新高考数学一轮复习考点精讲精练 第06讲 对数与对数函数（2份，原卷版+解析版）

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1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N. (e＝2.718 28…)
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①1的对数为零：lga1＝0.
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②底的对数为1：lgaa＝1.
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③零和负数没有对数．
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，b>0，M>0，N>0，那么：
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③＝eq \f(m,n)lgab．
(3)换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
重要推论： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①lgaN＝eq \f(1,lgNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②lgab·lgbc·lgcd＝lgad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
3．对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
一．对数式的运算
例1．（1）已知2a=5b=m,且=1,则m=____.
【答案】10
【详解】因为2a=5b=m,所以a=lg2m,b=lg5m,
由换底公式可得=lgm2+lgm5=lgm10=1,则m=10.
点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．
(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．
（2）求值：_________________．
【答案】
【分析】先利用对数的运算法则进行计算，第一个式子的值直接利用幂的运算将真数化成的形式后进行计算，将中间两个对数式的和化成一个以为底的对数的形式即可求得其值为，再结合对数恒等式：进行计算最后一个式子的值．从而问题解决．
【详解】解：
．
故答案为．
【点睛】本小题主要考查对数的运算性质、对数的运算性质的应用、指数的运算性质等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．对数的运算性质：；；等．
（3）计算：＝________．
【答案】1
【解析】根据对数的运算法则求解即可.
【详解】原式＝
＝
＝＝＝＝1．
故答案为：1.
【点睛】该题考查的是有关对数的运算，涉及到的知识点有对数的运算法则，属于简单题目.
（4）已知，，用a、b表示__________．．
【答案】
【分析】先把指数式变为对数式，然后利用换底公式进行求解，而通过来表达是本题的关键；
【详解】因为，所以，
所以有换底公式得：
因为，而，所以，
∴
故答案为：
（5）若lg34•lg48•lg8m＝lg416，则m＝___．
【答案】9．
【分析】把给出的等式左边利用换底公式化简后整理即可得到m的值．
【详解】解：由lg34•lg48•lg8m＝lg416，得，
即，所以m＝9．
故答案为：9．
（6）若是方程的两个实根，则 的值为______．
【答案】12
【分析】原方程可化为，设，则原方程可化为，利用换元法令，，再根据对数的运算法则，即可得答案；
【详解】原方程可化为，设，则原方程可化为．
设方程的两根为，，则，．
由已知a，b是原方程的两个根．
可令，，则，，


．
故答案为：.
【点睛】本题考查对数方程的求解及对数运算法则求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
【复习指导】：解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.
二．对数函数的图像及应用
例2．（1）函数，，，的图象如图所示，则的大小顺序是（ ）
A．c＜d＜1＜a＜bB．1＜d＜c＜a＜b
C．c＜d＜1＜b＜aD．d＜c＜1＜a＜b
【答案】A
【分析】令4个函数取同样的函数值1，得到的自变量的值恰好是，通过函数的图象从左到右依次与交于，从而得出.
【详解】令4个函数取同样的函数值1，即，
解得，
作出的图象从左到右依次与交于
，
，故选A.
【点睛】本题主要考查对数函数的图象与性质，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.
（2）已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】本小题主要考查正确利用对数函数的图象来比较大小．
由图易得，；取特殊点，
，．选A．
（3）函数，且与函数在同一坐标系内的图象不可能的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用对数函数及二次函数的性质逐项分析即得.
【详解】对于A，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为1
00；
当0