新高考数学一轮复习题型突破精练专题9.7 求轨迹方程（2份，原卷版+解析版）

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题型一直接法
例1．（2022秋·高三课时练习）若动点到定点和直线：的距离相等，则动点的轨迹是（ ）
A．线段B．直线C．椭圆D．抛物线
【答案】B
【分析】设动点的坐标为，由条件列方程化简可得点的轨迹方程，由方程确定轨迹.
【详解】设动点的坐标为，
则．
化简得．
故动点P的轨迹是直线．
故选：B.
例2．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，过右侧的点作，垂足为，且．

(1)求点的轨迹的方程；
【答案】(1)
【分析】（1）根据提意思，设，得到，结合，利用距离公式化简，即可求解曲线的方程；
【详解】（1）由题意，直线与轴交于点，过右侧的点作，
可得，设，则，
因为，可得，
即，整理得.
练习1．（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐标系中，点满足，则动点的运动轨迹方程为__________；的最小值为__________.
【答案】
【分析】设出，由题意列出方程组，化简即可得到点的轨迹方程；
【详解】设，由题意可得，
整理得，故动点的运动轨迹方程为，
如图所示，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，点在圆内部，
所以，
当且仅当在线段上时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：；
练习2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）点到定点的距离与到的距离之比为，则点的轨迹方程为____，与连线的斜率分别为，，则的最小值为____.
【答案】
【分析】设出点坐标，依据题意列出方程，化简即可得出答案；利用两点的斜率公式写出，再利用的轨迹方程进行化简，最后利用重要不等式求出的最小值.
【详解】设点的坐标为,由题意可知，到的距离为，
由题意得，化简得，所以的轨迹方程为.
又由题意，，则，
又因为P在曲线上，所以，化简得，
代入得，.
又因为，所以的最小值为.
故答案为：，
练习3．（2023秋·湖北·高二统考期末）已知平面内点P与两定点连线的斜率之积等于．
(1)求点P的轨迹连同点所构成的曲线C的方程；
【答案】(1)点的轨迹方程为，曲线的方程为.
【分析】（1）由求轨迹的方程的步骤结合两点间的斜率公式，即可求得
，通过基本不等式，求得的最大值.
【详解】（1）设点为轨迹上任意一点，由题意得，
则，，
，
故点的轨迹方程为，
所以点P的轨迹连同点所构成的曲线C的方程 为.
练习4．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
【答案】(1)
【分析】（1）设，根据题意列出方程，化简即可；
【详解】（1）设,则，两边同平方化简得，
故.
练习5．（2022秋·高二课时练习）在直角坐标系xOy中，已知点，直线AM，BM交于点M，且直线AM与直线BM的斜率满足：.
(1)求点M的轨迹C的方程;
【答案】(1)
【分析】（1）设出，表达出AM与BM的斜率，得到方程，求出轨迹方程；
【详解】（1）设，
又，
则，整理得，
可得点M满足方程，
则M的轨迹C的方程为.
题型二定义法
例3．（2023秋·高二课时练习）已知的三边a，b，c成等差数列，且，A、C两点的坐标分别为，则顶点B的轨迹方程为__________．
【答案】
【分析】由的三边a，b，c成等差数列，可得点B的轨迹满足椭圆的定义，可求出椭圆方程，再结合和B、A、C三点构成，可得顶点B的轨迹是此椭圆的部分，可得其轨迹方程.
【详解】因为的三边a，b，c成等差数列，A、C两点的坐标分别为，
所以，即，
所以点B的轨迹满足椭圆的定义，此椭圆是以A、C为焦点，长轴长为4的椭圆，
故椭圆方程为，
因为，所以，所以，
又因为B、A、C三点构成，所以B、A、C三点不能在一条直线上，所以，
所以顶点B的轨迹方程为.
故答案为：
例4．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）如图，在中，点.圆是的内切圆，且延长线交于点，若.
