北师大版数学九下期末复习训练专项34 利用垂径定理求线段长度（2份，原卷版+解析版）

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考点1 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.
符号语言：∵CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，
∴ AE＝BE,
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
∵CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦（不是直径），且AE＝BE.
弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；
有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分
考点2 垂径定理的应用
经常为未知数，结合方程于勾股定理解答
【典例1】（2022秋•甘井子区校级期末）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心到AB的距离为3cm，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．5C．3D．
【变式1-1】（2022秋•潼南区期末）如图，AB是⊙O的直径，B是劣弧的中点，AB和CD相交于点E，AB＝10，OE＝4BE，则CD的长为（ ）
A．4B．6C．4D．8
【变式1-2】（2022秋•海港区期末）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的直径为4，则弦AB的长为（ ）
A．4B．C．D．2
【变式1-3】（2022秋•南关区校级期末）如图，半径为5的⊙A与y轴交于点B（0，2）、C（0，10），则点A的横坐标为（ ）
A．﹣3B．3C．4D．6
【典例2】（2022秋•丰满区校级期末）图1是吉林市的彩虹桥图片．图2是彩虹桥示意图，桥拱（ADB）可以近似看作半径为25m的圆弧，桥拱（弧AB）和路面（弦AB）之间用九根钢索相连，钢索垂直路面（弦AB），路面（弦AB）长度为40m，若这九根钢索将路面（弦AB）十等分，求最长钢索CD的长度．
【变式2-1】（2022秋•蔡甸区期末）如图，在⊙O中半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝16，OC＝10，则CD的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2-2】（2022秋•河西区校级期末）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD＝4，EM＝6，则弧CED所在圆的半径为（ ）
A．B．4C．5D．
【变式2-3】（2022秋•泰兴市期末）如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度AB＝48米，拱高CD＝16米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．则桥拱所在圆的半径为 米．
【典例3】（2021秋•恩施市校级期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过这座圆弧形拱桥并说明理由．
【变式3-1】（2021秋•姑苏区校级月考）诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．
（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．
【变式3-2】（2022秋•铁西区月考）如图，某地有一座圆弧形拱桥其圆心为O，桥下水面宽度AB为7.2m，拱高CD为2.4m．
（1）求拱桥的半径；
（2）夏季雨季来临时，当水面离桥顶C距离为1m时，就要禁止通行，某天暴雨后桥下水面宽度EF为3m，请通过计算说明是否要禁止通行．
1．（2022秋•河西区校级期末）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（ ）
A．5米B．米C．6米D．米
2．（2022秋•门头沟区期末）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么桥拱所在圆的半径OA＝ 米．
3．（2021秋•任城区校级期末）在直径为20m的圆柱形油槽内注入一些油后，截面如图所示，液面宽AB＝12m，如果继续向油槽内注油，使液面宽为16m，那么液面上升了 m．
4．（2021秋•溧水区期末）在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm，的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件的半径是 cm．
5．（2022秋•孝南区期末）小明很喜欢钻研问题，一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径．小明连接瓦片弧线两端AB，量得弧AB的中心C到AB的距离CD＝4cm，AB＝16cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 cm．
（2022秋•越秀区校级期末）嘉兴南湖不仅是党的诞生地，它优美的风光还吸引全国各地的旅客前来观赏．如图是南湖的一座三孔桥，某天测得最大桥拱的水面宽AB为6m，桥顶C到水面AB的距离为2m，则这座桥桥拱半径
为 m．
7．（2022秋•利通区期末）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作以圆弧，则圆心的坐标是 ．
8．（2022秋•河北区校级期末）蔬菜基地圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD为 m．
9．（2022秋•凤凰县期末）如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝10米，拱高CD＝7米，则此圆的半径OA＝ ．
10．（2022•防城区校级模拟）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，CD⊥AB且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为 ．
11．（2022秋•南开区校级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为（﹣3，5），B点的坐标为（1，5），C点的坐标为（4，2），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ．
12．（2022秋•江都区月考）将一个篮球放在高为18cm的长方体纸盒内，发现篮球的一部分露出纸盒，其截面如图所示，若测得AB＝24cm，则该篮球的半径为 cm．
13．（2022秋•咸宁月考）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是 寸．（1尺＝10寸）
14．（2020秋•禅城区校级期中）如图，某隧道的截面是一个半径为3.4米的半圆形，一辆宽3.2米的厢式卡车（截面是长方形）恰好能通过该隧道，则这辆卡车的高为多少米？
15．（2020秋•亭湖区校级期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是的圆心，E为上一点，OE⊥CD，垂足为F．已知CD＝300m，EF＝50m，求这段弯路的半径．
16．（2022秋•新昌县期中）市区古城门外有一水门（也可以说是一种特殊的拱桥），已知水门的跨径（水门桥拱圆弧所对的弦的长）为18.2m，拱高（水门桥拱圆弧的中点到弦的距离）为6.2m．求此水门的桥拱圆弧的半径（精确到0.1m）．
17．（2022秋•余杭区校级月考）如图，某地欲搭建圆弧形拱桥，设计要求跨度AB＝32米，拱高CD＝8米
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩EF高度．
18．（2022秋•海淀区校级月考）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，AB＝10米，OE⊥CD于点E，此时测得OE：CD＝3：8．
（1）求CD的长；
（2）如果水位以0.4米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
19．（2022秋•湖口县期中）如图是某隧道入口的截面示意图，其上方是一个半圆，下方是一个长方形，现有一辆满载货物的卡车，宽3米，高4米，请判断这辆卡车能否通过该隧道．
20．（2022•开福区一模）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）求证：四边形ADOE是正方形；
（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．
21．（2022秋•红安县期中）如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：
（1）桥拱的半径；
（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为 米．