新高考数学一轮复习考点精讲+题型精练专题08 幂函数及函数应用（2份，原卷版+解析版）

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专题08幂函数及函数应用
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌模拟精练
➍专题训练
（新高考）
高考数学一轮复习
专题08幂函数及函数应用
→➊考点精析←
一、幂函数的图象和性质
1．幂函数：形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
2．常见幂函数：
二、函数的应用
1. 函数应用：一次函数、二次函数、幂函数等一些基本初等函数模型的应用.
2.函数模型：提炼问题---收集数据---分析数据---建立函数模型---求模、检验、还原
→➋真题精讲←
1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·全国高考真题）已知函数是偶函数，则______.
3. 【2020年江苏省盐城市第一中学调研】某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．
（Ⅰ）求的函数关系式；
（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
→➌模拟精练←
1．（2022·全国·高一课时练习）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．函数是偶函数
D．函数的图象关于原点对称
2．（2022·全国·高一课时练习）若函数在定义域内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则不存在区间M使为“弱增函数”
B．若，则存在区间M使为“弱增函数”
C．若，则为R上的“弱增函数”
D．若在区间上是“弱增函数”，则
3、（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数为奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求的取值范围.
4、（2022·全国·高一单元测试）已知幂函数为偶函数，
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在上的最大值为2，求实数的值．
5、（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数的定义域为全体实数R.
(1)求的解析式；
(2)若在上恒成立，求实数k的取值范围.
6．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数为偶函数，
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在上的最大值为1，求实数的值.
7．（2022·全国·高一课时练习）已知幂函数，且在区间上单调递减.
(1)求的解析式及定义域；
(2)设函数，求证：在上单调递减.
8．（2022·全国·高一课时练习）几名大学毕业生合作开设3D打印店，生产并销售某种3D产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其他固定支出20000元.假设该产品的月销售量t（件）与销售价格x（元/件）（）之间满足如下关系：①当时，；②当时，.记该店月利润为M（元），月利润=月销售总额-月总成本.
(1)求M关于销售价格x的函数关系式；
(2)求该打印店的最大月利润及此时产品的销售价格.
→➍专题训练←
1.已知幂函数，则实数等于（ ）
A．2B．1C．0D．任意实数
2.已知函数，若方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．（0，1）C．D．
3.下列命题正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过，两点B．函数的图象经过第二象限
C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同
D．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点
4.有如下命题，其中真命题的标号为（ ）
A．若幂函数的图象过点，则
B．函数且的图象恒过定点
C．函数在上单调递减
D．若函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是
5.图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（ ）
A．，3，B．，3，C．，，3D．，，3
6.下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数在上是减函数
C．函数的单调区间是
D．已知在上是增函数，若，则有
7.若函数是幂函数，且是偶函数，则m＝____________.
8.若幂函数的图象过点，则__________.
9.已知幂函数的图象过点，则___________.
10.已知幂函数为偶函数，
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在上的最大值为2，求实数的值．
11.已知幂函数是偶函数，且在上单调递增.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围：
（3）若实数满足，求的最小值.
12.已知幂函数在上单调递增，函数．
（1）求m的值；
（2）当时，记的值域分别为集合A，B，设，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．
（3）设，且在上单调递增，求实数k的取值范围．
13.某市运管部门响应国家“绿色出行，节能环保”的号召，购买了一批豪华新能源公交车投入营运.据市场分析，这批客车营运的总利润(单位：10万元)与营运年数(是正整数)成二次函数关系，其中第三年总利润为2，且投入运营第六年总利润最大达到110万元
（1）请求出关于的函数关系式；
（2）求营运的年平均总利润的最大值(注：年平均总利润)
14.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量(单位：)与时间(单位：）的函数关系为，当消毒后，测量得药物释放量等于；而实验表明，当药物释放量小于对人体无害．
（1）求的值；
（2）若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？
15.某厂生产某种零件，每个零件的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于元.
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？
(2)设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；
(3)当销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）
命题解读
命题预测
复习建议
幂函数是一种基本初等函数，主要考察是幂函数的图象以及幂函数的性质解决相关问题；对于函数应用的考察，主要体现在函数模型的实际应用，往往以实际应用题为主。
预计2024年的高考对于幂函数来说最多出一个选择题，以幂函数的图象和性质应用为主，函数模型以分段函数、二次函数的实际应用为主要题型。
集合复习策略：
1.掌握幂函数的图象和性质；
2.掌握函数模型，会利用函数模型解决实际问题.
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
图像
性质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶
函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(-∞,0]上 单调递减;在(0,+∞)上 单调递增
在R上单调递增
在[0,+∞)上单调递增
在(-∞,0)和(0,+∞)上 单调递减
公共点
(1,1)