新高考数学一轮复习考点精讲+题型精练专题27 圆的方程及几何性质（2份，原卷版+解析版）

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专题27圆的方程及几何性质
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌模拟精练
➍专题训练
（新高考）
高考数学一轮复习
专题27圆的方程及几何性质
→➊考点精析←
一、 圆的标准方程与一般方程
1. 圆的定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹).
2.圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0)圆心为(a,b)半径为r
3.圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)圆心为-,- 半径为
二、 与圆有关的计算问题
1.与圆有关的最值问题的计算（主要是距离最值、对称性求最值）
2.与园有关的轨迹问题的计算
三、 直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:
四、 直线的方程
设两圆的半径分别为R,r(R>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示:
→➋真题精讲←
1. （2023全国理科乙卷12）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得，或然后结合三角函数的性质即可确定的最大值.
【详解】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时，设，
则：
，则
当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，
则：
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
2.（2023天津卷12） 过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，
所以，解得：，由解得：或，
所以，解得：．
当时，同理可得．
故答案为：．
3.（2023全国Ⅱ卷15） 已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______．
【答案】（中任意一个皆可以）
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出．
【详解】设点到直线距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．
→➌模拟精练←
1．（2023·广东·统考模拟预测）已知经过点，半径为1．若直线是的一条对称轴．则k的最大值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【解析】设圆心的坐标为，
因为经过点，半径为1，
所以，故点在圆上，
又直线是的一条对称轴，
所以，故点在直线上
所以圆与直线有交点，
所以，
所以，所以，
所以k的最大值为，
故选：D.
2．（2023·广东江门·统考模拟预测）若直线与圆相交于P，Q两点，且（其中O为坐标原点），则b的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】，圆的半径为1，，
圆心到直线的距离，，解得.
故选：C
3．（2023·广东汕头·统考一模）已知直线：，：，圆C：，若圆C与直线，都相切，则下列选项一定正确的是（ ）
A．与关于直线对称
B．若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9
C．圆C的圆心在直线或直线上
D．与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个
【答案】ACD
【解析】对于A，设直线：上任意一点关于直线对称的点为，则，解得，所以点在直线：上，所以与关于直线对称，故A正确；
对于B，因为圆C的圆心在x轴上，设圆心为，因为圆C与直线，都相切，所以，解得或，当时，；当时，，故B错误；
对于C，由圆C：，得圆心为，半径为，因为圆C与直线，都相切，所以，解得或，所以圆心在直线或直线上，故C正确；
对于D，由圆C：，得圆心为，半径为，因为圆与两坐标轴都相切，得圆心到轴的距离为，到轴的距离为，所以且，即，解得或，当时，由题意可知，解得或，当时，此时不满足，所以与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个，故D正确.
故选：ACD.
4．（2023·广东肇庆·统考一模）已知圆，直线，则（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆可能相离
C．圆被轴截得的弦长为
D．圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为
【答案】AC
【解析】直线，由，得，即l恒过定点，故A正确；
点与圆心的距离，故直线l与圆C恒相交，故B错误；
令，则，可得，故圆C被y轴截得的弦长为，故C正确；
要使直线l被圆C截得弦长最短，只需与圆心连线垂直于直线，
所以直线l的斜率，可得，故直线l为，故D错误．
故选：AC．
5．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知，，为圆上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．以为直径的圆与圆相交所得的公共弦所在直线方程为
B．若点，则的面积为
C．过点且与圆相切的圆的圆心轨迹为圆
D．的最小值为
【答案】AB
【解析】A:由，，则其中点为，所以，
则圆的标准方程为，化为一般式方程为①，
又圆的一般式方程为②，
而，
①-②得为两圆相交弦所在的直线方程．故A正确；
B：由直线的方程为，则点到直线的距离，．故B正确；
C:由图可知，设过点且与圆内切的圆的圆心为，且切点为，
则满足椭圆定义，
故圆心的轨迹为椭圆．故C错误；
D：设，
，
则可转化为圆上动点到定点的距离的平方，
所以的最小值为，
故．故D错误.
故选：AB.
6．（2023·广东江门·统考模拟预测）已知圆，圆，下列说法正确的是（ ）
A．若，则圆与圆相交
B．若，则圆与圆外离
C．若直线与圆相交，则
D．若直线与圆相交于，两点，则
【答案】AC
【解析】圆的圆心，半径
若，，则圆心，半径，则，
所以，则圆与圆相交，故A正确，B错误；
若直线与圆相交，则圆心到直线的距离，解得，故C正确；
若直线与圆相交于，两点，则圆心到直线的距离，所以相交弦长，故D错误.
故选：AC.
7．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知经过点的圆的圆心坐标为 （为整数），且与直线相切，直线与圆相交于、两点，下列说法正确的是（ ）
A．圆的标准方程为
B．若，则实数的值为
C．若，则直线的方程为或
D．弦的中点的轨迹方程为
【答案】BC
【分析】根据题意可得出关于的等式，结合可求得的值，可得出圆的方程，可判断A选项；分析可知直线过圆心，求出的值，可判断B选项；利用勾股定理结合点到直线的距离求出的值，可得出直线的方程，可判断C选项；根据已知条件求出点的轨迹方程，可判断D选项.
