新高考数学一轮复习考点精讲+题型精练专题20 平面向量基本定理与坐标表示及运算（2份，原卷版+解析版）

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专题20 平面向量基本定理与坐标表示及运算
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌模拟精练
➍专题训练
（新高考）
高考数学一轮复习
专题20 平面向量基本定理与坐标表示及运算
→➊考点精析←
一、 平面向量基本定理及坐标表示
1.平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的坐标运算
a=（x1，y1） b=（x2，y2）
a+b=(x1+x2，y1+y2) a-b=(x1-x2，y1-y2) λa=(λx1，λy1)
(2)向量的坐标求法
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1)，
||=.
3.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔ x1y2-x2y1=0.
二、 平面向量的数量积及坐标运算
1.平面向量的数量积
(1)概念
已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cs θ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cs θ,并规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.
(2)几何意义
①向量的投影: a|cs θ(|b|cs θ)叫作向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.
②向量的数量积:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cs θ的乘积.
(3)向量的夹角
已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.
2.平面向量数量积的运算律
已知向量a,b,c和实数λ.
交换律: a·b=b·a;
数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)= a·(λb) (λ∈R);
③分配律:(a+b)·c= a·c+b·c.
3.平面向量数量积的性质
设a,b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量,θ是a与e的夹角.
e·a=a·e=|a|cs θ.
a⊥b⇔ a·b=0.
当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
特别地,a·a=|a|2或|a|=
cs θ=.
⑤|a·b|≤|a||b|.
4.平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角.
|a|=
a·b= x1x2+y1y2
a⊥b⇔ x1x2+y1y2=0
cs θ=
→➋真题精讲←
1. （2023全国理科甲卷3）已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【详解】因为，所以，
则，，
所以.
故选：B.
2. （2023北京卷3）已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量满足，
所以.
故选：B
3. （2023全国Ⅰ卷3）已知向量，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
4. （2023天津卷14）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_________；若，则的最大值为_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，
即，则；
空2：因为，则，可得，
得到，
即，即.
于是.
记，
则，
中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值.
故答案为：；.

→➌模拟精练←
1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知平面向量，满足，则的最小值为（ ）
A．-1B．0C．D．
【答案】A
【分析】根据数量积的运算性质及均值不等式化简可得，即可得解。
【详解】由可得，
即，
而，当且且，反向时等号成立，
所以，即，等号成立条件为.
故选：A
2．（2023·广东佛山·统考一模）已知单位向量，满足，若向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由单位向量，则，即，，
.
故选：B.
3．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知平面向量满足，，且与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为平面向量满足，，且与的夹角为，
则，则，即解得，
所以.
故选：D
4．（2023·山东日照·三模）已知向量，，，若，则（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】B
【分析】先求出的坐标，再利用列方程求.
【详解】由已知得，
，且，
，
解得.
故选：B.
5．（2023·江苏·统考二模）已知向量，的夹角为60°，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】对两边同时平方可得，由模长的计算公式代入可判断A，B；由向量夹角计算公式可判断C，D.
【详解】由可得：，
可得：，，
对于A，，故A不正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，，
，,
故，故C正确；
对于D，，,
，故D不正确.
故选：C.
6．（2023·广东深圳·统考一模）已知，为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，为单位向量，
由，
所以，
即，
设与夹角为，
则，
又，所以，
故选：C.
7．（2023·山东德州·三模）已知，：向量与共线，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先由向量共线求得或，进而可判断充分性和必要性.
【详解】若向量与共线，则，解得或，
所以是的充分不必要条件.
故选：A.
8．（2023·广东广州·统考二模）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则，即，
当，即时，满足，而无意义，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
9．（2023·重庆·统考三模）已知是单位向量，向量满足与成角，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设，如图所示：
则由，又与的夹角为，.
又由，由正弦定理，得，
，，
，
故选：C
10．（2023·山东潍坊·三模）已知平面向量与的夹角是，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用模的公式可得到，然后利用数量积的运算律即可得到答案
【详解】由可得，
因为平面向量与的夹角是，且
所以
故选：C
11．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知向量、满足，，则（ ）
A．－2B．C．D．
【答案】D
【解析】，
故选：D.
12．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知边长为1的正五边形，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，设的中点为，连接，
由正五边形的性质可得：，
所以，
因为，
所以，
故选：.
→➍专题训练←
1．（2023·江苏·二模）在所在平面内，是延长线上一点且，是的中点，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，借助向量的线性运算用 、表示即可判断作答.
【详解】在所在平面内，在延长线上，且，则，又是的中点，
所以.
故选：C
2．（2023秋·广东揭阳·高三统考期末）已知，为单位向量，向量满足.若与的夹角为60°，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【解析】由，得，
所以，所以.
故选：B.
3．（2023秋·广东·高三统考期末）已知平面向量满足，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
，
向量与向量的夹角为.
故选：D.
4．（2023·山西晋中·统考三模）设向量与向量的夹角为，定义与的向量积：是一个向量，它的模．若，，则（ ）
A．-1B．1C．D．
【答案】D
【详解】∵，
∴，又，∴，
∴．
故选：D.
5．（2023·湖北·校联考三模）正的边长为2，，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【详解】设，如图所示：
因为
所以
，
故选：C．
6．（2023·山东青岛·统考三模）已知向量，，满足：，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】A
【分析】建立平面坐标系，用坐标表示，，，利用数量积的坐标运算计算即可.
【详解】由题意不妨设，则，且，
解之得或，
由，
即的终点C在以为圆心，1为半径的圆上，故，
由圆的对称性，不妨令，即，连接AD交圆于E，由点与圆的位置关系可知
.
故选：A