(1)求点的轨迹的方程；
【答案】(1)
【分析】（1）抓住内切圆的性质找到等量关系，再由定义法即可求结果；
【详解】（1）解：据题意，，
从而可得，
由椭圆定义知道，的轨迹为以为焦点的椭圆，
所以所求的椭圆的方程为.
练习6．（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，求圆心的轨迹方程
【答案】
【分析】
根据圆C与圆A、圆B外切，得到，再利用双曲线的定义求解.
【详解】
因为圆C与圆A、圆B外切，设C点坐标，圆C半径为，
则，，所以，
所以点的轨迹是双曲线的一支，
又，，，
所以其轨迹方程为.
练习7．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点.
(1)求动点的轨迹的方程；
【答案】(1)
【分析】（1）利用椭圆定义即可求得动点的轨迹的方程；
【详解】（1）由题意：，
动点是以为焦点，长轴长为的椭圆.
设椭圆标准方程为，
则，
动点的轨迹的方程为.
练习8．（2023·上海·华师大二附中校考模拟预测）已知平面上的点满足，则__________.
【答案】
【分析】根据双曲线和圆的定义，求出所在曲线的的方程，联立方程组，求出的横坐标，再利用向量数量积的坐标公式即可求解.
【详解】以中点为原点，为轴正方向，建立平面直角坐标系，
则，
因为，，
所以点､分别在以，为焦点的双曲线的右支和左支上，且，，
所以，，
所以双曲线方程为；
因为，所以点在以为圆心，半径为的圆上，
即点在圆上，
因为，所以点在以为圆心，半径为的圆上，
即点在圆上，
联立，因为，可求，
联立，因为，可求，
因为，，
故.
故答案为：.

练习9．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）（多选）设，圆（为圆心），为圆上任意一点，线段的中点为，过点作线段的垂线与直线相交于点．当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线，点的轨迹为曲线，则下列说法正确的有（ ）
A．曲线的方程为B．当点在圆上时，点的横坐标为
C．曲线的方程为D．与无公共点
【答案】ABC
【分析】对于A，连接OQ，则可得，从而可得曲线的方程；对于B，圆B的方程与曲线的方程联立求解即可；对于C，连接AR，则可得，从而可得点R的轨迹为双曲线；对于D，求出曲线的方程，然后判断.
【详解】如图1、图2，连接OQ．
因为点Q为线段AP的中点，O为线段AB的中点，所以，所以点Q的轨迹为以O为圆心，1为半径的圆，即曲线的方程为，故A正确；
当点Q在圆B上时，圆B的方程与曲线的方程联立，可得，故B正确；
连接AR，由于直线QR为线段AP的中垂线，所以，所以，所以点R的轨迹为以为焦点，2为实轴的双曲线，所以曲线的方程为，故C正确；
由选项C可知，所以曲线的方程为，所以与有两个公共点，故D错误．
故选：ABC．

练习10．（2023·河南驻马店·统考二模）已知直线轴，垂足为轴负半轴上的点，点关于坐标原点的对称点为，且，直线，垂足为，线段的垂直平分线与直线交于点．记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程．
【答案】(1)
【分析】（1）根据垂直平分线性质，结合抛物线定义可解；
【详解】（1）由题意可得，即点到点的距离等于点到直线的距离．
因为，所以的方程为，，
则点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
故点的轨迹的方程为．

题型三相关点法
例5．（2023春·上海徐汇·高三上海市徐汇中学校考期中）已知双曲线C的方程为．
(1)直线截双曲线C所得的弦长为，求实数m的值；
(2)过点作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段的中点M的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立直线与双曲线方程，得到韦达定理式，利用弦长公式即可求出值；
（2）设,，利用点差法结合中点公式即可得到，化简即可.
【详解】（1）联立,得，
直线被双曲线截得的弦长为,,
设直线与双曲线交于,
则,
由弦长公式得,
解得.
