新高考数学一轮复习题型突破精练专题1.3 集合与常用逻辑用语综合练（2份，原卷版+解析版）

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1．（2023·陕西咸阳·统考三模）设集合，则集合A的真子集个数是（ ）
A．6B．7C．8D．15
【答案】B
【分析】由题意列举出集合中的元素，再用真子集个数公式（为集合中元素个数）计算即可．
【详解】因为，
所以，
所以集合A的真子集个数是，
故选：B．
2．下列命题是全称量词命题的个数是（ ）
①任何实数都有平方根;
②所有素数都是奇数;
③有些一元二次方程无实数根;
④三角形的内角和是．
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据全称命题的定义即可判断答案.
【详解】根据全称命题的定义可得①②④中命题，指的是全体对象具有某种性质，
故①②④是全称量词命题，③中命题指的是部分对象具有某性质，不是全称命题，
故选：D．
3．（湖北省圆梦杯2023届高一下学期统一模拟（二）数学试题）已知等差数列的前项和为，命题“”，命题“”，则命题是命题的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质结合充分、必要条件分析判断.
【详解】由，不能推出，
例如，则，
所以，
故命题是命题的不充分条件；
由，不能推出，
例如，则，
所以，
故命题是命题的不必要条件；
综上所述：命题是命题的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4．（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）已知，“直线与平行”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据平行的成比例运算即可求解.
【详解】直线与平行
则，
所以，
解得，
经检验，均符合题意，
故选：C.
5．（江西省重点中学盟校2023届高三第二次联考数学（文）试题）“”的一个充分条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】结合分数不等式的解，不等式的性质，及指数函数的性质，利用充分条件逐项判断即可.
【详解】解：由，即，所以
对选项A，当，时，，但不满足，故A不正确，
选项B，由，则，
则或，故B项不正确，
选项C，，
则或，故C不正确，
选项D，由知，
所以，成立，故D正确，
故选：D.
6．（2023春·上海嘉定·高三统考阶段练习）若命题：“存在整数使不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分析可知“对任意的整数，恒成立”是真命题，对实数的取值进行分类讨论，解不等式，结合已知条件可得出关于的等式或不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】“存在整数使不等式成立”是假命题，
则“对任意的整数，恒成立”是真命题，
当时，则对任意的整数恒成立，不合乎题意；
当且时，原不等式化为.
因为，则不等式的解集为或，
所以，，即，解得且；
当时，则有对任意的整数恒成立，合乎题意；
当时，，不等式的解集为，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
7．（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题知图中阴影部分表示的集合为，，再根据集合运算求解即可.
【详解】解：由图可得，图中阴影部分表示的集合为，
因为，所以，
因为，所以或，
所以.
故选：B.
8．（2022秋·浙江温州·高三瓯海中学校考阶段练习）设，，为非零实数，则的所有值所组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分、、是大于还是小于进行讨论，去掉代数式中的绝对值，化简即得结果．
【详解】解：，，为非零实数，
当，，时，；
当，，中有一个小于时，不妨设，，，
；
当，，中有两个小于时，不妨设，，，
；
当，，时，；
的所有值组成的集合为．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．
B．“，”的否定是“，”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
【答案】ACD
【分析】根据元素和集合的关系判断A；根据全称量词命题的否定可判断B；根据充分条件以及必要条件的判断可判断C，D.
【详解】对于A，的元素是，故，正确；
对于B，“，”为全称量词命题，它的否定是“，”，B错误；
对于C，由，可得，则成立，
当时，比如取，推不出成立，
故“”是“”的充分不必要条件，C正确；
对于D，当时，若，则不成立，
当成立时，则，则，故，
故“”是“”的必要不充分条件，D正确，
故选：ACD
10．（2022秋·高三课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．a=0是a∈{-1，0，1}的充分不必要条件
B．a=0是a∈{-1，0，1}的必要不充分条件
C．a∈{x|x(x2-1)=0}是a∈{-1，0，1}的既不充分也不必要条件
D．a∈{x|x(x2-1)=0}是a∈{-1，0，1}的充要条件
【答案】AD
【分析】利用充分条件和必要条件的定义求解.
【详解】解：a=0⇒a∈{-1，0，1}，但a∈{-1，0，1}a=0，故A正确，B不正确.
因为{x|x(x2-1)=0}={-1，0，1}，
所以a∈{x|x(x2-1)=0}是a∈{-1，0，1}的充要条件，故D正确，C不正确.
故选：AD.
11．（2023秋·贵州遵义·高三统考期末）（多选题）设全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}．＝{x|ax－1＝0}，则实数a的值为（ ）
A．0B．C．D．2
【答案】ABC
【分析】首先求集合，再结合补集的定义，讨论和两种情况，求实数的取值范围.
【详解】U＝{3，5}，若a＝0，则，此时A＝U；
若a≠0，则＝.
此时＝3或＝5，
∴a＝或a＝.
综上a的值为0或或.
故选：ABC
12．（2022秋·江苏苏州·高三校联考期中）在整数集Z中，被6除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，5，则（ ）
A．
B．
C．“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“”
D．“整数a，b满足”是“”的必要不充分条件.
