北师大版数学九下期末复习训练专项21 抛物线的平移、旋转、对称（2份，原卷版+解析版）

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二次函数图像的对称一般有四种情况，可以用一般式或顶点式表达，分别是：
关于x轴对称，y=ax²+bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax²-bx-c;y=a(x-h)+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)-k.
关于y轴对称，y=ax²+bx+c 关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax²-bx+c；
y=a(x-h)²+k关于y轴对称后，得到的解析式；y=a(x+h)²+k。
关于原点对称，y=ax²+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax²+bx-c；
y=a(x-h)²+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a(x+h)²-k；
关于顶点对称， y=ax²+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ax²-bx+c-b/2a；y=a(x-h)²+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a(x-h)²+k.
注意：对于以上四种对称要在结合开个方向、对称轴的位置以及与y轴的交点三个方面结合图像理解记忆。而对于抛物线关于定点对称问题我们一般都是化成顶点式再变换
类型二 平移
①二次函数图像平移的本质是点的平移，关键在坐标。
②图像平移口诀：左加右减、上加下减。平移口诀主要针对二次函数顶点式
【典例1】（2022春•兴宁区期末）将抛物线y＝2（x﹣3）2﹣2图象先向上平移4个单位，再向左平移5个单位后的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣8）2+2B．y＝2（x﹣8）2﹣6
C．y＝2（x+2）2﹣6D．y＝2（x+2）2+2
【答案】D
【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣3）2﹣2图象先向上平移4个单位，再向左平移5个单位后的解析式是y＝2（x﹣3+5）2﹣2+4，即y＝2（x+2）2+2．
故选：D．
【变式1-1】（2022春•海门市期末）将抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度后，得到的新抛物线解析式是（ ）
A．y＝3（x﹣2）2B．y＝3（x+2）2C．y＝3x2﹣2D．y＝3x2+2
【答案】B
【解答】解：将抛物线y＝3x2向左平移2个单位所得直线解析式为：y＝3（x+2）2；
故选：B．
【变式1-2】（2022春•镇海区期末）将抛物线y＝x2﹣6x+5先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2
【答案】D
【解答】解：∵y＝x2﹣6x+5，
∴y＝（x﹣3）2﹣4．
∴将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的抛物线对应的函数表达式为：y＝（x﹣3﹣1）2﹣4+2，即y＝（x﹣4）2﹣2．
故选：D．
【典例2】（2021秋•镇海区期末）把二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象关于y轴对称后得到的图象的函数关系式为 ．
【答案】y＝（x+1）2+2
【解答】解：函数y＝（x﹣1）2+2的图象关于y轴对称后的顶点坐标为（﹣1，2），所以得到的图象的函数解析式是y＝（x+1）2+2；
故答案为：y＝（x+1）2+2．
【变式2-1】（2022•高青县一模）将抛物线y＝x2+1沿x轴向下翻折，则得到的新抛物线的解析式为 ．
【答案】y＝﹣x2﹣1
【解答】解：抛物线y＝x2+1的顶点坐标是（0，1），则沿x轴翻折后顶点坐标是（0，﹣1），所以新抛物线解析式是：y＝﹣x2﹣1．
故答案是：y＝﹣x2﹣1
【变式2-2】（2022•宣州区一模）将抛物线C1：y＝（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣2B．y＝﹣x2+2C．y＝x2+2D．y＝﹣x2﹣2
【答案】D
【解答】解：∵抛物线C1：y＝（x﹣3）2+2的顶点为（3，2），
∵向左平移3个单位长度，得到抛物线C2的顶点坐标为（0，2），
∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，
∴抛物线C3的开口方向相反，顶点为（0，﹣2），
∴抛物线C3的解析式为y＝﹣x2﹣2．
故选：D．
【典例3】（2021秋•沭阳县校级期末）将抛物线y＝x2﹣6x绕原点旋转180度，则旋转后的抛物线解析式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+9B．y＝（x+3）2+9
C．y＝﹣（x+3）2+9D．y＝﹣（x﹣3）2+9
【答案】C
【解答】解：抛物线y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9的顶点坐标为（3，﹣9），
由于抛物线y＝x2﹣6x绕原点旋转180度后抛物线的顶点坐标为（﹣3，9），并且开口方向相反，
则所得抛物线解析式为y＝﹣（x+3）2+9．
故选：C．
