新高考数学一轮复习考点精讲+题型精练专题07 函数的奇偶性（2份，原卷版+解析版）

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专题07 函数的奇偶性
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌模拟精练
➍专题训练
（新高考）
高考数学一轮复习
专题07 函数的奇偶性
→➊考点精析←
一、 奇、偶函数的定义
对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，则称f(x)为偶函数．
二、 奇、偶函数的性质
(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)．
(2)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．
(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝__0__．
(4)若函数f(x)是偶函数，则有f(|x|)＝f(x)．
(5)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反．
三、 周期性
(1)周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
四、函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
五、函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0)．
六、函数图象的对称性
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．
→➋真题精讲←
1. （2023新高考Ⅰ卷·11）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A. B.
C. 是偶函数D. 为的极小值点
【答案】ABC
【解析】
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
2. （2023全国理科乙卷·4）已知是偶函数，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，
则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
3. （2023天津卷）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中，B选项中，
C选项中，D选项中，
排除选项CD，
对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，
故选：B.
4. （2023全国理科甲卷·10）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
5. （2023全国理科甲卷·13）若为偶函数，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】利用偶函数性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
6. （2023北京卷·17）设函数．
（1）若，求的值．
（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）.
（2）条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.
【解析】
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
【小问1详解】
因为
所以，
因为，所以.
【小问2详解】
因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
→➌模拟精练←
1．（2023·江苏南通·二模）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为函数为偶函数，则，即，①
又因为函数为奇函数，则，即，②
联立①②可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故函数的最小值为.
故选：B.
2．（2023·广东江门·统考一模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象是轴对称图形B．的极大值为0
C．的所有极值点之和为D．的极小值之积为
【答案】BCD
【解析】对A，若，使得,有成立，
即，
即，
即，
化简可得：
，
因为等式成立，所以有成立，解得，
故不存在这样的使得，有成立，即不是轴对称图形，
故选项A错误；
对B,因为，
所以，可得或，
因为，所以有两个不等实根记为，
由韦达定理得，所以，
当时，，，所以，单调递减，
当时，，，所以，单调递增，
当时，，，所以，单调递减，
当时，，，所以，单调递增，
所以的极大值点为，即选项B正确；
对C，的所有极值点之和为：，即选项C正确；
对D，由单调性可知的极小值点为，所以
将代入有：
，
故选项D正确.
故选：BCD
3．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知函数f（x）的定义域为R，且，，当时，，则）=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知条件可得函数是奇函数也是周期函数，利用周期性和奇偶性，有，代入已知解析式求解即可.
【详解】由，有，可得，所以的周期为2.
令，代，可得，所以，故函数为奇函数，
所以
因为，所以，所以.
故选：B
4.（2023·江苏·统考二模）已知函数，则（ ）
A．是偶函数，也是周期函数B．的最大值为
C．的图像关于直线对称D．在上单调递增
【答案】BD
【分析】根据奇偶函数的定义即可判断A，求导得到，从而得到其极值，即可判断B，根据对称性的定义即可判断C，由在的正负性即可判断D.
【详解】因为，定义域为，关于原点对称，
且，
则是奇函数，故A错误；
因为，
令，则或，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以，故B正确；
因为，，
所以不关于对称，故C错误；
因为，当时，，
则，所以在上单调递增，故D正确.
故选:BD
5．（2023·广东肇庆·统考一模）函数中的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为定义域为，
又，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B，
又时，，所以，
所以，故排除C；
故选：D
6．（2023·广东东莞·校考模拟预测）中国传统文化中很多内容体现了数学中的“对称美”，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义图象能够将圆（为坐标原点）的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，给出下列命题：
①对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个；
②函数可以是某个圆的“太极函数”；
③函数可以同时是无数个圆的“太极函数”；
④函数是“太极函数”的充要条件为的图象是中心对称图形．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②④C．①③D．①④
【答案】A
【解析】①，过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，
所以对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个，①正确.
②，，所以的定义域为，
，所以是定义在上的奇函数，
图象关于原点对称，
，
所以在上递减，画出大致图象如下图所示，
由图可知， 是太极函数，②正确.
③，函数，的定义域为，
，所以是偶函数，图象关于轴对称，
所以函数不是某个圆的太极函数.
④，是奇函数，图象关于原点对称，但不是太极函数，
如图所示，所以④错误.
所以正确的为①②.
故选：A
7．（2023·广东汕头·统考一模）已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对A：∵为偶函数，则
两边求导可得
∴为奇函数，则
令，则可得，则，A成立；
对B：令，则可得，则，B成立；
∵，则可得
，则可得
两式相加可得：，
∴关于点成中心对称
则，D成立
又∵，则可得
，则可得
∴以4为周期的周期函数
根据以上性质只能推出，不能推出，C不一定成立
故选：C.
8．（2023·江苏·二模）已知定义域为R的奇函数，当时，,下列叙述正确的是（ ）
A．存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根
B．当时，有
C．当时，的最小值为1，则
D．若关于x的方程和的所有实数根之和为零，则
【答案】ABC
【分析】A选项，根据函数的奇偶性得到在R上的解析式，画出函数图象，数形结合得到当时，与的图象有7个交点，即方程有7个不相等的实数根，A正确；
由图象可得时，单调递减，从而得到B正确；
由，令，解得：，数形结合得到，C正确；
求出的所有实数根之和为，进而当时，，再结合对称性得到时，方程和的所有实数根之和为零，从而
或，D错误.
