＝﹣1，y3＝﹣22﹣2×2+2＝﹣6，∴y1＞y2＞y3，故选：A．3．（2分）（2022秋•如皋市期末）如表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围为（　　）A．1.2＜x1＜1.3 B．1.3＜x1＜1.4 C．1.4＜x1＜1.5 D．1.5＜x1＜1.6解：当x＝1.4时，y＝﹣0.24；当x＝1.5时，y＝0.25．∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围为1.4＜x1＜1.5．故选：C．4．（2分）（2023•邗江区校级四模）如图，⊙A半径为1，圆心A（0，3），点B是⊙A上动点，点C在二次函数y＝x2﹣1图象上运动，则线段BC的最小值为（　　）​A． B．1 C． D．解：设点C（m，m2﹣1），∵A（0，3），∴AC2＝（m﹣0）2+（m2﹣1﹣3）2＝m4﹣7m2+16＝（m2﹣）2+，∵a＝1＞0，∴AC2有最小值为，∴AC最小值为，∵⊙A半径为1，∴BC的最小值为﹣1．故选：A．5．（2分）（2023•高邮市模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝t，点P（2，m）、Q（4，n）在这个二次函数的图象上，若m＜c＜n，则t的取值范围是（　　）A．t＜2 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．1＜t＜3解：∵点P（2，m）、Q（4，n）在二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象上，∴m＝4a+2b+c，n＝16a+4b+c，∵m＜c＜n，∴，整理得：，由①得，，由②得，，∴，∵抛物线的对称轴为直线x＝t＝，∴1＜t＜2．故选：C．6．（2分）（2023•武进区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，抛物线与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示．有下列结论：①4a﹣b＝0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b≥at2+bt（t为实数）；⑤若，是该抛物线上的三点，则y1＜y2＜y3．其中，正确结论的序号有（　　）​A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②④解：①∵抛物线的对称轴为x＝﹣2，∴，∴4a﹣b＝0，故结论①正确；②∵抛物线的开口向下，顶点在第二象限，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，∴抛物线与y轴的交点在负半轴上，∴c＜0，故结论②正确；③对于y＝ax2+bx+c，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c，∵抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，顶点在第三象限，开口向下，∴点（1，a﹣b+c）在第二象限，∴a﹣b+c＞0，由①4a﹣b＝0，∴b＝4a，∴a﹣4a+c＞0，即：﹣3a+c＞0，故结论③正确；④对于y＝ax2+bx+c，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，当x＝t（t为实数）时，y＝at2+bt+c，∵抛物线的对称轴为x＝﹣2，∴点（﹣2，4a﹣2b+c）为抛物线的顶点，又∵抛物线的开口向下，∴y＝4a﹣2b+c为抛物线的最大值，∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，即：4a﹣2b≥at2+bt，故结论④正确；⑤∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x＝﹣2，观察函数的图象可知：在抛物线上离对称轴水平距离越小，函数的值就越大，∴y1＞y2＞y3，故结论⑤不正确．综上所述：正确的结论是①②③④．故选：A．7．（2分）（2023•锡山区校级四模）抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点A（3，0）．下列四个结论：①该抛物线一定经过B（﹣1，0）；②2a+c＞0；③点P1（t+2022，y1），P2（t+2023，y2），在抛物线上，且y1＞y2，则t＞﹣2021；④若m，n（m＜n）是方程ax2+2ax+c＝p的两个根，其中p＞0，则﹣3＜m＜n＜1．其中正确的个数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：①∵抛物线经过点A（3，0），∴9a﹣6a+c＝0，∴3a+c＝0，当x＝﹣1时，a+2a+c＝0，∴3a+c＝0，∴该抛物线一定经过B（﹣1，0），故此项正确；②由①得：c＝﹣3a，∵c＞0，∴﹣3a＞0，∴a＜0，∵3a+c＝0，∴2a+c＝﹣a，∴2a+c＞0，故此项正确；③抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，当t＝﹣2021时，P1（1，y1），P2（2，y2），∵a＜0，∴y1＞y2，∴t＝﹣2021也符合题意与t＞﹣2021矛盾，故此项错误．④∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c，对称轴为直线x＝﹣1，抛物线y＝ax2+2ax+c对称轴为直线x＝﹣1，∴抛物线y＝ax2﹣2ax+c图象向左平移2个单位得到抛物线y＝ax2+2ax+c的图象，∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点（﹣1，0），（3，0），∴抛物线y＝ax2+2ax+c经过点（﹣3，0），（1，0），∵m，n（m＜n）是方程ax2+2ax+c＝p的两个根，∴m，n是抛物线y＝ax2+2ax+c与直线y＝p交点的横坐标，∵p＞0，∴﹣3＜m＜n＜1，故此项正确，故选：C．8．（2分）（2023•海州区校级三模）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（　　）​①2a+b＝0；②c＝3；③abc＞0；④将图象向上平移2个单位后与直线y＝5有3个交点．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④解：∵图象经过（﹣1，0），（3，0），∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，①正确．由图象可得抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，②错误．由抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上可得a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，③正确．设抛物线y＝ax2+bx+c的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，3）得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4），∵点（1，4）向上平移2个单位后的坐标为（1，6），∴将图象向上平移2个单位后与直线y＝5有3个交点，故④正确；故选：D．9．（2分）（2023•靖江市二模）已知抛物线y＝﹣x2﹣4mx+m2﹣1，A（﹣2m﹣4，y1），B（m+3，y2）为该抛物线上的两点，若y1＜y2，则m的取值范围（　　）A．m＜ B．m＞ C．m＜或m＞ D．＜m＜解：∵抛物线y＝﹣x2﹣4mx+m2﹣1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝﹣2m，∴B（m+3，y2）关于对称轴的对称点为（﹣5m﹣3，y2），∵y1＜y2，∴﹣2m﹣4＜m+3或﹣5m﹣3＞﹣2m﹣4，解得：﹣＜m＜，故选：D．10．（2分）（2023•洪泽区二模）关于x的方程x2+bx﹣c＝0的两根分别是x1＝﹣1，x2＝3，若点A是二次函数y＝x2+bx﹣c的图象与y轴的交点，过A作AB⊥y轴交抛物线于另一交点B，则AB的长为（　　）A． B． C．2 D．3解：∵x1＝﹣1，x2＝3，∴x1+x2＝﹣b＝2，x1x2＝﹣c＝﹣3，∴y＝x2+2x﹣3，当x＝0时，y＝﹣3，∴A（0，﹣3），∵AB⊥y轴，∴B点的纵坐标为﹣3，将y＝﹣3代入y＝x2+2x﹣3得：﹣3＝x2+2x﹣3，解得：x1＝0，x2＝﹣2，∴B（﹣2，﹣3），∴AB＝2．故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•建邺区二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常数）的图象如图所示，则不等式ax2+（b﹣2）x+c＞0的解集是 　x＜1或x＞3　．​解：ax2+（b﹣2）x+c＞0，ax2+bx+c﹣2x＞0，∴ax2+bx+c＞2x，即二次函数大于一次函数时x的取值范围，如图，由图象可知，x＜1或x＞3，故答案为：x＜1或x＞3．12．（2分）（2022秋•江都区期末）2022年9月29日，C919大型客机取得中国民用航空局型号合格证，这标志着我国具备按照国际通行适航标准研制大型客机的能力，是我国大飞机事业征程上的重要里程碑．如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为 　18　秒．解：，∵，∴抛物线开口向下，∴当t＝18时，s有最大值，∵飞机滑行到最大距离停下来，此时滑行的时间最长，∴该飞机着陆后滑行最长时间为18秒．故答案为：18．13．（2分）（2023•宿迁模拟）小淇利用绘图软件画出函数y＝﹣x（x﹣1）（x+1）（﹣2≤x≤2）的图象，下列关于该函数性质的四种说法：①图象与x轴有两个交点；②图象关于原点中心对称；③最大值是3，最小值是﹣3；④当x＞1时，y随x的增大而减小．其中，所有正确说法的序号是 　②③④　．解：①图象与x轴有三个交点，故①错误；②图象关于原点中心对称，故②正确；③当x＝﹣2时，y＝3，当x＝2时，y＝﹣3，∴函数的最大值是3，最小值是﹣3，故③正确；④当x＞1时，y随x的增大而减小，故④正确．故答案为：②③④．14．（2分）（2023•南通二模）若抛物线y＝﹣x2+4x﹣n的顶点在x轴的下方，则实数n的取值范围是 　n＞4　．解：∵抛物线y＝﹣x2+4x﹣n的开口向下，顶点在x轴的下方，而与x轴没有交点，方程﹣x2+4x﹣n＝0无实数根，即b2﹣4ac＝16﹣4n＜0，∴n＞4．故答案为：n＞4．15．（2分）（2023•鼓楼区校级二模）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＜0；④3a+b＞0．其中正确结论的序号有 　①④　．