苏科版数学八年级上册单元测试第3章 勾股定理（A卷）（2份，原卷版+解析版）

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班级 姓名 学号 分数 第3章 勾股定理（A卷·知识通关练）核心知识1．勾股定理的简单计算1．把一个直角三角形的两条直角边都扩大到原来的2倍，那么斜边将（　　）A．扩大到原来的2倍 B．扩大到原来的4倍 C．扩大到原来的3倍 D．不能确定【答案】A【解析】解：设直角三角形的直角边为a、b，斜边为c，直角边扩大2倍后为2a，2b，那么据勾股定理得：原来的斜边长的平方为：a2+b2，现在的斜边长为：（2a）2+（2b）2＝2（a2+b2），即斜边扩大到原来的2倍．故本题选：A．2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（　　）A．24 B．18 C．12 D．9【答案】B【解析】解：在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2＝32＝9，∴AB2+AC2+BC2＝32+9＝18．故本题选：B．3．已知Rt△ABC的直角边分别为3和4，则斜边上的高为（　　）A．5 B．6 C． D．【答案】C【解析】解：如图，作CD⊥AB于D，∵AC＝3，BC＝4，∴由勾股定理得：AB＝5，∵S△ABC＝AC•BC＝CD•AB，∴×3×4＝×5•CD，∴CD＝．故本题选：C．核心知识2．勾股定理的证明及有关计算4．数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，则小正方形的边长为　　．【答案】2【解析】解：如图，∵若直角三角形较短直角边长为6，大正方形的边长为10，∴AB＝10，BC＝AD＝6，在Rt△ABC中，AC＝8，∴CD＝AC﹣AD＝8﹣6＝2．故本题答案为：2．5．勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法，如所示四幅几何图形中，不能用于证明勾股定理的是（　　）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：A．根据图形可知：S大正方形＝4×ab+（b﹣a）2＝2ab+b2﹣2ab+a2＝a2+b2，S大正方形＝c2，∴a2+b2＝c2；故A选项不合题意；B．不能用于证明勾股定理，故B选项符合题意；C．根据图形可知：S大正方形＝4××ab+c2＝2ab+c2，S大正方形＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴2ab+c2＝a2+2ab+b2，∴a2+b2＝c2，故C选项不合题意；D．根据图形可知：S大正方形＝c2，S大正方形＝（b+b+a）×b+（a+b+a）×a﹣2×ab＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故D选项不合题意．故本题选：B．核心知识3．直角三角形有关的分类讨论问题6．在Rt△ABC中，AB2＝10，AC2＝6．则BC2＝（　　）A．8 B．16或64 C．4 D．4或16【答案】D【解析】解：当∠C＝90°时，BC2＝AB2﹣AC2＝10﹣6＝4，当∠A＝90°时，BC2＝AB2+AC2＝10+6＝16．故本题答案为：D．7．△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上的高AD＝12，则BC的长为　　．【答案】7或25【解析】解：如图（1），△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝81，即BD＝9，在Rt△ADC中AC＝20，AD＝12，由勾股定理得，DC2＝AC2﹣AD2＝256，即DC＝16，∴BC的长为：BD+DC＝9+16＝25；如图（2），同（1）的作法相同，∴BC的长为：DC﹣BD＝16﹣9＝7；综上，BC的长为：7或25．故本题答案为：7或25．8．直角三角形的两条边长分别为3和4，则这个直角三角形斜边上的高的平方为（　　）【提示：的平方是7】A．5 B． C． D．或【答案】D【解析】解：设直角三角形斜边上的高为h，①当长为4的边是直角边时，斜边长＝5，则×3×4＝×5×h，解得：h＝；②当长为4的边是斜边时，另一条直角边长的平方＝42﹣32＝7，即另一条直角边长＝，×3×＝×4×h，解得：h＝；综上，直角三角形斜边上的高为：或．故本题选：D．核心知识4．勾股定理的逆定理 9．下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（　　）A．4，5，6 B．2，3，4 C．5，11，12 D．8，15，17【答案】D【解析】解：A．∵42+52＝16+25＝41，62＝36，∴42+52≠62，∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不合题意；B．∵22+32＝4+9＝13，42＝16，∴22+32≠42，∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不合题意；C．∵52+112＝25+121＝146，122＝144，∴52+112≠122，∴以5，11，12为边不能组成直角三角形，故本选项不合题意；D．∵82+152＝64+225＝289，172＝289，∴82+152＝172，∴以8，15，17为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；故本题选：D．10．已知a，b，c是某三角形的三边，满足|12﹣a|+|b﹣5|+|c﹣13|＝0，则此三角形的面积为（　　）A．30 B．60 C．78 D．32.5【答案】A【解析】解：∵|12﹣a|+|b﹣5|+|c﹣13|＝0，∴12﹣a＝0，b﹣5＝0，c﹣13＝0，解得：a＝12，b＝5，c＝13，∴a2+b2＝122+52＝132＝c2，∴该三角形是直角三角形，∴此三角形的面积为：＝30，故本题选：A．11．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③AB：BC：AC＝3：4：5；④∠A＝∠B＝∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∴∠A+∠B+∠C＝2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，∴x+2x+3x＝180，解得：x＝30°，∴∠C＝30°×3＝90°，∴△ABC是直角三角形；③∵AB：BC：AC＝3：4：5，设AB＝3k，则BC＝4k，AC＝5k，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形；④∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠A+∠B+∠C＝3∠A＝180，解得：∠A＝60°，∴∠B＝∠C＝60°，∴△ABC不是直角三角形；综上，能确定△ABC是直角三角形的条件有①②③共3个，故本题选：C．