（2）设,，则
，
，
上式作差得，
当直线的斜率不存在时，根据双曲线对称性知，
当直线的斜率存在时，但时，此时直线为直线，根据双曲线对称性知，
当直线的斜率存在时，且时，，
，，化简得，其中，
而点，适合上述方程，
则线段的中点的轨迹方程是.

例6．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，动点P满足：过点作直线的垂线，垂足为，且，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据已知求出点的轨迹方程，根据两点间的距离公式，利用二次函数求出的最小值.
【详解】设点坐标为，则，，
又因为，所以，
由，得，
所以，是抛物线上的点，
设，则,
因为，所以当时，取最小值，此时．
故答案为：.
练习11．（2023·全国·高三专题练习）已知点为圆上一动点，轴于点，若动点满足,求动点的轨迹的方程；
【答案】
【分析】
设，则，根据，求得，代入圆的方程，即可求解.
【详解】
解：设，则，可得，
由，所以，化简得，
因为，代入可得，即，
即为的轨迹的方程为.
练习12．（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，线段，且两个端点、分别在轴和轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程；
【答案】
【分析】设，，由为线段的中点列关系式，根据两点距离公式表示，从而转化为关于的方程即可得的轨迹方程.
【详解】
设，线段的中点，
因为为线段的中点，，
，
，即，得.
所以点的轨迹方程是．
练习13．（2022秋·山东日照·高二校考阶段练习）已知圆C经过点且圆心C在直线上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用待定系数法即得；
（2）根据相关点法，设出点M的坐标，利用中点公式结合圆的方程即得.
【详解】（1）由题可设圆C的标准方程为，则
，
解之得，
所以圆C的标准方程为；
（2）设M（x，y），，由及M为线段EF的中点得，
解得,
又点E在圆C：上，
所以有，
化简得：,
故所求的轨迹方程为．
练习14．（2022秋·高二校考课时练习）设圆的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是_______.
【答案】
【分析】设，P（x0，y0），利用中点坐标公式得出，然后结合点在圆上即可求解.
【详解】圆可化为，
则，设，P（x0，y0），所以
整理得,即，
将点代入圆的方程得，
即为.
故答案为：.
练习15．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中）已知面积为16的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用相关点法即可求得动点P的轨迹方程.
【详解】设，不妨令，
正方形ABCD的面积为16，则，则，
由，可得，即，
则，整理得
故选：B
题型四交轨法
例7．（2022秋·高三课时练习）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.

【答案】
【分析】首先判断点是的重心，代入重心坐标公式，利用代入法，即可求点的轨迹方程.
【详解】设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，
令动点C(x0，y0)，则D(2x0-1，2y0)，
由重心坐标公式得，
则代入，
整理得
故所求轨迹方程为.
例8．（2023·湖南·校联考二模）已知为双曲线的左右焦点，且该双曲线离心率小于等于，点和是双曲线上关于轴对称非重合的两个动点，为双曲线左右顶点，恒成立．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)设直线和的交点为，求点的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用双曲线的定义可得，然后利用两边之和大于第三边以及可得，即可求得方程；
（2）设，则，得到直线，的方程，两条方程与可得到，然后算出的范围即可
【详解】（1）设双曲线的焦距为，
由及双曲线的定义，得，解得，
由可得，
又恒成立，所以，解得．
因为该双曲线离心率小于等于，所以，即，解得，
所以，则，
所以双曲线的标准方程为．
（2）因为，所以点只能在双曲线的右支上，

设，则，
因为在双曲线上，所以，
易得，所以直线的斜率为，
直线的方程为①，
同理可求得直线的方程为②，
由①×②得③，
将代入③得，化简得，
令①=②即，化简得，
因为，所以，
即点的轨迹方程为．
【点睛】关键点点睛：这道题的关键之处是得到直线，的方程，与相结合，通过消元的方法得到轨迹方程
练习16．（2022秋·山西阳泉·高三统考期末）已知过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点．
(1)证明：；
(2)设为抛物线的焦点，直线与直线交于点，直线交抛物线与两点（在轴的同侧），求直线与直线交点的轨迹方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，，利用三点共线，解得，再利用向量数量积的坐标表示即可求解；
（2）设， ，，根据题意可得，由此解出与，与的关系，进而得到直线与直线的方程，联立即可求解.