解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，①正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，与y轴交于负半轴，∴a＞0，﹣＝1，c＜0，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，②错误；∵方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，∴m＜﹣3，③错误；∵a＞0，b＝﹣2a，∴3a+b＝a＞0，④正确．故答案为：①④．16．（2分）（2023•秦淮区二模）如图，已知二次函数y＝﹣3（x+m）2+k（m，k为常数，且k＞0）的图象与x轴交于A，B两点，若线段AB的长为4，则k的值是 　12　．解：设抛物线顶点C，将抛物线向左平移，令顶点C落在y轴点C′处，点A、B对应点A′、B′，设平移后的二次函数关系式：y＝﹣3x2+k，∵AB＝4，∴A′B′＝4，∴OB′＝2，即点B′坐标（2，0），把x＝2代入关系式得，0＝﹣3×22+k，∴k＝12，故答案为：12．17．（2分）（2023•启东市二模）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数的图象上有且只有一个完美点（2，2），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+5x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣，最大值为1，则m的取值范围是 　≤m≤5　．解：ax2+5x+c＝x，即ax2+4x+c＝0，由题意可得，图象上有且只有一个完美点，∴Δ＝16﹣4ac＝0，则4ac＝16，∴方程根为x＝﹣＝﹣＝﹣＝2，∴a＝﹣1，c＝﹣4．∴函数y＝ax2+5x+c﹣＝﹣x2+5x﹣，该二次函数顶点坐标为（，1），与y轴交点为（0，﹣），根据对称规律，点（5，﹣）也是该二次函数图象上的点．在x＝左侧，y随x的增大而增大；在x＝右侧，y随x的增大而减小；且当0≤x≤m 时，函数y＝﹣x2+5x﹣的最小值为﹣，最大值为1，则≤m≤5．故答案为：≤m≤5．18．（2分）（2022秋•海安市期末）已知y1＝﹣x2﹣3x+4，y2＝x+4，当y1＜y2时，函数y＝y2；当y1≥y2时，函数y＝y1．点（m，n）在函数y的图象上，当n取一实数时，存在三个不同的实数m，则n的取值范围是 　4＜n＜6.25　．解：函数的图象如下：由图象得：当y位于y4和y＝6.25之间时，n取一实数时，存在三个不同的实数m，∴4＜n＜6.25．19．（2分）（2023•邗江区二模）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过AB，M是抛物线第一象限内一点，过点M作MN∥x轴交直线l于点N，则MN的最大值为 　4　．解：当y＝0时，x＝4或﹣1，∴点B的坐标为（4，0），点A的坐标为（0，4），∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4，设点M的坐标为（a，﹣a2+3a+4），∵MN∥x轴，∴点N的坐标为（a2﹣3a，﹣a2+3a+4），∵点M在第一象限，∴线段MN＝a﹣（a2﹣3a）＝﹣a2+4a，当a＝时，MN有最大值为4．故答案为：4．20．（2分）（2023•鼓楼区校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线y＝x+m有三个不同公共点时m的值是　1或　．解：∵函数y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，∴△＝[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2k﹣3）＞0，解得k＞﹣1，当k取最小整数时，k＝0，∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3，将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，所以新图象的解析式为y1＝（x﹣1）2﹣4（x≤﹣1或x≥3）y1＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）．①因为y2＝x+m的k＞0，所以它的图象从左到右是上升的，当它与新图象有3个交点时它一定过（﹣1，0）把（﹣1，0）代入y2＝x+m得﹣1+m＝0 所以m＝1，②y1＝﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）与y＝x+m相切时，图象有三个交点，﹣（x﹣1）2+4＝x+m，△＝1﹣4（m﹣3）＝0，解得m＝．故答案为：1或．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•梁溪区模拟）为加强劳动教育，各校纷纷落实劳动实践基地．某校学生在种植某种高产番茄时，经过试验发现：①当每平方米种植2株番茄时，平均单株产量为8.4千克；②在每平方米种植的株数不超过10的前提下，以同样的栽培条件，株数每增加1株，平均单株产量减少0.8千克．（1）求平均单株产量y（千克）与每平方米种植的株数x（x为整数，且2≤x＜10）之间的函数关系式；（2）已知学校劳动基地共有10平方米的空地用于种植这种番茄．问：当每平方米种植多少株时，该学校劳动基地能获得最大的产量？最大产量为多少千克？