【详解】对于A，设圆的半径为，由题意可得圆的方程为（为整数），
根据点是圆上的点，且圆与直线相切，则，
所以，，因为，解得，则，
则圆的标准方程为，故A错误；
对于B，由题意可知圆的标准方程为，圆心，
点在圆上，且，线段为圆的一条直径，
直线与圆相交于、两点，
圆心在直线上，，解得，故B正确；
对于C，由选项A知圆的半径为，圆心，
则圆心到直线的距离，
，即，解得，
，整理得，解得或，
则直线的方程为或，故C正确；
对于D，直线的方程可化为，过定点，
由圆的性质可得，
点的轨迹是以线段为直径的圆，
则此圆圆心为线段的中点，其坐标为，半径为，
则该圆的方程为，
由解得或，
故弦的中点的轨迹方程为，故D错误；
故选：BC.
8．（2023·广东惠州·高三统考模拟预测）已知直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l恒过定点B．圆M的圆心坐标为
C．存在实数k，使得直线l与圆M相切D．若，直线l被圆M截得的弦长为2
【答案】AB
【解析】变形为，故恒过定点，A正确；
变形为，圆心坐标为，B正确；
令圆心到直线的距离，
整理得：，由可得，方程无解，
故不存在实数k，使得直线l与圆M相切，C错误；
若，直线方程为，圆心在直线上，
故直线l被圆M截得的弦长为直径4，D错误.
故选：AB
9．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）已知，点A为直线上的动点，过点A作直线与相切于点P，若，则的最小值为__________.
【答案】
【分析】设，连接，求出、，求的最小值可转化为求到两点和距离和的最小值，连接可得答案.
【详解】
设，，连接，所以，且，
所以，
，
所以求的最小值可转化为求到两点和距离和的最小值，如图，连接即可，所以，
故答案为：.
10．（2023·江苏·二模）过点且与圆：相切的直线方程为__________
【答案】或
【分析】分斜率存在与否两种情况进行讨论，结合点到直线距离公式即可得解．
【详解】解：将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为，
当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆的切线，满足题意；
当过点的直线斜率存在时，
可设直线方程为，即，
利用圆心到直线的距离等于半径得，解得，
即此直线方程为，
故答案为：或 ．
11．（2023·广东·统考一模）已知动圆经过点及原点,点是圆与圆的一个公共点,则当最小时,圆的半径为___________.
【答案】5
【解析】如图:
记圆半径为R,,则,,
所以,
当最小时,最大,此时两圆内切.
由已知设动圆的圆心为,
又圆心可得
即,
解得,所以,即圆的半径为5.
故答案为:5.
12．（2023·广东茂名·统考一模）过四点、、、中的三点的一个圆的方程为______（写出一个即可）.
【答案】（答案不唯一）
【解析】过，，时，设圆的方程为，
则，解得，
圆的方程是：，即；
同理可得：
过、、时，圆的方程是：；
过，，时，圆的方程是：；
过，，时，圆的方程是：.
故答案为：.（、、、写其中一个即可）
13．（2023·广东惠州·统考模拟预测）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为__________．
【答案】
【解析】圆的方程化为标准方程为：，
则圆心半径，由题意知最长弦为过点的直径，最短弦为过点和这条直径垂直的弦，即，且，圆心和点之间的距离为1，
故，
所以四边形ABCD的面积为．
故答案为：
14．（2023·安徽黄山·统考三模）设直线与两坐标轴的交点分别为，点为线段的中点，若圆上有且只有一个点，使得直线平分，则______.
【答案】/
【详解】点为线段的中点，直线平分，
在的垂直平分线上，
因为所以中垂线的斜率为，
的中点为，由点斜式得，
化简得，
在圆满足条件的有且仅有一个，
直线与圆相切，
，
故答案为: .
→➍专题训练←
1．（2023·浙江温州·统考三模）已知直线，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【详解】因为直线，且，则，
所以.
故选：B
2．（2023·河北石家庄·统考三模）已知直线经过圆的圆心，其中且，则的最小值为（ ）
A．9B．C．1D．
【答案】A
【详解】圆的圆心为，依题意，，即，
由，知，令，则，
因此
，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值9.
故选：A
3．（多选）（2023·江苏南通·三模）直线与圆交于两点，为圆上任意一点，则( ).
A．线段最短长度为B．的面积最大值为
C．无论为何值，与圆相交D．不存在，使取得最大值
【答案】CD
【详解】由直线可知，该直线过定点,
且直线斜率一定存在，
当时，弦的弦心距最长，则长最短为，
此时的斜率不存在，与题意矛盾，故A错误；
的面积为,
若的面积取到最大值，则为直角，
由于,此时，与题意矛盾，B错误；
由于直线过定点,在内，
故无论为何值，与圆相交，C正确；
为圆上任意一点，假设当与x轴垂直时，如图中虚线位置，
此时劣弧最短，最大，但由于直线l斜率存在，
故直线取不到图中虚线位置，即不存在，使取得最大值，D正确，
故选：CD
4. 已知M，N分别是曲线上的两个动点，P为直线上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】圆的圆心，半径为 ，圆，圆心，半径为，
圆心关于的对称点为，
解得故
．
故选．
5. 方程所确定的圆中，最大面积是( )
A．B．C．3πD．不存在
【答案】B
【解析】所给圆的半径.