【变式3-1】（2021•未央区校级模拟）将抛物线y＝2x2﹣4x+5绕其顶点旋转180，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2x2+4x+1B．y＝﹣2x2+4x﹣2
C．y＝﹣2x2+4x﹣1D．y＝﹣2x2+4x+5
【答案】A
【解答】解：y＝2x2﹣4x+5＝2（x2﹣2x+1）+3＝2（x﹣1）2+3，
将原抛物线绕顶点旋转180°后，得：y＝﹣2（x﹣1）2+3．
即：y＝﹣2x2+4x+1．
故选：A．
【变式3-2】（2021春•无锡月考）将二次函数y＝的图象先向下平移2个单位，再把所得图象以原点为中心，旋转180°，所得图象的表达式正确的是（ ）
A．y＝﹣3x2﹣2B．y＝3x2+2C．D．
【答案】D
【解答】解：把二次函数y＝图象先向下平移2个单位后得到的函数的解析式为：y＝﹣2．
因为图象绕它的顶点旋转180°后，其对称轴与顶点坐标均不变，只是图象开口向下，
所以所得图象的函数解析式为y＝．
故选：D．
1．（2022•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝x2+1D．y＝x2﹣1
【答案】D
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．
故选：D．
2．（2022•崇明区二模）将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新抛物线和原抛物线相比，不变的是（ ）
A．对称轴B．开口方向
C．和y轴的交点D．顶点
【答案】B
【解答】解：将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新抛物线和原抛物线相比，形状不变，故开口方向不变．
故选：B．
3．（2022•太原一模）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝ax2+bx+c先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度，得到抛物线y＝x2﹣2x﹣4，则抛物线y＝ax2+bx+c的函数表达式为（ ）
A．y＝x2+2x+4B．y＝x2+4x﹣3C．y＝x2﹣4x+3D．y＝x2﹣8x+13
【答案】B
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5．
将抛物线y＝（x﹣1）2﹣5先沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移2个单位长度后得到抛物线y＝（x﹣1+3）2﹣5﹣2，即y＝（x+2）2﹣7＝x2+4x﹣3．
所以y＝ax2+bx+c＝x2+4x﹣3．
故选：B．
4．（2022•南平模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2x2保持不动，将x轴向上平移1个单位（y轴不动），则在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2x2+1B．y＝2x2﹣1C．y＝2（x﹣1）2D．y＝2（x+1）2
【答案】B
【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），
∵将x轴向上平移1个单位（y轴不动），
∴新平面直角坐标系中抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），
∴新坐标系下抛物线的解析式是y＝2x2﹣1．
故选：B．
5．（2021秋•海淀区校级期末）抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3是由抛物线y＝5x2经过怎样的平移得到的（ ）
A．向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度
B．向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度
C．向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度
D．向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3的顶点坐标为（2，﹣3），抛物线y＝5x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y＝5x2向右平移2个单位，再向下平移3个单位，可得到抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3．
即平移方法为：向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度．
故选：D．
6．（2021秋•奉贤区期末）从图形运动的角度研究抛物线，有利于我们认识新的抛物线的特征．如果将抛物线y＝x2+2绕着原点旋转180°，那么关于旋转后所得新抛物线与原抛物线之间的关系，下列说法正确的是（ ）
A．它们的开口方向相同B．它们的对称轴相同
C．它们的变化情况相同D．它们的顶点坐标相同
【答案】B
【解答】解：A、它们的开口方向相反，不符合题意；
B、它们的对称轴相同，符合题意；
C、它们的开口方向相反，顶点坐标关于原点对称，即题目的变化情况不相同，不符合题意；
D、它们的顶点坐标关于原点对称，不符合题意．
故选：B．
7．（2021•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣4x+5B．y＝x2+4x+5C．y＝﹣x2+4x﹣5D．y＝﹣x2﹣4x﹣5
【答案】A
【解答】解：由抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）²+1知，抛物线顶点坐标是（2，1）．