【详解】因为为定义域为R的奇函数，
当时，，故，
当时，，故，
当时，，
综上：，
画出函数的图象，如下：
存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根，理由如下：
如图1，当时，直线与的图象有5个交点，
联立与，，
由且得：，
且此时与联立，，
其中，
故时，直线与两抛物线刚好相切，故有5个交点，
则当时，与的图象有7个交点，
即关于x的方程有7个不相等的实数根，A正确；
当时，单调递减，故当时，有，B正确；
由图象可知：，令，解得：，
当时，的最小值为1，则，C正确；
令，当时，，设两根为，则，
当时，，解得：，
故的所有实数根之和为，
当时，，
故当时，方程和的所有实数根之和为零，
由对称性可知时，方程和的所有实数根之和为零，
综上：或，D错误.
故选：ABC
【点睛】数形结合在研究函数与方程方面具有重要作用，通常函数零点，方程的根及两函数的交点可互相转化进行求解，本题中实数根个数问题，要转化为两函数与的交点个数问题，再同一平面直角坐标系中画出与的图象，用数形结合的思想求解.
→➍专题训练←
1.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【解析】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
2.设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【解析】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
3.偶函数f(x)满足，当x(0，4]时，，不等式在上有且只有200个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，得到的周期，利用导数可得的单调性，即可作出的图象，根据周期性、对称性可得在内有4个整数解，分别讨论、和三种情况下在一个周期内有整数解的个数，综合分析，即可得答案.
【解析】因为为偶函数，所以，
所以是周期函数，且周期为8，且关于x=4对称，
又当x(0，4]时，，
则，
令，解得，
所以当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
作出一个周期内图象，如图所示：
因为为偶函数，且不等式在上有且只有200个整数解，
所以不等式在内有100个整数解，
因为周期为8，所以在内有25个周期，
所以在一个周期内有4个整数解，
（1）若，由，可得或，
由图象可得有7个整数解，无整数解，不符合题意；
（2）若，则，由图象可得，不满足题意；
（3）若，由，可得 或，
由图象可得在一个周期内无整数解，不符合题意，
所以在一个周期内有4个整数解，
因为在内关于 x=4对称，
所以在内有2个整数解，
因为，
所以在的整数解为 x=1和x=2，
所以，解得.
故选：C
【点睛】解题的关键是熟练掌握函数的周期性、对称性的求法，利用导数求函数的单调区间等知识，并灵活应用，难点在于根据函数的性质，分类讨论，分析可得在内有2个整数解，再结合特殊值，即可进行求解，属中档题.
4.函数在上的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用定义判断的奇偶性，再代入特殊值检验，即可得答案.
【解析】设，
则，
所以为奇函数，图象关于原点对称，排除A、C，
又当x=1时，，排除D.
故选：B
5.函数的图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性可以排除两个选项，再由f(1)的正负即可得解.
【解析】因，即函数是奇函数，其图象关于原点对称，从而排除选项B，C，
又，显然选项D不符合此条件，A符合要求.
故选：A
6.设函数，则f(x)
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，
又，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，排除B；
当时，，
在上单调递减，在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.
故选：D．
7.已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】函数的零点个数转化为两个函数图象交点的个数，转化条件为函数周期，当时，，根据周期性可画出它的图象，从图象上观察交点个数即可.
【解析】∵，则函数是周期的周期函数．
又∵函数是定义在上的偶函数，且时，，
∴当时，，
令，则函数的零点个数即为函数和的图象交点个数，
分别作出函数和的图象，如下图，
显然与在上有1个交点，在上有一个交点，
当时，，而，
所以或时，与无交点．
综上，函数和的图象交点个数为2，即函数的零点个数是2．
故选：A
8.已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据条件判断函数关于对称，求导，可得函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可.
【解析】解：∵，
∴，
∴函数关于对称，
又，
∵，
∴，
∴恒成立，则是增函数，
∵，
∴，
∴，得，
故选：A.
【点睛】根据条件判断函数的对称性和单调性是解决本题的关键，需灵活应用基本不等式求最值，综合性强，属中档题.
9.已知函数是偶函数，则______.
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【解析】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
10.已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为___________.
【答案】
【分析】推导出当时，，利用函数的周期性和奇偶性可求得结果.
【解析】当时，，
又因为函数是定义在上的偶函数，
则，
，
因此，.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
命题解读
命题预测
复习建议
函数的奇偶性是函数的一个重要性质，在高考的试题中是必考内容，奇偶性在求解过程中要注意函数的定义域的对称，奇偶性可以说是函数的一个“整体”性质，要与单调性区分开来。奇偶性的考察近几年的试题中主要是在函数图象等方面出现，整体难度中等。
预计2024年的高考函数的奇偶性还是必考内容，在出题上多注意具有奇偶性函数的图象性质，以及借助函数的奇偶性求解函数的解析式等等。
集合复习策略：
1.理解函数的奇偶性的概念以及具有奇偶性函数的图象性质；
2.掌握判断函数奇偶性的方法；
3.理解掌握函数奇偶性的具体应用。