【详解】（1）设，，
因为三点共线，所以,
所以，整理可得，
所以，所以．
（2）设， ，，
由题意，，
因为，，所以，
又因为，，
所以，整理得．
因为在轴同侧，所以，同理可得，
所以直线的方程为，同理的方程为，
两式联立代入，可得，
由题意可知交点不能在x轴上，
所以交点的轨迹方程为．
练习17．（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为_______．
【答案】（）．
【分析】设，直线和的交点为，根据三点共线及三点共线，可得两个式子，两式相乘，再结合在椭圆上即可得出答案.
【详解】设，
因为椭圆的长轴端点为，
设直线和的交点为，
因为三点共线，所以，，
因为三点共线，所以，
两式相乘得，（）,
因为，所以，即，
所以，整理得（），
所以直线和的交点的轨迹方程（）.
故答案为：（）.
练习18．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过三点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过右焦点的直线（斜率不为0）与椭圆交于两点，求直线与直线的交点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先设椭圆方程，代入椭圆上的点的坐标，即可求解；
（2）首先设直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，求直线与直线的交点坐标，即可求解交点的轨迹方程.
【详解】（1）设椭圆方程E：+=1
由AC两点可知：，解得=16，=12，
所以椭圆方程为；
（2）设，M（，）N（，）
联立（3+12my-36=0
直线AM：=
直线BN：=
消去：，
因斜率不为0，该直线方程：.
练习19．（2023·吉林·统考模拟预测）已知双曲线的左､右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点B到直线的距离为
(1)求双曲线的标准方程；
(2)当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为.
（i）是否存在实数，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（ii）求直线和交点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)（i）存在，；（ii）
【分析】（1）注意到直线与双曲线有且仅有一个公共点时，l平行于渐近线可解；
（2）利用韦达定理结合即可求得，再根据和的直线方程消去斜率即可得交点的轨迹方程.
【详解】（1）
故当直线过与双曲线有且仅有一个公共点时，应与的渐近线平行
设直线，即，则点到直线的距离为
即双曲线的标准方程为：.
（2）（i）由题可知，直线斜率不为0
设直线
由得：
成立
.
所以存在实数，使得成立.
（ii）直线，直线
联立得：
所以直线和交点的轨迹方程为：
练习20．（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，若交于点，则点的轨迹方程为__________.
【答案】或
【分析】由题可得抛物线方程，利用切线几何意义可得切线斜率，即可表示出切线方程求出交点坐标，再将抛物线与直线联立，结合韦达定理可得轨迹方程.
【详解】由焦点到准线的距离为2，可得抛物线.
由可得，故，
故在处的切线方程为，即，
同理在点处的切线方程为，
联立，即.
联立直线与抛物线方程：，消去得，
由题或.
由韦达定理，，
得，其中或，故点的轨迹方程为：或.
故答案为：或
题型五参数法
例9．（2022·全国·高三专题练习）已知点，，为直线上的两个动点，且，动点满足，（其中为坐标原点），求动点的轨迹的方程．
【答案】
【分析】根据题意将动点的坐标设出，垂直转化为对应的向量数量积为0，再转化平行条件从而得到动点的轨迹方程.
【详解】设、、，
则，，，
由，得，且点、均不在轴上，故，且，．由，得，即．由，得，即．
∴，
∴动点的轨迹的方程为：.
例10．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，，，是满足的一个动点．求垂心的轨迹方程.
【答案】（）或（）
【分析】求出外心坐标，外接圆半径同，得顶点C的轨迹方程，再利用相关点法可求垂心H的轨迹方程．
【详解】设的外心为，半径为R，
则有，又，
所以，即，或，
当坐标为时．
设，，有，即有（），
由，则有，
由，则有，
所以有，，则，
则有（），
所以垂心H的轨迹方程为（）.