核心知识5．勾股定理的应用——面积问题 12．如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，其中两个正方形的面积为144，225，那么正方形A的面积是（　　）A．225 B．144 C．81 D．无法确定【答案】C【解析】解：由图可得：三个正方形围成的三角形是直角三角形，∵其中两个正方形的面积为144，225，∴正方形A边长的平方为：225﹣144＝81，即正方形A的面积是81，故本题选：C．13．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝10，BC＝24，分别以它的三边为直径作三个半圆，则阴影部分面积为　　．【答案】120【解析】解：∵∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝24，∴AB2＝AC2+BC2＝262，即AB＝26，∴S阴影＝π×（）2+π×（）2+×BC×AC﹣π×（）2＝π×（）2+π×（）2+×24×10﹣π（）2＝120．故本题答案为：120．14．某小区有一块四边形空地ABCD（如图所示），为了美化小区环境．现计划在空地上铺上草坪．经测量∠A＝90°，AB＝20米，BC＝24米，CD＝7米，AD＝15米，若铺一平方米草坪需要20元，铺这块空地需要投入多少钱？【答案】铺这块空地需要投入4680元钱【解析】解：如图，连接BD，在Rt△ABD中，∠ABC＝90°，AB＝20米，AD＝15米，∴BD2＝AB2+AD2＝202+152＝252（平方米），即BD＝25米，在△ADB中，CD＝7米，BC＝24米，DB＝25米，∴BC2+CD2＝242+72＝252（平方米）＝DB2，∴△BDC为直角三角形，∠DCB＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ADB+S△DBC＝×15×20+×7×24＝234（平方米），∴四边形ABCD的面积为234平方米，∵铺一平方米草坪需要20元，∴234×20＝4680（元），答：铺这块空地需要投入4680元钱．15．某中学在校园一角开辟了一块四边形的试验田，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到试验田实际操练．如图，四边形ABCD是规划好的试验田，经过测量得知：∠ADC＝90°，CD＝3m，AD＝4m，AB＝13m，BC＝12m．求试验田ABCD的面积．【答案】试验田ABCD的面积为24m2【解析】解：如图，连接AC，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，∴AC2＝AD2+CD2＝42+32＝25，即AC＝5，又∵BC＝12，AB＝13，∴AC2+BC2＝52+122＝169＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ADC＝×5×12﹣×3×4＝30﹣6＝24m2，即试验田ABCD的面积为24m2．核心知识6．勾股定理的应用——最值问题 16．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，若点D为AB边上任意一点，则线段CD的取值范围是　　．【答案】4.8≤CD≤8【解析】解：如图，过点C作CD′⊥AB于D′，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD最短，即点D在点D′的位置时，CD最短，由勾股定理得：AC2＝AB2﹣BC2＝82，即AC＝8，∵S△ABC＝AB×CD′＝BC×AC，∴CD′＝＝4.8，∴4.8≤CD≤8，故本题答案为：4.8≤CD≤8．17．如图，将一根长12cm的筷子置于底面半径为3cm，高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h的取值范围为　　．【答案】2cm≤h≤4cm【解析】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，∴h＝12﹣8＝4（cm）；当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD＝6cm，BD＝8cm，∴AB2＝AD2+BD2＝62+82＝102（cm2），即AB＝10cm，∴此时h＝12﹣10＝2（cm），∴h的取值范围是：2cm≤h≤4cm．故本题答案为：2cm≤h≤4cm．18．如图是长AB＝4cm、宽BC＝3cm、高BE＝12cm的长方体容器．（1）求底面矩形ABCD的对角线的长；（2）长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？【答案】（1）底面矩形ABCD的对角线的长为5cm；（2）长方体容器内可完全放入的棍子最长是13cm【解析】解：（1）∵AB＝4cm、BC＝3cm，∴BD2＝AB2+BC2＝32+42＝52（cm2），即BD＝5cm，答：底面矩形ABCD的对角线的长为5cm；（2）∵122+52＝132，∴长方体容器内可完全放入的棍子最长是13cm，答：长方体容器内可完全放入的棍子最长是13cm．核心知识7．勾股定理的应用——动点问题 19．如图，∠AOB＝60°，点C是BO延长线上一点，OC＝6cm，动点P从点C出发沿射线CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿射线OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝　　s时，△POQ是等腰三角形．【答案】2或6【解答】解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，设t时后△POQ是等腰三角形，有OP＝OC﹣CP＝OQ，即6﹣2t＝t,解得：t＝2；（2）当点P在CO的延长线上时，经过点O时，已用时3s,设t时后△POQ是等腰三角形，∵∠POQ＝60°，∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，即2（t﹣3）＝t,解得：t＝6，故本题答案为：2或6．