所以当时，半径r取最大值，此时最大面积是.
故选B
6. 已知直线与圆有公共点，则的最大值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【解析】因为表示圆，
所以，解得，
因为直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离，
即 ，
解得，
此时，
因为，在递增，
所以的最大值.
故选:C
7.已知圆C经过A（0，0），B（2，0），且圆心在第一象限，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为( )
A．（x–1）2+（y–1）2=4B．
C．（x–1）2+（y–1）2=2D．（x–1）2+（y–2）2=5
【答案】C
【解析】因为圆心在弦的中垂线上，所有可设，由于为等腰直角三角形，所以圆心坐标为 ，圆的半径为，所以圆的方程为，故选C.
8. 若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为( )
A．2或1B．－2或－1
C．2D．1
【答案】C
【解析】若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，
则有且.
解得.故选C.
9. 若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为，则a＝________.
【答案】
【解析】圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦所在直线方程为，
设圆心到直线的距离为，
则，又公共弦长为，所以，
所以，所以，所以.又，所以，
故答案为：.
10. 已知点，若圆上存在点（不同于点），使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在以为直径的圆上，
因为圆上存在点（不同于点），使得，
圆与圆相交，
，解得，故选A.
11.已知圆：和圆：外切（其中），则的最大值为（ ）
A．4B．C．8D．
【答案】B
【解析】圆的标准方程为，
圆的标准方程为，
∵两圆外切，∴，
∵，∴，
∴，
∴的最大值为，当且仅当时取最值，
故选：B.
12．若直线与圆：相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出直线过的定点并判断与圆的位置关系，再求出垂直于经过该定点的圆的直径的弦长作答.
【详解】直线，即恒过定点，
而，即点在圆内，
因此当且仅当时，最小，
而圆的圆心，半径，，
所以.
故选：B

13．已知圆，与圆总相切的圆的方程是_________．
【答案】
【分析】根据圆标准方程可知圆心轨迹，由圆心轨迹与圆轨迹可确定圆上总有点与原点距离为4即可求出圆的方程.
【详解】圆标准方程为，
圆的圆心为，半径为2，
由圆心坐标可知圆心轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，
故圆上总有点与原点距离为4，由圆的标准方程可知圆的方程是：.
故答案为：.
14．（2023·山东德州·三模）若直线与圆相切于点，且交椭圆于两点，为坐标原点，射线与椭圆交于点，设的面积与的面积分别为的最大值为______；当取得最大值时，的值为______.
【答案】 1
【分析】联立直线和椭圆的方程，韦达定理，计算出弦长|AB|和，利用基本不等式即可求出最大值；先求出Q坐标，然后计算，，最后计算即可.
【详解】由直线与圆相切得：，所以.
设，将直线代入椭圆C的方程得：，，
因为，所以且.
所以，
则，
设点O到直线的距离为，
故的面积为：，
当即时，等号成立，故的最大值为1.
设，由直线与圆相切于点，可得，
则，可得，
所以，
因为，所以，
所以.
故答案为：1；.

【点睛】方法点睛：圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
15．（2023·广东韶关·高三统考模拟预测）已知点，，若线段与圆存在公共点，则的取值范围为_________.
【答案】
【解析】如图：当圆和线段AB相切时，圆的半径最小，当圆过B点时，圆的半径最大.
圆的圆心为，半径为，，
当圆和线段AB相切时，
，即，
，得，
当圆过B点时，
，得.
故答案为：.
命题解读
命题预测
复习建议
圆的方程是高中数学中必学知识点，在高考中圆的知识也是每年都出现，但单独考察圆的方程的题目比较少，至少近几年几乎没有出现，在圆的方程的考察方面主要是与直线相结合来出题，以基础题目为主。
直线与圆、圆与圆位置关系是高考考察的知识点之一，近几年高考中主要出现在选择或者填空题中，主要是考察综合问题，但难度不大，一般以基础题和中档题为主，出题形式比较灵活，多利用数形结合方法解题。
预计2024年的高考圆的方程还是以基础为主，注重课本基础知识，注重几何与代数转化思想的应用。
直线与圆、圆与圆位置关系出题还是以基础性的综合题为主，出题方式灵活多变，难度以中低档为主，注重数形结合的应用，多考察能力。
集合复习策略：
1.掌握圆的标准方程与圆的一般方程；
2.会计算与圆有关的最值等问题。
3.理解直线的倾斜角与斜率的概念，会计算斜率并运用斜率判定直线的位置关系；
4.掌握直线方程的各种形式。
位置关系
相离
相切
相交
图形
代数观点
Δ 0
几何观点
d > r
d=r
d R+r
d=R+r
R-r