同理当当坐标为时．H的轨迹方程为（）.
综上H的轨迹方程为（）或（）．
练习21．（2023·广东·校联考模拟预测）已知抛物线，定点，B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线．
【答案】详见解析
【分析】设，根据，利用分点公式得到，再根据点B在抛物线上求解.
【详解】解：设，
因为，
所以，解得，
因为点B在抛物线上，
所以，
即，
所以轨迹是抛物线.
练习22．（2021·贵州·统考二模）在平面直角坐标系中，椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，点和点为椭圆上两点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ），为椭圆上异于点的两点，若直线与的斜率之和为，求线段中点的轨迹方程.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为，进而待定系数求解即可得答案；
（Ⅱ）设直线的斜率为，进而得直线的方程，与椭圆联立得点的坐标，同理，用替换点的坐标得点的坐标，进而得点的坐标，消去参数即可得点的轨迹方程.
【详解】解：（Ⅰ）根据题意，设椭圆的方程为，
因为点和点为椭圆上两点，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程
（Ⅱ）设直线的斜率为，所以直线的方程为，即 ，
所以与椭圆联立方程得，
即，
所以点的横坐标为，纵坐标为，
即点的坐标为，
因为直线与的斜率之和为，所以直线的斜率为，
同理，用替换点的坐标得点的坐标，
所以点的坐标为
所以点的参数方程为：（为参数）
消去参数得点的轨迹方程，
由解得，所以，
所以点的轨迹方程.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于设直线的斜率为，进而结合题意，与椭圆联立方程求得点坐标，进而消参数即可得答案.
练习23．（2011秋·辽宁·高二统考期中） 如图，过抛物线（＞0）的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB．
⑴设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标
⑵求弦AB中点M的轨迹方程
【答案】⑴A（，），B（，）．⑵ ，即为M点轨迹的普通方程．
【详解】试题分析：⑴．∵依题意可知直线OA的斜率存在且不为0
∴设直线OA的方程为（）∴联立方程
解得 ；以代上式中的，解方程组
解得 ∴A（，），B（，）． 6分
⑵．设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，得
消去参数k，得 ，即为M点轨迹的普通方程． 12
考点：直线与抛物线的位置关系，“参数法”求轨迹方程．
点评：中档题，研究直线与圆锥曲线的位置关系，往往通过建立方程组，应用韦达定理，简化解题过程．“参数法”是求曲线方程的常见方法，通过引入适当的“中间变量”，将动点的坐标相互联系起来．
练习24．（2021秋·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知，是抛物线上两个不同的点，的焦点为．
（1）若直线过焦点，且，求的值；
（2）已知点，记直线，的斜率分别为，，且，当直线过定点，且定点在轴上时，点在直线上，满足，求点的轨迹方程．
【答案】（1）；（2）（除掉点）.
【分析】（1）利用抛物线焦半径公式可直接求得结果；
（2）设，与抛物线方程联立后得到韦达定理的形式，代入中整理可求得，验证取值后得到所过定点；由知，知点的轨迹是以为直径的圆，确定圆心和半径后即可得到轨迹方程，验证可知轨迹中的不符合题意，由此得到最终结果.
【详解】（1）由抛物线方程知：，准线方程为：．
，，
.
（2）依题意可设直线，
由得：，则，
…①
，
…②
由①②化简整理可得：，
则有，解得：或．
当时，，
解得：或，
此时过定点，不符合题意；
当时，对于恒成立，
直线过定点，.
，，且四点共线，，
则点的轨迹是以为直径的圆．
设，的中点坐标为，，
则点的轨迹方程为．
当的坐标为时，的方程为，不符合题意，
的轨迹方程为（除掉点）．
【点睛】关键点点睛：本题第二问考查了动点轨迹方程的求解问题，解题关键是能够根据，利用韦达定理构造出关于变量的方程，确定直线所过的定点坐标，进而根据垂直关系确定轨迹为圆.
