新高考数学一轮复习考点精讲精练 第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算（2份，原卷版+解析版）

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1．导数的概念
(1)如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极根，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，
并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或，
即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数
(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，
相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
4．导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
导数的运算
命题点1 导数的运算法则
例1．（1）下列求导运算中正确的个数是（ ）
①；
②
③；
④.
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据初等函数的导数公式表和导数的运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】根据导数的运算法则，可得，所以①不正确.；
由，所以②正确；
由是常数，所以，所以③不正确.
由，所以④不正确.
答案：B
（2）已知函数，则（ ）
A．－1B．0C．－8D．1
【答案】C
【分析】求导，解得，得到求解.
【详解】解：因为函数，
所以，
则，
解得，
则，
所以，
故选：C
（3）若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数加减法求导法则运算即可.
【详解】因为，所以.
故选：C.
（4）已知函数，则_____________．
【答案】
【分析】根据求导公式和运算法则对函数进行求导即可求解.
【详解】由题意知，
.
故答案为：.
【复习指导】：(1)求导之前，应利用代数运算、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，尽量避免不必要的商的求导，这样可以减少运算量，提高运算速度减少差错．
(2)①若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．
②复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元．
命题点2 简单复合函数的导数
例2．求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）根据复合函数的求导法则和基本函数的求导公式逐个求解即可.
【详解】（1）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（2）函数可以看作函数和的复合函数，
∴ .
（3）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（4）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
（5）函数可以看作函数和的复合函数，
∴ ．
（6）函数可以看作函数和的复合函数，
∴．
(7)；
(8)；
(9)．
【答案】(7)；(8)；(9)
【分析】由基本初等函数的导数，导数的四则运算以及简单复合函数的导数的相关公式和运算法则，即可较易求导，需要特别注意的是，对某些较复杂函数表达式先化解再进行求导，求导过程会比较容易.
【详解】（7）
．
（8）令，，则．
（9）因为，
所以．
(10)；
(11)；
(12)；
(13)．
【答案】(10)；(11)；(12)；(13)
【分析】（10）结合幂函数的求导公式、复合函数求导法则即可求解；
（11）结合对数函数的求导公式、复合函数求导法则即可求解；
（12）结合指数函数的求导公式、求导运算法则、复合函数求导法则即可求解；
（13）结合三角函数的求导公式、求导运算法则、复合函数求导法则即可求解.
【详解】（10）
（11）
（12）
（13）
【复习指导】：(1)求复合函数的导数的步骤
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．
命题点3 求某点处的导数值
例3．（1）已知函数​，则​（ ）
A．​B．1C．​D．5
【答案】B
【分析】利用导数运算求得.
【详解】，
令得.
故选：B
（2）若函数，则的值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【解析】先对函数求导，采用赋值的方式计算出的结果，由此计算出的值.
【详解】因为，所以令，则，
所以，则，
故选：B.
【点睛】本题考查导数中的计算，采用赋值法求解出函数解析中的未知量是解答的关键，难度一般.
（3）若函数，满足，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】令中，求出，再对两边求导，将代入即可得出答案.
【详解】令，所以，因为，所以，
因为，
所以，
所以.
故选：B.
（4）已知函数，则__________.
【答案】-2
【分析】利用复合函数求导法则求导，求出函数，再求函数值作答.
【详解】由函数求导得：，当时，，解得，
因此，，所以.
故答案为：-2
（5）若函数满足，则_____________
【答案】1
【分析】对求导，求出，即可求出，再将代入即可得出答案.
【详解】因为，
所以，则，解得：，
则，则.
故答案为：1.
二．导数的几何意义
命题点1 导数与函数图象
例4．（1）已知函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据导函数不同区间上函数值的符号，判断的区间单调性，即可确定答案.
【详解】由图可知，当x＜0时，即在(－∞,0)上单调递增；
当0＜x＜2时，即在(0,2)上单调递减；
当x＞2时，即在(2,＋∞)上单调递增.
结合各选项，只有D符合要求.
故选：D
（2）已知函数 f(x) 的图象如图所示，则导函数 f (x)的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据导函数正负与原函数单调性关系可作答
【详解】原函数在上先减后增，再减再增，对应到导函数先负再正，再负再正，且原函数在处与轴相切，故
可知，导函数图象为D
故选：D
（3）函数 的导函数的图象如图所示，给出下列命题：
①是函数的极值点；
②是函数的最小值点；
③在区间上单调递增；
④在处切线的斜率小于零．
以上正确命题的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
【答案】C
【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．
【详解】根据导函数图象可知：当时，，在时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，故③正确；
则是函数的极小值点，故①正确；
在上单调递增，
不是函数的最小值点，故②不正确；
函数在处的导数大于，
切线的斜率大于零，故④不正确．
故选：C．
（4）函数f（x）的图象如图所示，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数图象，确定导函数的正负，进而求出的解集.
【详解】由函数图象与导函数大小的关系可知：当时，，
当时，，
故当时，；
当时，；
当时，，
故的解集为.
故选：A
（5）已知函数（是函数的导函数）的图象如图所示，则的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设函数的图象在轴上最左边的一个零点为，根据函数的图象得到的正负，即得解.
【详解】解：设函数的图象在轴上最左边的一个零点为，且.
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减.
故选：C
（6）已知上可导函数的图像如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据原函数单调性与导函数符号之间的关系，分类讨论，结合一元二次不等式的解法运算求解.
【详解】由的图像可得：
对于可得：
当时，则，
∴，解得；
当时，则，故，不合题意，舍去；
当时，则，
∴，解得；
当时，则，故，不合题意，舍去；
当时，则，
∴，解得；
综上所述：不等式的解集为.
故选：D.
（7）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由图象的变化趋势，结合导函数的定义有，即可得答案.
【详解】由图知：，即.
故选：A
【复习指导】：导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．
(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)