20．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向左运动．设点P的运动时间为t．连结AP．（1）当t＝4.5秒时，求AP2；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【答案】（1）AP2＝34；（2）当△ABP为等腰三角形时，t＝6.5秒或12秒或秒【解答】解：（1）由题意得：BP＝2t，∴当t＝4.5秒时，BP＝2×4.5＝9，∵BC＝12，∴PC＝BC﹣BP＝12﹣9＝3，由勾股定理得：AP2＝AC2+PC2＝52+32＝34；（2）在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∴AB2＝AC2+BC2＝52+122＝132，①当BP＝AB＝13时，t＝13÷2＝6.5秒；②当AP＝AB时，BP＝2BC＝24，则t＝24÷2＝12秒；③当PA＝PB＝2t时，在Rt△APC中，AP2＝PC2+AC2，即（2t）2＝（12﹣2t）2+52解得：t＝秒；综上，当△ABP为等腰三角形时，t＝6.5秒或12秒或秒．核心知识8．勾股定理的应用——实际问题 21．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为　　m．【答案】2.2【解答】解：在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，AE＝0.7米，DE＝2.4米，∴AD2＝0.72+2.42＝6.25（米2），在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，BC＝2米，AB2+BC2＝AC2，∴AB2+22＝6.25，∴AB＝1.5米，∴BE＝AE+AB＝0.7+1.5＝2.2米，答：小巷的宽度BE为2.2米，故本题答案为：2.2．22．如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2m．设梯子顶端到水平地面的距离为p，底端到垂直墙面的距离为q，若＝a，根据经验可知：当2.7＜a＜5.6时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的底端B向墙脚内移0.8m到D点，请问这时使用是否安全．【答案】这时使用安全，理由详见解析【解答】解：使用安全，理由如下：在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OB2＝AB2﹣AO2＝2.52﹣22＝1.52（m2），∵BD＝0.8m，∴OD＝1.5﹣0.8＝0.7m，即q＝0.7m，在Rt△COD中，根据勾股定理得：OC2＝CD2﹣OD2＝2.52﹣0.72＝2.42（m2），即p＝2.4m，∴a＝＝＝，又∵2.7＜＜5.6，∴这时使用安全．答：这时使用安全．23．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米．（1）求证：CD⊥AB；（2）求原来的路线AC的长；【答案】（1）证明过程详见解析；（2）原来的路线AC的长为8.45千米【解答】解：（1）证明：∵CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米，62+2.52＝6.52，∴CD2+BD2＝CB2，∴△CDB为直角三角形，∴CD⊥AB；（2）解：设AC＝x千米，则AB＝x千米，AD＝（x﹣2.5）千米．∵CD⊥AB，∠ADC＝90°，∴CD2+AD2＝AC2，即62+（x﹣2.5）2＝x2，解得：x＝8.45．答：原来的路线AC的长为8.45千米．24．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝9尺，BC＝3尺，则AC＝　　尺．【答案】5【解答】解：设AC＝x尺，则AB＝（9﹣x）尺，根据勾股定理得：x2＝32+（9﹣x）2，解得：x＝5，∴AC＝5尺，故本题答案为：5．25．某天，暴雨突然来袭，两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A、B两地发出求救信号．于是，第一艘搜救艇以20海里/时的速度离开港口O沿北偏东40°的方向向A地出发，同时，第二艘搜救艇也从港口O出发，以15海里/时的速度向B地出发，2小时后，他们同时到达各自的目标位置．此时，他们相距50海里．（1）求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？（求∠BOD的大小）（2）由于B地需要救援的人数较多，故需要搭载人数较少的第一艘搜救艇改道去到B地支援，在从A地前往到B地的过程中，与港口O最近的距离是多少？【答案】（1）第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度；（2）与港口O最近的距离是24海里【解答】解：（1）由题得：OA＝20×2＝40（海里），OB＝15×2＝30（海里），∵OB2+OA2＝402+302＝2500（海里2），AB2＝502＝2500（海里2），∴OB2+OA2＝AB2，∴△OAB为直角三角形，∴∠AOB＝90°，∵由题知：∠AOD＝40°，∴∠BOD＝50°，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度；（2）过点O作OE⊥AB，此时OE的长度即为最近距离，由（1）知OA＝40海里，OB＝30海里，AB＝50海里，∠AOB＝90°，∴在Rt△OAB中，有S△OAB＝OA•OB＝AB•OE，∴OE＝24海里，答：与港口O最近的距离是24海里．26．新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶．（1）请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？【答案】（1）村庄能听到宣传，理由详见解析；（2）村庄总共能听到4分钟的宣传【解答】解：（1）村庄能听到宣传，理由如下：∵村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，∴村庄能听到宣传；（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶QD点结束对村庄的影响，则AP＝AQ＝1000米，AB＝800米，∴BP2＝BQ2＝AP2﹣AB2＝10002﹣8002＝6002（米2），即BP＝600米，∴PQ＝1200米，∴影响村庄的时间为：1200÷300＝4（分钟），∴村庄总共能听到4分钟的宣传．