7．（2023·山西运城·统考三模）已知向量满足，且，则实数（ ）
A．1或B．-1或C．1或D．-1或
【答案】D
【详解】
所以，
因为，
所以，
解得或，
故选：D.
8．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】 ， ；
故选：A.
9．（2023春·广东韶关·高三校联考开学考试）已知，，是单位圆上的三点，满足，，且，其中为非零常数，则下列结论一定正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．D．
【答案】AB
【解析】依题意，是单位向量，由得：，，
而，因此，
对于A，当时，，由知，，则，即，A正确；
对于B，当时，，而，则，即，B正确；
由得：，
即，则，
而，有，，
因此或，即或，
对于C，由或得：或，C错误；
对于D，由已知得：，，
，
若，则，
若，，D错误.
故选：AB
10．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知O为坐标原点，点，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】对于A，因为，，，
所以，，
故是正三角形，则，故A正确；
对于B，因为是正三角形，是的外心，
所以是的重心，故，即，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，则，
所以，故D错误.
故选：ABC．
11．（2023·辽宁·校联考三模）已知向量，，且，则______.
【答案】
【详解】已知向量，，，
∵，∴，解得，∴，.
故答案为：
12．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知平面向量，若，则__________.
【答案】
【详解】，
因为，所以，解得.
故答案为：
13．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知平面向量，，若与垂直，则实数__________．
【答案】2
【解析】因为与垂直，所以，即，解得．
故答案为：2
14．（2023·广东肇庆·统考二模）设是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且.若存在，使得与垂直，且，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】如图示，是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且，
由题意得： ，
令 ，则三点共线
，则三点共线
故有共线，
由题意与垂直,,
知,且为定值，
在中， ，当且仅当时， 取最大值2，
此时面积最大，则O到的距离最远，而，
故当且仅当即 关于y轴对称时，最小，
此时O到的距离为 ，
所以 ,故 ，即的最小值为，
故答案为：
15．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）如果平面向量，，则向量在上的投影向量为_____ .
【答案】
【详解】由已知可得，，，
所以，，
所以，向量在上的投影向量为.
故答案为：.
16．（2023春·广东汕头·高三统考开学考试）已知向量，若在方向上的投影向量为，则的值为__________.
【答案】
【解析】因为在上的投影向量为，
所以，则，
因为，，
所以，
从而，
解得.
故答案为：.
17．（2023春·广东江门·高三校联考开学考试）已知向量，且，则m=______.
【答案】2
【解析】因为，，
由，得.
故答案为：2.
18．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知向量，，若，则_____．
【答案】
【解析】由题意，则，即，解得，
.
故答案为：.
19．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知，，则在上的投影向量为________．
【答案】
【解析】由题意，在上的投影向量为.
故答案为：
命题解读
命题预测
复习建议
平面向量基本定理与坐标表示及运算是高考的一个热门考点，对于平面向量的考察主要从这方面出题，尤其是数量积的运算是考察的重中之重，题目的难易度适中，以选择或者填空为主，出多项选择题的机率也是比较大的，总体来说还是学生比较好得分的。
预计2024年的高考平面向量基本定理与坐标表示及运算还是以选择题或者填空题为主，难易度以中等难度为主，数量积的运算考察机率大。
集合复习策略：
1.理解平面向量基本定理及其意义；
2.掌握平面向量的正交分解和坐标表示；
3.理解平面向量的数量积运算；
4.掌握运用坐标进行平面向量的加法、减法、数乘与数量积的运算。