练习25．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线的中心作两条互相垂直的射线，交双曲线于、两点，试求：
（1）弦的中点的轨迹方程；
【答案】（1）见解析；
【详解】（1）设、、，
则有，①.
.②.
由得.③.
②①得，④.
②①得.⑤.
由式③、④解得，
代入式⑤得，其中.上式即为所求轨迹方程.
题型六点差法
例11．（2023春·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考期中）已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用点差法可求得直线斜率，进而得到方程，与双曲线联立检验即可确定结果.
【详解】设，且，
由得：，即，
为中点，，，，
直线方程为：，即；
由得：，
则，满足题意；
直线的方程为：.
故选：A.
例12．（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C：，圆O：，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，则直线l的方程为_______________．
【答案】
【分析】根据向量垂直可得圆的切线方程为，进而在椭圆中，根据点差法可得，根据中点弦的斜率即可代入求解.
【详解】取中点，连接,由于,所以,进而 ,
设，设直线上任意一点，
由于是圆的切线，所以,所以，
令 则，所以，由中点坐标公式可得 ，
设,则，两式相减可得，
所以 ,又，,
所以，解得，进而
故直线l的方程为，即，
故答案为：
练习26．（2023春·湖北孝感·高二统考期中）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用点差法求解.
【详解】解：设，则，
两式相减得直线的斜率为，
又直线过点，
所以直线的方程为，
经检验此时与双曲线有两个交点.
故选：A
练习27．（2023·全国·高三专题练习）直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是______．
【答案】
【分析】利用点的坐标和点差法得出轨迹方程，利用点M在椭圆内即可得出取值范围.
【详解】设，，线段AB的中点为，连接（为坐标原点）．
由题意知，则，
∴点的轨迹方程为．
又点在椭圆内，
∴，
解得：，
故答案为：.
练习28．（2022秋·江西·高二校联考阶段练习）过点作抛物线的弦AB，恰被点Q平分，则弦AB所在直线的方程为 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用点差法及中点坐标求出直线AB的斜率，再根据点斜式求解即可.
【详解】解：设，，由题意可知，
则，两式相减，得，
因为是弦AB的中点，所以，，
所以，即，直线AB的斜率为2，
所以弦AB所在直线的方程为，即，
故选：C.
练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线和斜率为的直线l交于A，B两点，当l变化时，线段AB的中点M的坐标满足的方程是________.
【答案】
【分析】根据点差法及直线的斜率可得出中点M的轨迹方程.
【详解】设，，
则两式相减，
得.
因为，的坐标为，
所以，
又直线的斜率为，所以，即.
故答案为：
练习30．（2022秋·河南焦作·高二统考期末）过椭圆内一点，且被这点平分的弦所在直线的方程是___.
【答案】
【分析】利用点差法即可求得过点且被点P平分的弦所在直线的方程.
【详解】设该直线与椭圆的两个交点分别为，
则
又，，两式相减得
则，则，
则所求直线方程为，即
经检验符合题意.
故答案为：
题型七利用韦达定理求轨迹方程
例13．（2023秋·高三课时练习）过点的直线与抛物线相交于两点P，Q，求以OP，OQ为邻边的平行四边形的第四个顶点M的轨迹方程.
【答案】（或）
【分析】设，，，设直线的方程为，与抛物线方程联立利用韦达定理可得、和的范围，根据平行四边形对角线互相平分和消参法可得答案.
【详解】设，，，
由题意过点的直线的斜率存在，设直线的方程为，
与抛物线方程联立，可得，，
且可得且，
所以由可得，
因为四边形是平行四边形，所以，
即，可得，
因为，而且，可得或，
所以的轨迹方程为（或）.

例14．（2023·吉林长春·东北师大附中模拟预测）已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为_________．
【答案】/
【分析】设斜率为直线方程为，联立方程组，写出韦达定理，然后求出线段的中点为的参数方程，消参后得到的轨迹方程，然后利用数形结合方法分析即可.
