新高考数学一轮复习考点精讲+题型精练专题28 椭圆的标准方程及几何性质（2份，原卷版+解析版）

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专题28 椭圆的标准方程及几何性质
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌模拟精练
➍专题训练
（新高考）
高考数学一轮复习
专题28 椭圆的标准方程及几何性质
→➊考点精析←
一、 椭圆的标准方程
椭圆定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
椭圆标准方程：
二、 椭圆的几何性质
→➋真题精讲←
1. （2023全国Ⅱ卷5）已知椭圆左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.
【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或（舍去），
故选：C.
2.（2023全国理科甲卷12） 设O为坐标原点，为椭圆两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值；
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．
【详解】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．
故选：B．
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．
3. 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；
方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
【详解】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
4. （2023全国理科乙卷）已知椭圆的离心率是，点在上．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
【答案】（1）
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.
【小问1详解】
由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
【小问2详解】
由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去y得：，
则，解得，
可得，
因为，则直线，
令，解得，即,
同理可得，
则
，
所以线段的中点是定点.
【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
5. （2023北京卷19）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
（1）求的方程；
（2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）结合题意得到，，再结合，解之即可；
（2）依题意求得直线、与的方程，从而求得点的坐标，进而求得，再根据题意求得，得到，由此得解.
【小问1详解】
依题意，得，则，
又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，
所以，即，则，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
因为椭圆的方程为，所以，
因为为第一象限上的动点，设，则，

易得，则直线的方程为，
，则直线的方程为，
联立，解得，即，
而，则直线的方程为，
令，则，解得，即，
又，则，，
所以
，
又，即，
显然，与不重合，所以.
6. （2023天津卷18）设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
【答案】（1）椭圆的方程为，离心率为.
（2）.
【解析】
【分析】（1）由解得，从而求出，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率.
（2）先设直线的方程，与椭圆方程联立，消去，再由韦达定理可得，从而得到点和点坐标.由得，即可得到关于的方程，解出，代入直线的方程即可得到答案.
【小问1详解】
如图，

