沪教版数学九年级上册考点讲练第25章 锐角的三角比（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2022·上海市青浦区教育局二模）在中，，的余弦是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·上海·九年级期末）在Rt△ABC中，∠C=90º，那么等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·上海金山·九年级期末）在中，，那么锐角的正弦等于（ ）
A．B．C．D．．
4．（2021··九年级专题练习）已知中，，CD是AB上的高，则 =（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，已知Rt是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·上海市文来中学九年级期中）在中，，，，那么边的长为（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·上海嘉定·九年级期末）在中，，，那么的长是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·上海杨浦·一模）在中，如果，，那么这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形
9．（2019·上海·九年级期中）在中，，下列等式中正确的是( )
A．B．C．D．
10．（2019·上海浦东新·九年级期中）已知：Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA等于( )
A．B．C．D．
11．（2022·上海虹口·九年级期末）在Rt中，，，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
12．（2022·上海·华东师范大学第四附属中学九年级期中）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，那么ctB的值为___________
13．（2022·上海青浦·九年级期末）在△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=2，AC=3，那么BC=______．
14．（2022·上海市徐汇中学九年级期中）的________值等于．
15．（2021··九年级专题练习）△ABC中，，，则△ABC的形状是___________．
三、解答题
16．（2022·上海·模拟预测）计算：
（1）sin260°-tan30°•cs30°+tan45°； （2）．
17．（2022·上海虹口·九年级期末）图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当，时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据：，，，，）
18．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在中，，点D是BC边上的一点，，，．
（1）求AC和AB的长；
（2）求的值．
【常考】
一．选择题（共4小题）
1．（2021•上海模拟）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于 （ ）
A．B．C．D．
2．（2021秋•徐汇区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则csA的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2020秋•浦东新区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝2，那么AB的长等于（ ）
A．B．2sinαC．D．2csα
4．（2020秋•徐汇区期末）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（ ）
A．10海里B．5海里C．5海里D．海里
二．填空题（共9小题）
5．（2022春•嘉定区校级期中）为了测量楼房BC的高度，在距离楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，那么楼房BC的高为 ．
6．（2020秋•松江区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，csA＝，那么AB的长为 ．
7．（2020秋•宝山区期末）如图，某堤坝的坝高为12米，如果迎水坡的坡度为1：0.75，那么该大坝迎水坡AB的长度为 米．
8．（2022春•青浦区校级期中）如图，当小明沿坡度i＝1：3的坡面由A到B行走了100米，那么小明行走的水平距离AC＝ 米．（结果可以用根号表示）．
9．（2020秋•黄浦区期末）已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是3，则这个锐角的正切值为 ．
10．（2020秋•浦东新区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥AB，交AC于E，若＝，则tan∠A＝ ．
11．（2020秋•虹口区校级期末）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB的长）为 km．
12．（2022春•杨浦区校级月考）如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从P处出发，走了13米到达M处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是i＝1： ．
13．（2020秋•杨浦区期末）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形ABCD中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tanB＝，那么边AD的长为 ．
三．解答题（共6小题）
14．（2022•杨浦区三模）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC的延长线于点D．
（1）求∠D的正弦值；
（2）求点C到直线DE的距离．
15．（2022春•金山区月考）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD顶部D的仰角为60°，求树高CD．（结果保留根号）
16．（2021秋•长宁区校级期中）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′中点．当∠BAC＝140°时，伞完全张开．
（1）求AB的长．
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．
（参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
17．（2020秋•松江区期末）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上）．某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4．
（1）求斜坡DE的高EH的长；
（2）求信号塔AB的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
18．（2022•徐汇区校级模拟）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由原来的40°减至35°．已知原楼梯AB长为5m，调整后的楼梯所占地面CD有多长？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70）
19．（2022•松江区校级模拟）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．
（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）
（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.33，ct53°≈0.75）．
【易错】
一．选择题（共2小题）
1．（2021秋•闵行区校级期中）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则下列关系式错误的是（ ）
A．a＝btanAB．b＝ccsAC．a＝csinAD．c＝
2．（2020•南岗区校级开学）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（ ）
A．5csαB．C．5sinαD．
二．解答题（共1小题）
3．（2022春•普陀区校级期中）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、CE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC＝5.4米，引桥水平跨度AB＝9米．
（1）求水平平台DE的长度；
（2）若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．（参考数据：取sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【压轴】
一、填空题
1．（2022·上海普陀·九年级阶段练习）如图， 已知在 Rt 中， ， 将 绕点 逆时针旋转 后得 ， 点 落在点 处， 点 落在点 处， 联结 ， 作 的平分线 ， 交线段 于点 ， 交线 段 于点 ， 那么 的值为____________．
2．（2022·上海崇明·九年级期末）定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做“对等四边形”，如图，在中，，点A在边BP上，点D在边CP上，如果，，，四边形ABCD为“对等四边形”，那么CD的长为_____________．
3．（2022·上海·二模）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AC边的中点，联结BD．将△ABC绕着点A逆时针旋转，点B恰好落在射线BD上的点E处，点C落在点F处，联结FD、FC．如果AB＝1，BC＝2时，那么∠CFD的正切值是____．
4．（2022·上海市复旦初级中学九年级期中）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为______．
二、解答题
5．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在中，，，点为边上的一个动点（点不与点、点重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点．
（1）求证：；
（2）当平分时，求的长；
（3）当是等腰三角形时，求的长．
6．（2022·上海市复旦初级中学九年级期中）如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，点D是AC边上一点（不与端点A、C重合），过点C作CE垂直于射线BD，垂足为E，点F在射线BD上，且EF＝2EC，连接AF、CF、AE．
(1)求证：△ACF∽△BCE；
(2)如图2，连接AE，点G、H、P分别为线段AB、AE、EF的中点，连接GH、HP、GP．求tan（∠HGP+∠HPG）及的值；
(3)在（2）的条件下，若BC＝1，BE＝x，S△PGH＝y，请写出y关于x的函数关系式．
7．（2022·上海·测试·编辑教研五九年级阶段练习）如图，已知AB＝5，AD＝4，AD∥BM，，点C、E分别为射线BM上的动点（点C、E都不与点B重合），联结AC、AE使得∠DAE＝∠BAC，射线EA交射线CD于点F．设
(1)如图1，当x＝4时，求AF的长；
(2)当点E在点C的右侧时，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
(3)若AC⊥AE，求AF的长．
8．（2022·上海虹口·九年级期末）已知：如图，在中，，，，点D是边BC延长线上的一点，在射线AB上取一点E，使得，过点A作于点F．
(1)当点E在线段AB上时，求证：；
(2)在（1）题的条件下，设，，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)记DE交射线AC于点G，当时，求CD的长．
9．（2022·上海宝山·九年级期末）如图，已知正方形ABCD，将AD绕点A逆时针方向旋转到AP的位置，分别过点作，垂足分别为点、．
(1)求证：；
(2)联结，如果，求的正切值；
(3)联结，如果，求的值．
10．（2022·上海青浦·九年级期末）在四边形ABCD中，ADBC，AB=，AD=2，DC=，tan∠ABC=2（如图）．点E是射线AD上一点，点F是边BC上一点，联结BE、EF，且∠BEF=∠DCB．
(1)求线段BC的长；
(2)当FB=FE时，求线段BF的长；
(3)当点E在线段AD的延长线上时，设DE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．