【答案】BC
【分析】对A，由定义得，再判断元素与几何关系即可；
对B，由定义及被6除所得余数为0至5的整数可判断；
对C，分别根据定义证明充分性及必要性即可；
对D，由定义证充分性，必要性可举反例即可判断
【详解】对A，因为，由可得，所以，A错；
对B，
，B对；
对C，充分性：若整数a，b属于同一“类”，则整数a，b被6除所得余数相同，从而被6除所得余数为0，即；
必要性：若，则被6除所得余数为0，则整数a，b被6除所得余数相同，
所以“整数a、b属于同一‘类’”的充要条件是“”，C对；
对D，若整数a，b满足，则，
所以，故；
若，则可能有，
故整数a，b满足”是“”的充分不必要条件，D错
故选：BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）已知全集，集合或与关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合为______.
【答案】
【分析】根据Venn图可知阴影部分表示集合，结合集合运算的性质进行求解即可.
【详解】根据Venn图可知阴影部分表示集合.
集合或，所以，
又因为，
所以，
故答案为：.
14．（2023·高二课时练习）方程表示圆的充要条件是______．
【答案】或
【分析】由方程表示圆得到不等式，求解即可.
【详解】由题意知：，即，解得或.
故答案为：或.
15．（2023秋·广东广州·高三广州市第五中学校考阶段练习）已知集合．若，则m的取值范围为____________．
【答案】或．
【分析】解不等式求得集合A，通过讨论B是否为空集，结合题意得到关于m的不等式，解出即可．
【详解】由，得，解得：，则
若，则，解得：，满足，
若，则或，解得：或，
综上，的取值范围为：或．
故答案为：或．
16．（2023秋·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期末）函数，若命题“”是假命题，则实数a的取值范围为___________．
【答案】
【分析】由命题“”是假命题，可得其否定为真命题，再分离参数，即可得解.
【详解】因为命题“”是假命题，
所以命题“”是真命题，
即在上恒成立，
因为当时，，
所以在上恒成立，
而，
所以，
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023秋·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末）（1），求实数a的取值范围;
（2），求实数a的取值范围.
【答案】(1) ;(2) 或.
【分析】根据二次函数和一元二次不等式的关系结合全称量词命题、特称量词命题的定义求解.
【详解】(1)因为，
所以，即，
解得.
(2)因为，
所以，即，
解得或.
18．已知集合，集合．
(1)求集合；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法分类讨论进行求解即可.
（2）先解分式不等式得到集合A，再根据必要不充分条件的性质进行求解即可.
【详解】（1）当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为，
当时，不等式的解为或，
综上所述：当时，集合或；
当时，集合，
当时，集合或.
（2）集合或，
因为是的必要不充分条件，所以集合是集合A的真子集，
当时，，所以；
当时，不合题意；
当时，，无解；
综上，实数的取值范围为．
19．设，已知集合，集合．
(1)若，求；
(2)求实数的取值范围，使_______成立．
从① ② ③中选择一个填入横线处并解答．
注：若选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先解分式不等式求出集合A，根据一元二次不等式的解法求出集合B，结合并集的概念和运算即可得出结果；
（2）①根据集合没有公共元素，列出不等式求得结果；②根据补集的概念和运算求出，利用集合间的包含关系可求出对应条件的参数；③根据补集的概念和运算求出，利用集合间的包含关系可求出对应条件的参数.
【详解】（1）因为
所以.
因为，
所以.
所以
（2）①，又，
或，
或.
②，，又
或，
或.
③，，又
或
或
20．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期中）已知集合，，且．
(1)若都有，求的取值范围；
(2)若且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可；
（2）依题意可得，由得到，则只需，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）∵都有，∴，
又由题知，所以，
解得，故的取值范围是.
（2）由于且，则，
因为，所以，所以，
当时，一定有，
要想满足，则要满足，解得，
故时，，故的取值范围是.
21．设集合，集合.
(1)若，求；
(2)若是成立的充分不必要条件，求实数的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简集合A与B，后由集合交集与并集定义可得答案；
（2）由题可得，据此可得答案.
【详解】（1）由得，所以，因为，所以，所以；
（2）因为是成立的充分不必要条件，所以.
又，故不为空集，故，得，所以实数的范围.
22．已知命题：“，使得不等式成立”是真命题，设实数取值的集合为.
(1)求集合；
(2)设不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将命题为真命题转化成一元二次不等式在区间上恒成立问题，即可求得实数取值范围得集合；（2）由题可知，是的子集，根据集合间的基本关系即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）令，
因为函数在时取最小值，
所以“，使得不等式成立”是真命题，
需满足，解得，
即；
（2）因为不等式的解集为，
且“”是“”的充分条件，则是的子集；
①当，即时，解集，
所以,解得
综合得；
②当，即时，不满足题设条件；
③当，即时，解集，
所以,解得
综合可得，
综上所述，实数的取值范围是.
题号
一
二
三
四
总分
得分
练习建议用时：120分钟 满分：150分