新高考数学一轮复习考点精讲+题型精练专题09 指数与指数函数（2份，原卷版+解析版）

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专题09 指数与指数函数
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌模拟精练
➍专题训练
（新高考）
高考数学一轮复习
专题09 指数与指数函数
→➊考点精析←
1．根式
(1)概念：式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)性质：(eq \r(n,a))n＝a(a使eq \r(n,a)有意义)；当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a＜0.))
2．分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q．
3.指数函数及其性质
概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
[常用结论]
1．指数函数图象的画法
画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．
3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．
→➋真题精讲←
1. 【2020年高考北京】已知函数，则不等式的解集是
A. B.
C. D.
2. 【2020广东省惠州市高三模拟】已知函数，则满足的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3.（2023·全国·高三专题练习）函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4.（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5.（2023·全国·高三对口高考）函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为_________．
→➌模拟精练←
1. 【2020河南省林州一中高二月考（理）】函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
2．下列命题正确的有（ ）
A．函数在其定义域上是增函数；
B．函数是奇函数；
C．函数的图象可由的图象向右平移2个单位得到；
D．若，则
3．若关于x的方程：9x+（4+a）•3x+4＝0有解，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，﹣8）∪[0，+∞）B．（﹣8，﹣4）
C．[﹣8，﹣4]D．（﹣∞，﹣8]
4．（2021·北京高三二模）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知，且，则（ ）.
A．3B．6C．12D．18
6．（2023·江苏·统考二模）设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·广东湛江·统考一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．存在，使得函数为奇函数
C．任意，
D．函数有且仅有2个零点
9．（2023·广东湛江·统考一模）若函数存在两个极值点，且，则______．
10．（2023·广东·校联考模拟预测）曲线与的公共切线的条数为________．
11. 化简下列各式(其中各字母均为正数)．
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,8)))eq \s\up12(－\f(2,3))＋0.002－eq \f(1,2)－10(eq \r(5)－2)－1＋π0
(2)eq \f(\r(a3b2\r(3,ab2)),（a\f(1,4)b\f(1,2)）4a－\f(1,3)b\f(1,3))(a>0，b>0)
(3) eq \r(3,3\f(3,8))－π0；
(4)
12.（2022秋·河南三门峡·高三统考阶段练习）已知函数(，且)是指数函数.
（1）求k，b的值；
（2）求解不等式.
13．已知定义在R上的函数在上是增函数．为偶函数，且当时，．
（1）求在上的解析式；
（2）若函数与的值域相同，求实数m的值；
（3）令讨论关于x的方程的实数根的个数．
→➍专题训练←
题型一 指数幂的化简与求值
（2023·全国·高三专题练习）化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·高三专题练习）计算：①＝________.
②＝________.
（2023·全国·高三专题练习）___________
题型二指数函数的定义及应用
（2022·全国·高三专题练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．
①；②；③；④；⑤；⑥．
（2023·全国·高三专题练习）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是___________.
题型三指数函数的图象问题
（2022·全国·高三专题练习）已知函数、、、的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
题型四 指数函数的单调性
（2023·全国·高三专题练习）若函数在R上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．（1，3） D．（2，3）
（2023·全国·高三专题练习）已知，，则M，N的大小关系为____．
题型五指数函数的奇偶性
（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
题型六指数复合函数的最值问题
（2022秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）已知指数函数的图像经过点.
（1）求的值；
（2）当时，求函数的值域.
题型七指数函数的综合应用
（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）求不等式的解集；
（3）若关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围.
（2022·山西吕梁·高三校联考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数.
（1）求实数a，b的值；
（2）判断在上的单调性，并证明；
（3）若在上恒成立，求实数a的取值范围.
命题解读
命题预测
复习建议
指数函数是高中函数内容的核心知识点之一，在历年的高考中主要是以简单题目为主，指数幂的运算，指数函数的图象和性质都是要求掌握的知识点。指数函数作为一种重要的函数模型，要充分理解它的应用。
预计2024年的高考对于指数函数部分的考察还是以指数幂的运算和指数函数的图象与性质为主要出题方向。
集合复习策略：
1.理解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算；
2.掌握指数函数的概念，图象和性质；
3.理解指数函数模型的应用。
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
(1)R
值域
(2)(0，＋∞)
性质
(3)过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
(4)当x＞0时，y＞1；
当x＜0时，0＜y＜1
(5)当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数