北师大版数学九下期末复习训练专项37 切线的判定与性质的综合应用（2份，原卷版+解析版）

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【类型一： 有公共点：连半径，证垂直】
【典例1】（2021秋•吉林期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．
【变式1-1】（2021秋•西城区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB＝10，CD＝8，求CE的长．
【变式1-2】（2021秋•温岭市期末）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝8，CD＝12，求半径的长度．
【典例2】（2020•中宁县一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP＝AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若PD＝1，求⊙O的直径．
【变式2-1】（2021秋•甘井子区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与AC，BC分别交于点D和点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，EF＝3，求⊙O半径．
【变式2-2】（2021秋•天津期末）如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交⊙O于点D，DE⊥AC
于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，AC＝6，求ED的长．
【典例3】（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．
【变式3-1】（2021秋•金湖县期末）如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交CE于D，延长CO交⊙O于B，连接AD、AB，AB是⊙O的切线．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为4，AB＝8，求平行四边形OAEC的面积．
【类型一： 没有公共点：作垂直，证半径】
【典例4】（2020•八步区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D，AB＝5，BE＝3．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．
【变式4-1】（2021秋•莆田期末）如图，半圆O的直径是AB，AD、BC是两条切线，切点分别为A、B，CO平分∠BCD．
（1）求证：CD是半圆O的切线．
（2）若AD＝20，CD＝50，求BC和AB的长．
1．（2022•宁夏）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．
2．（2022•八步区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC＝AB，⊙O与BC交于点D，DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AB＝6，△ABC的面积．
3．（2022•扬州）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB＝CP．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sinA＝，OA＝8，求CB的长．
4．（2022•武汉模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝2CE，求的值．
5．（2022•宝鸡模拟）如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若AB＝4，BC＝2，求BE的长．
6．（2022•陇西县校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，tanB＝，求DE的长．
7．（2022秋•白云区期末）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C为⊙O上的一点，∠A＝25°，∠D＝40°．
（1）求∠DOC的度数．
（2）求证：DC是⊙O的切线．
8．（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径．
9．（2021秋•祥云县期末）如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB＝∠OBD＝30°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
10．（2022•城关区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若tan∠BCD＝，OP＝1，求线段BF的长．
11．（2022•南海区校级模拟）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）如果PE＝BE，求证：∠P＝30°；
（3）若⊙O的半径为5，CF＝2EF，求PD的长．
12．（2022•赣州模拟）已知⊙O与正方形ABCD如图放置，点A，B在⊙O上．
（1）如图1，连接OC，OD，求证：OC＝OD；
（2）如图2，点M在⊙O上，连接DM，已知⊙O的半径为5，DM＝4，AB＝8；求证：DM是⊙O的切线．
13．（2022秋•南宁期中）小邕做数学题时遇到了如下问题：如图1，△ABD是⊙O的内接三角形，直线l经过点A，点E是直线l上的一点且∠ABD＝∠DAE．求证：直线l是⊙O的切线．小邕添加了适当的辅助线后，得到了图2的图形，并利用它解决了问题．
（1）请你根据小邕的思考，写出解决这一问题的过程；
（2）在图3中，作直径BC，连接CD，得到图3．若∠DAE＝30°，AD＝2，AB＝8，求CD的长．
14．（2022•襄城区模拟）如图，BE为⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD⊥BC于点F，DE＝4，OF＝2，求图中阴影部分的面积．
15．（2022•南丹县二模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，BD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝4，sinC＝，求BD的长．