【详解】设斜率为直线方程为：，
代入椭圆中，消元整理得：
，
线段的中点为，设，
则，
所以，
，
所以，消去得：，
所以线段的中点为的轨迹方程为：，
如图所示：
的轨迹即为线段，
由或，
所以，
所以的轨迹长度为：
，
故答案为：.
练习31．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：，直线过点.若与交于，两点，点在线段上，且，求点的轨迹方程.
【答案】，（且）
【分析】
设，，，令，由已知可得，由，得，求出由韦达定理代入，进而求出点的轨迹方程.
【详解】
解法一：设，，，不妨令，
直线斜率存在，设直线方程为，，即，
直线与抛物线有两个交点，故，
故，且，，.
由，得，即，
故，即，，且，故，且，
故点的轨迹方程为（，且）.
解法二：设，，，不妨令，
直线斜率存在，设直线方程为，，即，
直线与抛物线有两个交点，故，，且，，.
点在线段上，设，则，，
故，，，故.
，且，故，且，
故点的轨迹方程为（，且）.
练习32．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的离心率为，且经过，经过定点斜率不为0的直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭圆C的左，右两顶点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得求解即可；
（2）联立直线方程结合求点P的横坐标．
【详解】（1）
根据题意可得，解得，
∴求椭圆C的方程为
（2）
根据题意可得直线AE：，BF：，
由可得，
所以，故，故，
同理，，故，
因为三点共线，故共线，
而，
故，整理得到：或，
若，则由可得，这与题设矛盾，故.
联立方程，解得，
∴P点的轨迹方程为
练习33．（2023·全国·高三专题练习）设不同的两点A，B在椭圆上运动，以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作，M为垂足．求点M的轨迹方程.
【答案】．
【分析】分直线AB的斜率不存在、存在两种情况讨论，当直线AB的斜率存在时，设直线AB为，，，然后联立椭圆的方程消元，得到、，然后由可得，然后可得，即可得到答案.
【详解】①若直线AB的斜率不存在，由已知得点M的坐标为；
②若直线AB的斜率存在，设直线AB为，联立椭圆，得：，
设，，则，，
以线段AB为直径的圆过原点O，即，
所以，
所以，又，故O到AB的距离．
综合①②，点M的运动轨迹为O以为圆心，以1为半径的圆，轨迹方程为：．
练习34．（2022春·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期末）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别是A，B，且．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知M，N是椭圆E上异于A，B的不同两点，若直线AM与直线AN的斜率之积等于-1，求直线MN的方程
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由离心率可得，
又由左、右顶点可得，所以，，
所以椭圆的方程为：；
（2）解：由（1）可得，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，
联立，整理可得：，
，即，可得，
且，，
，
整理可得，可得或，符合，
所以直线的方程为：或，
所以直线恒过或（舍去），
所以直线的方程为：，
练习35．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C的离心率为，其焦点是双曲线的顶点.
(1)写出椭圆C的方程；
(2)直线l：与椭圆C有唯一的公共点M，过点M作直线l的垂线分别交x轴､y轴于，两点，当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
【答案】(1)
(2)轨迹方程，为椭圆除去4个顶点
【分析】（1）根据双曲线的顶点，结合椭圆离心率的公式与基本量的关系求解即可；
（2）根据题意可得直线l与椭圆C相切，故联立直线与椭圆的方程，利用判别式为0可得的关系，再得到点M坐标的表达式，从而得到过点M作直线l的垂线的方程，求得，结合椭圆的方程求解即可
（1）
设椭圆C的方程为，，由题意，双曲线的顶点为，故.又，故，故，故椭圆C的方程为
（2）
由题意，直线l与椭圆C相切，联立得，故，即.设，则，故，故.所以直线的方程为，即，当时，，故，当时，，故，故.又，故则，又在上，故，即，由题意可得，故点的轨迹方程为，为椭圆除去4个顶点
题型一
直接法
题型二
定义法
题型三
相关点法
题型四
交轨法
题型五
参数法
题型六
点差法
题型七
利用韦达定理求轨迹方程