解：（1）∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.8千克，∴y＝8.4﹣0.8（x﹣2）＝﹣0.8x+10，∴y关于x的函数表达式为y＝﹣0.8x+10，（2≤x≤10，且x为整数）；（2）设每平方米番茄产量为W千克，根据题意得：W＝x（﹣0.8x+10）＝﹣0.8x2+10x＝﹣0.8（x﹣）2+，∵﹣0.8＜0，x为整数，∴当x＝6时，W取最大值，最大值为，∴10×＝312（千克），答：每平方米种植6株时，该学校劳动基地能获得最大的产量，最大产量为312千克．22．（6分）（2023•淮安一模）某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？解：（1）设y＝kx+b，将（40，300）、（55，150）代入，得：，解得：，则y＝﹣10x+700；（2）设每天获取的利润为W，则W＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，又∵﹣10x+700≥240，∴x≤46，∵x＜50时，W随x的增大而增大，∴当x＝46时，W取得最大值，最大值为﹣10×16+4000＝3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．23．（8分）（2023•南通二模）某商品每件进价20元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线ABC所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于45元）．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围．解：（1）设y＝kx+b，当20≤x≤30时，把（20，200），（30，100）代入得：，解得，∴y＝﹣10x+400；当30＜x≤45时，把（30，100），（45，40）代入得：，解得，∴y＝﹣4x+220；综上所述，y＝；（2）设销售利润为w元，当20≤x≤30时，w＝（x﹣20）（﹣10x+400）＝﹣10x2+600x﹣8000＝﹣10（x﹣30）2+1000，∴当x＝30时，w最大为1000元；当30＜x≤45时，w＝（x﹣20）（﹣4x+220）＝﹣4x2+300x﹣4400＝﹣4（x﹣37.5）2+1225，∵x为整数，∴x＝37或x＝38时，w取最大值﹣4×+1225＝1224（元）；综上所述，当日销售单价为37元或38元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润是1224元；（3）由（2）知，当20≤x≤30时，该商品每天的销售利润最大为1000元；∴只有在30＜x≤45时，每天的销售利润才可能不低于1200元；∴﹣4（x﹣37.5）2+1225≥1200，解得35≤x≤40，∴销售单价x的取值范围是35≤x≤40．24．（8分）（2023•徐州二模）​如图，抛物线与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点M在第一象限内的抛物线上，连接AM，与线段BC交于点N．（1）若点A的坐标为（a，0），则a＝　﹣2　；（2）求直线BC的解析式；（3）若AN＝5MN，求点M的坐标．解：（1）令y＝0，则，化简得：x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣2，∵点A在点B的左边，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（3，0），∵点A的坐标为（a，0），∴a＝﹣2，故答案为：﹣2；（2）令x＝0，则y＝4，∴点C的坐标为（0，4），由（1）知点B的坐标为（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BC的解析式为；（3）过点N作ND⊥AB于点D，过点M作ME⊥AB于点E，设直线AN的解析式为y＝mx+n，∵直线AN过点A（﹣2，0），∴﹣2m+n＝0，∴n＝2m，∴直线AN的解析式为y＝mx+2m，由题意得：，解得：，∴点N的坐标是，即，由题意得：，解得：，，∴点M的坐标是，∴，∵ND⊥AB，ME⊥AB，∴ND∥ME，∴△AND∽△AME，∴，∵AN＝5MN，∴，∴，解得：或，当时，，，故点M的坐标为，当时，，，故点M的坐标为（1，4），综上，点M的坐标为或（1，4）．25．（8分）（2023•兴化市一模）已知抛物线y＝ax2（a＞0）经过第二象限的点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，第一象限的点C为直线AB上方抛物线上的一个动点．过点C作CE⊥AB于E，连接AC、BC．（1）如图1，若点A（﹣1，1），CE＝1．①求a的值；②求证：△ACE∽△CBE．（2）如图2，点D在线段AB下方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点D作AB的垂线，分别交AB、AC于点F、G，连接AD、BD．若∠ADB＝90°，求DF的值（用含有a的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，连接BG、DE，试判断的值是否随点D的变化而变化？如果不变，求出的值，如果变化，请说明理由．（1）①∵A（﹣1，1）在抛物线上，∴a（﹣1）2＝1，解得：a＝1．②∵B在抛物线上，且AB∥x轴，∴B与A关于y＝x2的对称轴y轴对称．∴B（1，1）．∵CE＝1，∴C的纵坐标2．令y＝2，即：x2＝2，解得：（舍），．∴C（，2），又∵CE⊥AB，∴E（，1），∴AE＝，BE＝，∴，又∵∠AEC＝∠CEB＝90°，∴△ACE∽△CBE．