新高考数学一轮复习考点精讲精练 第03讲 函数的奇偶性、对称性与周期性（2份，原卷版+解析版）

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1．函数的奇偶性
2．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有
f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
(3)函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③若f(x＋a)＝－eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a>0，c为常数)．
3．对称性
(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，0))对称．
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))对称．
一．函数的奇偶性
命题点1 判断函数的奇偶性
例1．判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
（5）．
（6）．
（7）．
（8）
（9）
（10）
【复习指导】：判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
①定义域关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系．
(2)图象法．
命题点2 函数奇偶性的应用
例2．（1）设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x0，给出下列命题：
① f(3)＝0；
② 直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；
③ 函数y＝f(x)在[－9，－6]上为单调递减函数；
④ 函数y＝f(x)在[－9，9]上有4个零点．
其中正确的命题是____________．(填序号)
45．已知是定义域为的奇函数，满足.若，则_______
46．若函数则_____．
47．判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
48．判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
49．设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有.当时，.
(1)当时，求的解析式；
(2)计算.
50．设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，，
当时，求的解析式．
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称