由抛物线y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是（﹣2，9）．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）²+9＝﹣x²﹣4x+5．
故选：A．
8．（2020秋•永嘉县校级期末）一条抛物线和抛物线y＝﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2x2+4x+1B．y＝﹣2x2﹣4x+1
C．y＝﹣4x2﹣4x+2D．y＝﹣4x2+4x+2
【答案】B
【解答】解：抛物线解析式为y＝﹣2（x+1）2+3＝﹣2x2﹣4x+1．
故选：B．
9．（2019秋•洪山区期中）将二次函数y＝（x﹣1）2﹣4的图象沿直线y＝1翻折，所得图象的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2+4B．y＝（x+1）2﹣4
C．y＝﹣（x+1）2﹣6D．y＝﹣（x﹣1）2+6
【答案】D
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2﹣4的图象沿直线y＝1翻折，所得图象的函数表达式为y＝﹣（x﹣1）2+6，
故选：D．
10．（2019秋•安陆市月考）先将抛物线y＝（x﹣1）2+2关于x轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2+2B．y＝﹣（x+1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2﹣2D．y＝﹣（x+1）2﹣2
【答案】C
【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2+2关于x轴作轴对称变换，
则所得抛物线为﹣y＝（x﹣1）2+2，即y＝﹣（x﹣1）2﹣2．
故选：C．
11．（2021秋•长汀县校级月考）如图，在平面直角坐标xOy中，抛物线c1的顶点为A（﹣1，﹣4），且过点B（﹣3，0）将抛物线c1向右平移2个单位得抛物线c2，则阴影部分的面积s＝ ．
【答案】8
【解答】解：阴影部分可以转换成求平行四边形的面积，s＝2×|yA|＝2×4＝8，
故答案为：8．
12．（2021秋•亳州期末）抛物线y＝﹣（x+2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为 ．
【答案】y＝﹣（x﹣2）2
【解答】解：抛物线y＝﹣（x+2）2顶点坐标为（﹣2，0），其关于y轴对称的点的坐标为（2，0），
∵两抛物线关于y轴对称时形状不变，
∴抛物线y＝﹣（x+2）2关于y轴对称的抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2．
故答案是：y＝﹣（x﹣2）2．
13．（2021秋•嘉鱼县月考）如图，将函数y＝（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一个新函数的图象，其中点A（1，m）、B（4，n）平移后的对应点分别为A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中阴影部分），则新图象对应的函数表达式为 ．
【答案】y＝（x﹣2）2+4
【解答】解：曲线段AB扫过的面积＝（xB﹣xA）×AA′＝3AA′＝9，
则AA′＝3，
故抛物线向上平移3个单位，则y＝（x﹣2）2+4．
故答案是：y＝（x﹣2）2+4．
14．（2022•岳阳）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（1，0）．
（1）求抛物线F1的解析式；
（2）如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；
（3）如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C在点D的左侧）．
①求点C和点D的坐标；
②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN面积的最大值．
【解答】解：（1）将点A（﹣3，0）和点B（1，0）代入y＝x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点（﹣1，﹣4），
∵顶点（﹣1，﹣4）关于原点的对称点为（1，4），
∴抛物线F2的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（3）由题意可得，抛物线F3的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+6＝﹣x2+2x+5，
①联立方程组，
解得x＝2或x＝﹣2，
∴C（﹣2，﹣3）或D（2，5）；
②设直线CD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝2x+1，
过点M作MF∥y轴交CD于点F，过点N作NE∥y轴交于点E，
设M（m，m2+2m﹣3），N（n，﹣n2+2n+5），
则F（m，2m+1），E（n，2n+1），
∴MF＝2m+1﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2+4，
NE＝﹣n2+2n+5﹣2n﹣1＝﹣n2+4，
∵﹣2＜m＜2，﹣2＜n＜2，
∴当m＝0时，MF有最大值4，
当n＝0时，NE有最大值4，
∵S四边形CMDN＝S△CDN+S△CDM＝×4×（MF+NE）＝2（MF+NE），
∴当MF+NE最大时，四边形CMDN面积的最大值为16．