新高考数学一轮复习考点精讲+题型精练专题04 基本不等式（2份，原卷版+解析版）

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专题04 基本不等式
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌模拟精练
➍专题训练
（新高考）
高考数学一轮复习
专题04 基本不等式
→➊考点精析←
一、基本不等式
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件: a>0，b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab (a，b∈R).
(2)+≥2a，b同号).
(3)ab≤2(a，b∈R).
(4)2≤(a，b∈R).
3.算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
4.利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值，是2 (简记:积定和最小).
(2)如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值，是 (简记:和定积最大).
二、基本不等式应用
1.基本不等式与函数相结合，在函数中的应用；
2.基本不等式在求解恒成立问题中的应用，以及求解未知参数等问题。
→➋真题精讲←
1. 【2023浙江三模】已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】.
若，则，从而无最小值，不合乎题意；
若，则，.
①当时，无最小值，不合乎题意；
②当时，，则不恒成立；
③当时，，
当且仅当时，等号成立.
所以，，解得，因此，实数的最小值为.
故选C.
2.【2023湖南省一模】函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由题意可得函数的图象恒过定点，
又点在直线上，∴，
∴=，
当且仅当，即等号成立，
所以的最小值为．
故选B.
→➌模拟精练←
1．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】B
【解析】，等式恒成立，，
由于，所以，，
，
当且仅当时，即时取等号.
，，故的最小值为1.
故选：.
2．（2023·广东潮州·高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】正实数满足，
则，
当且仅当，即且时，等号成立，则时，取到最小值4，
要使不等式恒成立，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
3．（2023春·广东江门·高三江门市第一中学校考阶段练习）若，且，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A：，，，，，，故A错误；
对于B：，，，
，
即，
，故B错误；
对于C：，，，
，
，
，
，
，故C错误；
对于D：，
，
即，
两边开平方得：，
同理可得，，
三式相加得，
当且仅当时取等号，故D正确.
故选：D.
4．（2023·广东江门·高三江门市棠下中学校联考期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A．13B．14C．D．
【答案】C
【解析】，，
，



,
当且仅当时，即，而又,所以 ，
此时不等式可取等号.
所以的最小值为
故选：C.
5．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，且，
所以，当且仅当，即时等号成立，
故选：D．
6．（2023·山东烟台·统考三模）已知且，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为2
C．的最小值为6D．的最小值为4
【答案】BC
【分析】利用基本不等式可判断AB；先将化为，再妙用“1”可判断C；取特值可判断D.
【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立，故错误；
因为，所以，
即，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
由得，所以，
因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；
令，则，所以的最小值不是4，D错误.
故选：BC.
7．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）若正数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】A选项：根据基本不等式，
，
当且仅当时，等号成立，故A对；
B选项：因为，所以，
所以，，
同理，，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，故B对；
C选项：因为，所以，
所以，
又因为，，
所以，，，，，
所以，故C对；
D选项：，所以，化简得，
当且仅当时，等号成立，故D错误；
故选：ABC.
8．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若直线经过点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】因为直线经过点，则，所以，
对于，因为，
所以当且仅当时等号成立，故选项错误；
对于，因为当且仅当时等号成立，所以，则，故选项正确；
对于，，
当，时等号成立，故选项正确；
对于，因为，，所以，且，
由可得：，，当，时等号成立，故选项正确；
故选：.
9．（2023·山东日照·三模）设且，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】由已知条件可知，且，再展开，并利用基本不等式求其最小值.
【详解】因为，
所以，，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即，时取得最小值．
故答案为：.
10．（2023·山东济南·统考三模）已知正数满足，则的最小值为___________.
【答案】18
【分析】对等式进行变形，再根据基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，则，又，是正数，
所以，
当取得等号，即且时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：.
11．（2023春·广东江门·高三校联考开学考试）已知正数x，y，z满足，当取最大值时，的最小值为______.
【答案】
【解析】因为，
所以，
因为，所以，当且仅当，时等号成立，
所以当，时，取最大值，
所以当取最大值时，，，，
所以，
所以当时，取最小值.
故答案为：.
12．（2023·广东·高三校联考期末）已知a，b都是正数，则的最小值是______．
【答案】2
【解析】因为均为正实数，故设，，则
联立解得，，
，
当且仅当，即，即，即时取等号，
故答案为：2.
13．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知，且，则的最小值是_____．
【答案】25
【解析】因为，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：25
14．（2023·江苏常州·校考二模）在中，所对的边分别为，且，其中是三角形外接圆半径，且不为直角.
(1)若，求的大小；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据余弦定理和正弦定理即可求出的大小.
(2)运用正弦定理和二倍角的余弦公式，化简，再利用基本不等式求解的最小值.
【详解】（1）在中， ，
进而，
，
，
又不为直角，则，，
，.
（2）由(1)知，
转化为，又，，.
，
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为.
→➍专题训练←
1.（多选）若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】利用求差法证明选项AB正确；举反例否定选项CD.
【详解】选项A：由，可得.判断正确；
选项B：由，可得.判断正确；
选项C：当时，，由，可得.判断错误；
选项D：当时，.判断错误.
故选：AB
2.已知，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.
故答案为.
3. 已知，且，则的最小值为 ．
【答案】4
【解析】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为4
4. 设，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
，
当且仅当，即时成立，
故所求的最小值为。
5.已知a，b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为 .
【答案】
【解析】由已知得a-3b=-6,由基本不等式得2a+≥2==,当且仅当a=-3,b=1时取等号.
6. 已知为正数，且满足，证明：
【解析】（1），.
由基本不等式可得：，
于是得到.
（2）由基本不等式得到：，
，.
于是得到
7.已知函数，不等式的解集为．
（1）解不等式；
（2）若，，，求证：．
【解析】（1）由，得，
的解集为，
则，，得．
不等式可化为，
则或或，
解得或或，
所以原不等式的解集为或．
（2）因为，，
所以，即．
所以，
当且仅当，即，时取等号．
所以不等式得证.
命题解读
命题预测
复习建议
基本不等式是高考的一个重点，根据近几年的高考分析，基本不等式的考察主要是利用基本不等式求最值，求未知参数的范围等等，题目难度主要集中在中难度上，基本不等式牵扯到的知识点比较多，主要集中在导数、数列、三角函数、解析几何等等。
预计2024年的高考对于基本不等式的考察还是和往年一样，变化不是很大，主要集中在应用上。
集合复习策略：
1.理解基本不等式以及几个重要的不等式；
2.掌握基本不等式求最值等方面的应用。