（2）设：A（﹣n，an2），B（n，an2），D（m，am2），则DF＝an2﹣am2．若∠ADB＝90°，则△ABD为Rt△，根据勾股定理可得：AD2+DB2＝AB2．即：（m+n）2+（an2﹣am2）2+（an2﹣am2）2+（n﹣m）2＝（2n）2．整理得：，即：DF＝．（3）依题意设：A（﹣n，an2），B（n，an2），C（p，ap2），D（m，am2），E（p，an2）．∵DG⊥AB，CE⊥AB，∴FG∥EC，∴△AFG∽△AEC，∴，∴．∴．．∴． 即：的值不随D的变化而变化，其值为1．26．（8分）（2023•宿迁）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．（1）求A、B两种商品的销售单价；（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？解：（1）设A种商品的销售单价为a元，B种商品的销售单价为b元，由题意可得：，解得，答：（2）设利润为w元，由题意可得：w＝（30﹣m﹣20）（40+10m）+（24﹣20）（40+10m）＝﹣10（m﹣5）2+810，∵A种商品售价不低于B种商品售价，∴30﹣m≥24，解得m≤6，∴当m＝5时，w取得最大值，此时w＝810，答：m取5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．27．（8分）（2023•新吴区二模）网络直销相对于传统直销而言，没有地域限制且市场可期待值高，因而一些传统商家开始向线上转型．某商家通过“直播带货”，一季度实物商品网上零售额因此得以逆势增长．若该商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）（x≥10）满足如图所示的函数关系，设销售这种商品每天的利润为w（元）．（1）当销售单价为32元时，此时商品每天的销售量为 　80　；（2）求w与x之间的函数关系式；（3）若每天至少销售120件，且销售单价不低于18元时，求每天所获利润w的取值范围．解：（1）当x≥20时，设函数关系式为y＝kx+b，把x＝20，y＝200；x＝30，y＝100代入y＝kx+b，得，解得，函数关系式为y＝﹣10x+400（x≥20），当x＝32时，y＝80，故答案为：80；（2）由图象得当10≤x≤20时，设函数关系式为y＝200，根据题意得w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）×200＝200x﹣2000；由（1）得当x≥20时，设函数关系式为y＝﹣10x+400，根据题意得w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣10x+400）＝﹣10x2+500x﹣4000；∴；（3）由题意得，解得18≤x≤28，当18≤x≤20时，则1600≤200x﹣2000≤2000，即1600≤w≤2000；当20≤x≤28时，则2000≤﹣10x2+500x﹣4000≤2160，2000≤w≤2160，所以w的取值范围为1600≤w≤2160．28．（8分）（2023•新吴区二模）定义：经过函数图象上的一点作x轴的平行线，将平行线上方的图象沿平行线向下翻折形成新的函数图象，我们把满足这种情况的函数图象称为经过这一点的“折叠函数”．【基本应用】（1）如图，点A（3，0）、B（0，3）、C（m，2）均在直线l上．①请使用无刻度的直尺和圆规作出经过点C的“折叠函数”与x轴的交点D（异于点A）；②求出经过点A、C、D的二次函数表达式；（2）在（1）的条件下，点P（a，b）为二次函数图象上一动点，若经过点P的“折叠函数”与x轴至少有3个交点，求a的取值范围．【创新应用】（3）如果反比例函数的图象上有一点M（1，3），则经过点M的“折叠函数”与x轴的交点坐标为 　（，0）　．解：（1）①以点C为圆心，以CB为半径作弧，交y轴于点H，连接CH并延长交x轴于点D，则点D为所求点；②由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+3，当y＝2时，即y＝﹣x+3＝2，则x＝1，即点C（1，2），由点的对称性知，点C在BH的中垂线上，由中点坐标公式得，点H的坐标为：（0，1），由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为：y＝x+1，令y＝x+1＝0，则x＝﹣1，即点D（﹣1，0），由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），将点C的坐标代入上式得：2＝a（1﹣2﹣3），则a＝﹣，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+；（2）由题意得，0＜b＜yC时，点P的“折叠函数”与x轴至少有3个交点，即0＜﹣a2+a+＜1，解得：1+＜a＜3或﹣1＜a＜1﹣；（3）当反比例函数过点M时，则k＝3，即反比例函数的表达式为：y＝，当y＝6时，即y＝＝6，则x＝，当“折叠函数”与x轴的恰好有交点时，则（，6）这个点关于y＝3对称，即经过点M的“折叠函数”与x轴的交点坐标为：（，0），故答案为：（，0）函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)()的图象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解x…1.21.31.41.51.6…y…﹣1.16﹣0.71﹣0.240.250.76…