新高考数学一轮复习考点精讲+题型精练专题25 空间直线、平面的垂直（2份，原卷版+解析版）

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专题25 空间直线、平面的垂直
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌模拟精练
➍专题训练
（新高考）
高考数学一轮复习
专题25空间直线、平面的垂直
→➊考点精析←
一、 空间直线与平面垂直的判定与性质
二、 空间平面与平面垂直的判定与性质
→➋真题精讲←
1. （2023全国文科甲卷18）如图，在三棱柱中，平面．

（1）证明：平面平面；
（2）设，求四棱锥的高．
2. （2023北京卷16）如图，在三棱锥中，平面，．

（1）求证：平面PAB；
（2）求二面角的大小．
3. （2023全国Ⅱ卷20）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．

（1）证明：；
（2）点F满足，求二面角的正弦值．
→➌模拟精练←
1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
(1)证明：平面平面PBC；
(2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离．
2．（2023·江苏·统考二模）如图，在三棱台中，，平面平面，二面角的大小为45°，，.
(1)求证：平面ABC；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
3．（2023·江苏·二模）已知矩形，，为的中点，现分别沿，将和翻折，使点重合，记为点．
(1)求证：
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
4．（2023·广东广州·统考一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，
(1)求证：；
(2)求平面PAB与平面ABCD交角的正弦值.
5．（2023·广东深圳·统考一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，，且，底面ABCD是边长为2的菱形，．
(1)证明：平面PAC⊥平面ABCD；
(2)若，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值．
6．（2023·山西晋中·统考三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，E是CD的中点，AE与BD交于点F，G是的重心．
(1)求证：平面PCD；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，为等腰直角三角形，且，求直线AG与平面PBD所成角的正弦值．
7．（2023·湖北·校联考三模）已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）的各条棱长均为2，且有．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
8．（2023·湖南邵阳·统考三模）如图所示，在直四棱柱ABCD-中，底面ABCD为菱形，，，E为线段上一点.
(1)求证：；
(2)若平面与平面ABCD的夹角的余弦值为，求直线BE与平面所成角的正弦值.
9．（2023·湖南永州·统考三模）已知底面为菱形的平行六面体中，，四边形为正方形，交于点M.
(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的余弦值.
→➍专题训练←
1. 若直线平面，直线平面，则直线a与直线b的位置关系为（ ）
A．异面B．相交C．平行D．平行或异面
2. 已知直线与平面，则下列结论成立的是（ ）
A．若直线垂直于平面内的两条直线，则
B．若直线垂直于平面内的无数条直线，则
C．若直线平行于平面内的一条直线，则
D．若直线与平面无公共点，则
3.已知直线，平面，，，，，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4.在正方体中，若，分别为，的中点，则（ ）
A．直线平面B．直线平面
C．平面平面D．平面平面
5. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图在堑堵中，，且.下述四个结论正确结论的编号是______________.
①四棱锥为“阳马”
②四面体为“鳖臑”
③过点分别作于点，于点，则
④四棱锥体积最大为
6．（2023·吉林长春·统考三模）如图，平面五边形中，△是边长为2的等边三角形，，，，将△沿翻折，使点翻折到点．
(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
7．（2023·河北唐山·统考三模）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面，点为线段上一点，且.
(1)证明：平面；
(2)若，，且三棱锥的体积为18，求平面与平面的夹角的余弦值.
8．（2023·山东日照·三模）如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，且平面平面.

(1)求证：；
(2)若直线与平面所成的角为为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小.
9．（2023·山东德州·三模）图1是直角梯形，，，，，，四边形为平行四边形，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．

(1)求证：平面平面；
(2)在线段上存在点使得与平面的正弦值为，求平面与所成角的余弦值．
10．（2023·山东潍坊·三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且.

(1)求证：直线平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离.
命题解读
命题预测
复习建议
集合是历年高考的必考点，集合常出现在选择题的第一或第二次小题，题目以集合的运算为主，主要是集合的交、并、补的运算。从题目的难易度来看属于基础题，但从历年高考题来看，在集合的考察中穿查不等式的求解，因此在做集合题时要注意不等式的求解。高考注重的基础知识的灵活运用，集合题目简单，考查内容、题型稳定，考查的覆盖面会进一步加大。
预计2024年的高考仍然会以考查集合间的关系、集合的基本运算为主，还是以选择题的形式出现，全国卷中与不等式结合的可能性比较大，要多注意。
集合复习策略：
1.掌握集合的含义以及基本关系；
2.理解集合的基本运算；
3.掌握不等式的求解。
类别
语言表述
图形表示
符号语言
应用
判
定
根据定义,证明一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线
b是平面α内任意一条直线,⇒a⊥α
证明直线和平面垂直
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面
⇒b⊥α
性质
如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直
⇒a⊥b
证明两条直线垂直
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
证明两条直线平行
类别
语言表述
图形表示
符号表示
应用
判定
根据定义,证明两平面所成的二面角是直二面角
∠AOB是二面角α-l-β的平面角,且∠AOB=90°,则α⊥β
证明两个平面垂直
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直
⇒α⊥β
性质
如果两个平面垂直,那么它们所成二面角的平面角是直角
α⊥β,∠AOB是二面角α-a-β的平面角,则∠AOB=90°
证明两条直线垂直
如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
⇒l⊥α
证明直线与平面垂直