新高考数学一轮复习考点精讲+题型精练专题19 平面向量的概念与运算及几何性质（2份，原卷版+解析版）

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专题19平面向量的概念与运算及几何性质
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌模拟精练
➍专题训练
（新高考）
高考数学一轮复习
专题19平面向量的概念与运算及几何性质
→➊考点精析←
一、 平面向量的概念
1．平面向量的有关概念
2. 说明:零向量的方向是不确定的、任意的.
规定:零向量与任一向量平行.
二、 平面向量的线性运算
1. 向量的线性运算
2.常用三角公式
向量的共线定理
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一的实数λ,使b=λa.
→➋真题精讲←
1. （2023全国甲卷4）已知向量满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
2. （2023全国文科乙卷6）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A. B. 3C. D. 5
3.（2023全国理科乙卷12） 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A. B.
C D.
4. （2023天津卷14）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_________；若，则的最大值为_________．
5. （2023全国Ⅰ卷16）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．
→➌模拟精练←
1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）在如图的平面图形中，已知,则的值为
A．B．
C．D．0
2.（2023·江苏常州·校考二模）如图所示，边长为2的正，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江苏南通·二模）在平行四边形中，，．若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知边长为1的正五边形，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·广东·高三校联考阶段练习）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如）为等腰直角三角形，点为四心，中间部分是正方形且边长为2，定点，所在位置如图所示，则的值为（ ）

A．10B．12C．14D．16
6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）平行四边形中，点在边上，，记，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·安徽铜陵·统考三模）在平行四边形中，是边上中点，则（ ）
A．B．C．D．
→➍专题训练←
1．（2023·江苏·二模）在所在平面内，是延长线上一点且，是的中点，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·河北唐山·统考三模）正方形边长为，为中点，点在上，，则（ ）
A．B．C．5D．10
3．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）单位圆上有两定点，及两动点，且.则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
4. 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5. 在平行四边形中，，，，交于F且，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值
B．的取值范围是
C．当时，为定值
D．时，的最大值为12
7．（2023春·广东韶关·高三校联考开学考试）已知，，是单位圆上的三点，满足，，且，其中为非零常数，则下列结论一定正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
8.给出下列四个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若，满足且，同向，则；
③不相等的两个空间向量的模必不相等；
④对于任意向量，，必有.
其中正确命题的序号为________.
9．（2023·广东肇庆·统考二模）设是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且.若存在，使得与垂直，且，则的最小值为__________.
10．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）设是圆上不同的两点.且.则______.
11．（2023·广东广州·统考二模）在等腰梯形中，已知，，，，动点E和F分别在线段和上，且，，当__________时，则有最小值为__________．
12．（多选）（2023·浙江·校联考三模）在平面直角坐标系中，已知点，则（ ）
A．
B．是直角三角形
C．在方向上的投影向量的坐标为
D．与垂直的单位向量的坐标为或
命题解读
命题预测
复习建议
平面向量的概念与运算这一部分，高考的考察比较少，主要集中在向量的运算以及它的几何性质部分，对于平面向量的运算，要注意运算的法则，注意向量是矢量这一知识点。
预计2024年的高考对于平面向量的概念及运算部分考察还是以小题为主，如果出题可能以选择题的形式出现。
集合复习策略：
1.理解平面向量的概念，几何表示；
2.掌握平面向量的运算及几何意义。
名称
定义
表示
向量
在平面中,既有大小又有方向的量
用a,b,c,…或,,…表示
向量的模
向量a的大小,也就是表示向量a的有向线段的长度 (或称模)
|a|或||
零向量
长度为0的向量
用0表示
单位向量
长度等于1个单位的向量
用e表示,|e|=1
平行向量
方向相同或相反的非零向量(或称共线向量)
a∥b
相等向量
长度相等且方向相同的向量
a=b
相反向量
长度相等,方向相反的向量
向量a的相反向量是-a
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)加法交换律:a+b= b+a;
(2)加法结合律:(a+b)+c= a+(b+c)
减法
减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
三角形法则
a-b= a+(-b)
数乘
实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫作向量的数乘, 记作λa
(1)|λa|=|λ||a|.
(2)当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