（安徽专用）中考数学三轮冲刺专题04关于二次函数性质的综合题（3种类型）（针对第22题押题）（2份，原卷版+解析版）

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类型1：与线段有关的问题（2021年22题，2019年22题）
类型2：与面积有关问题（2016年22题）
类型3：与函数图象变换有关的问题（2020年22题）
类型1：与线段有关的问题
1．（2021•安徽）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝3（x﹣1）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．
2．（2019•安徽）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点．
（1）求k，a，c的值；
（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值．
3．（2023•合肥模拟）已知关于x的抛物线y＝x2﹣2x+m2+4，其中m为实数．
（1）求证：该抛物线与x轴没有交点；
（2）若与x轴平行的直线与这条抛物线相交于M，N两点（点M在点N的左侧），已知点M到y轴的距离为，求点N到y轴的距离；
（3）设这条抛物线的顶点的纵坐标为p，当﹣3≤m≤2时，求p的取值范围．
4．（2023•滁州二模）如图是某家具厂的抛物线型木板余料，其最大高度为9dm，最大宽度为12dm，现计划将此余料进行切割．
（1）如图1，根据已经建立的平面直角坐标系，求木板边缘所对应的抛物线的函数表达式；
（2）如图2，若切割成矩形HGNM，求此矩形的最大周长；
（3）若切割成宽为2dm的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2dm的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出切割方案，并求出拼接后的矩形的长边长．（结果保留根号）
5．（2023•安徽模拟）如图1，抛物线y＝﹣x2+kx+k+1（k≥1）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的顶点纵坐标的最小值；
（2）若k＝2，点P为抛物线上一点，且在A、B两点之间运动．
①是否存在点P使得S△PAB＝，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由；
②如图2，连接AP，BC相交于点M，当S△PMB﹣S△AMC的值最大时，求直线BP的表达式．
6．（2023•黄山一模）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线ADB和矩形OABC构成．矩形OABC的边米，OC＝9米，以OC所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点D的坐标为．
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板OM，点M正好在抛物线上，支撑MN⊥x轴，ON＝7.5米，点E是OM上方抛物线上一动点，且点E的横坐标为m，过点E作x轴的垂线，交OM于点F．
①求EF的最大值．
②某工人师傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围．
类型2：与面积有关问题
7．（2016•安徽）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．
8．（2023•瑶海区二模）已知：抛物线y＝x2﹣2ax与x轴交于点A、B（点B在x轴正半轴），顶点为C，且AB＝4．
（1）求a的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点P为抛物线上一点，PM∥y轴交直线于点M，求PM的最小值．
9．（2023•东至县一模）如图所示抛物线与x轴交于O，A两点，OA＝6，其顶点与x轴的距离是6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设顶点为M，将直线MA绕点A顺时针旋转90，得到的直线与抛物线交于点N，求点N的坐标；
（3）点P在抛物线上，过点P的直线y＝x+m与抛物线的对称轴交于点Q．当△POQ与△PAQ的面积之比为1：3时，求m的值．
10．（2023•庐阳区校级模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当a﹣2≤x≤a+1时，抛物线有最小值5，求a的值；
（3）若点P是第四象限内抛物线上一动点，连接PB、PC，求△PBC的面积S的最大值．
类型3：与函数图象变换有关的问题
11．（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
12．（2023•花山区一模）已知抛物线y＝x2+ax+b的顶点坐标为（1，2）．
（1）求a，b的值；
（2）将抛物线y＝x2+ax+b向下平移m个单位得到抛物线C1，存在点（c，1）在C1上，求m的取值范围；
（3）抛物线C2：y＝（x﹣3）2+k经过点（1，2），直线y＝n（n＞2）与抛物线y＝x2+ax+b相交于A、B（点A在点B的左侧），与C2相交于点C、D（点C在点D的左侧），求AD﹣BC的值．
13．（2021•安徽模拟）定义：如果两个函数y1，y2存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2互为“等值函数”，对应的x值为y1，y2的“等值根”．
（1）函数y1＝x+b与y2＝是否互为“等值函数”？如果是，求出当b＝1时，两函数的“等值根”；如果不是，请说明理由．
（2）如图所示的是y＝﹣|x2+2x|的图象，它是由二次函数y＝﹣x2﹣2x的图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变得到的．若y1＝x+b与y2＝﹣|x2+2x|互为“等值函数”，且有两个“等值根”，求b的取值范围．
14．（2023•安徽模拟）如图1，抛物线与x轴交于A，B．两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线y＝kx+b经过点A，C．
（1）求直线AC的解析式；
（2）点P为直线AC上方抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥AC于点D，过点P作PE∥AC交x轴于点E，求PD+AE的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）问PD+AE取得最大值的情况下，将该抛物线沿射线AC方向平移个单位后得到新抛物线，点M为新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上确定一点N，使得以点P，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．