由题意得，解得，所以，
所以椭圆的方程为，离心率为.
【小问2详解】
由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，
设直线的方程为，
联立方程组，消去整理得：，
由韦达定理得，所以，
所以，.
所以,,，
所以，
所以，即，
解得，所以直线的方程为.
→➌模拟精练←
1．（2023·江苏南京·统考二模）已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，设，根据余弦定理得到，计算得到离心率.
【详解】设椭圆的右焦点为，连接，，故四边形为平行四边形，
设，，则，，
，，
中，，
整理得到，即，故.
故选：A
2．（2023·河北唐山·统考三模）已知椭圆的两个焦点分别为，点为上异于长轴端点的任意一点，的角平分线交线段于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为的角平分线交线段于点，
所以，
所以由正弦定理得，，
又因为，，
所以，即，不妨设，如图：
则，解得，
所以，
由题意，，所以，
故选：D
3．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）海面上有相距4公里的，两个小岛，在的正东方向，为守护小岛，一艘船绕两岛航行，已知这艘船到两个小岛距离之和为6公里.在岛的北偏西处有一个信号站，岛到信号站的距离为公里.若这艘船航行的过程中一直能接收到信号站发出的信号，则信号站的信号传播距离至少为（ ）
A．公里B．5公里C．公里D．公里
【答案】D
【详解】由题意，船的航行轨迹是在一个长轴长为6焦距为4 的椭圆上，可设焦点坐标分别为，椭圆的标准方程为，
所以，，所以椭圆的方程为，
因为，，所以，
设椭圆上一点，
所以，
因为，所以，
所以，即，
故选：D.
4．（2023·浙江温州·统考三模）如图，是椭圆的左､右顶点，是上不同于的动点，线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设 ，
则，
，
两式相乘得,①
因为直径所对的角是直角,所以
所以 ,②
①除以②得，故，
故选：D
5．（2023·江苏·统考三模）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则PQ＋PF的最大值为（ ）
A．3B．6
C．D．
【答案】D
【详解】圆M：的圆心为，
设椭圆的左焦点为，如下图，由椭圆的定义知，，
所以，所以
，
当且仅当三点在一条直线上时取等，
，，，.
故选：D．
6．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）设的最小值为，最大值为，若正数，满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设，，则，，，则，
即点的轨迹是椭圆在坐标轴正半轴和第一象限的部分.
设，即，所以当，即时，取得最小值2，即（此时直线过椭圆的上顶点）.
直线与椭圆在第一象限相切时，最大.将代入椭圆方程并化简得，
所以，所以（负值已舍）.
所以.
，即，所以.
由知，，，
所以与均是单调减函数，
所以.所以A正确.
故选：A.
7．（多选）（2023·湖南岳阳·统考三模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点（其中A在B的左侧），记面积为S，则（ ）
A．B．时，
C．S的最大值为D．当时，
【答案】ABD
【详解】由题知，，，设，则，
对于A，根据椭圆的定义，，故A正确；
对于B，，故，
因为，即，所以，解得，故B正确；
对于C，因为，当且仅当，即时等号成立，即
所以，面积为，即的最大值为，故C错误；
对于D，，所以，
因为，
所以，
由点在椭圆C得，又，
所以，整理得，即，解得，
所以，所以面积为，故D正确；
故选：ABD.
8．（多选）（2023·山西运城·统考三模）已知点是椭圆上的动点，点且，则|PQ|最小时，m的值可能是（ ）
A．-1B．C．aD．3a
【答案】BD
【详解】因为点在椭圆上，所以，
所以
，若，当时，最小，
若，当时，最小.
故选：BD.
9．（多选）（2023·吉林长春·统考三模）已知直线与椭圆交于、两点，点为椭圆的下焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，，使得
B．当时，，使
C．当时，，使得
D．当时，，
【答案】BC
【详解】在椭圆中，，，，
由题意可得，上焦点记为，
对于A选项，设点、，
联立可得，
，
由韦达定理可得，，
，
所以，，A错；
对于B选项，设线段的中点为，
由题意可得，两式作差可得，
因为直线的斜率存在，则，所以，，
整理可得，又因为，消去可得，其中，
所以，，
所以，
，B对；
对于C选项，当时，直线的方程为，即，
联立可得，
，解得，
由韦达定理可得，，
，
同理，所以，，
因为，所以，当时，，使得，C对；
对于D选项，设线段的中点为，
由B选项可知，，即，即，
由可得，故点的横坐标的取值范围是，
而点到直线的距离为，
由可得，当且仅当点时，
取最小值，D错.
故选：BC.
10．（多选）（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则（ ）
A．B．
C．椭圆的离心率为D．直线的斜率的绝对值为
【答案】ABD
【详解】A选项，由题意得：，A正确；
B选项，设，则，
由椭圆定义可知：，，所以，，
因为，所以，解得，
故，，，
因为，所以，
故，B正确；
C选项，在中，，
由勾股定理得，解得，
椭圆的离心率为，C错误；
D选项，过点作于点，过点作于点，
则，
其中，故，
由勾股定理得，
则
故直线的斜率的绝对值为.
故选：ABD
11．（多选）（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）直线，与椭圆共有四个交点，它们逆时针方向依次为，则（ ）
A．
B．当时，四边形为正方形
C．四边形面积的最大值为
D．若四边形为菱形，则
【答案】ACD
【详解】A选项，可以看出，由椭圆的对称性知四边形是平行四边形，
设，，联立与得，，其中，解得，A正确.
B选项，由韦达定理得，，
，
平行四边形的高即为两平行线之间的距离，
当时，，，故，B错误.
C选项，，
设，，，
当且仅当，即时，等号成立，C正确.
D选项，若四边形是菱形，则，即
故，解得，，D正确.
故选：ACD
12．（2023·重庆·统考三模）已知，分别为椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为______．
【答案】
【详解】
设，则，
.
由正弦定理可得，，
所以，.
根据椭圆的定义可知，，
所以有，
所以有
.
因为，，所以，
令，则，设，
则函数在上单调递增.
又，，
所以，，即.
故答案为：.
13．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）直线与椭圆(m>0)有且仅有一个公共点P，则m＝_______，点P的坐标是________.
【答案】
【详解】法1：联立方程得，
得，
所以，得，所以.
法2：设，则处切线，
可化为，比对得，
代入椭圆方程得：，得.
得，所以，得，所以.
法3：椭圆长轴长，焦点.
由椭圆的定义知，椭圆上每一个点P，均满足，
椭圆上外部的每一个点P，均满足，直线与椭圆有且仅有一个公共点P，
则对于直线上任意一点，满足，当且仅当在点处时，等号成立，
即当在处时，取得最小值.求得关于直线对称的点为，
所以，
因此，椭圆方程为，P的坐标是.
故答案为：；
14．（2023·吉林·统考三模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过焦点的直线l与椭圆C相交于两点，椭圆C在两点处的切线交于点P，则点P的横坐标为______，若的垂心为点H，则的最小值是______．
【答案】 4
【详解】由椭圆C：可知，，
设的方程为，设，
则由题意可得切线的方程为，
同理切线的方程为，
即，则，
即，所以P点的横坐标为4；
又，
故的垂心为点H，则，
故的方程为，的方程为，
将两方程联立解得，即，
故，
当且仅当即时取得等号，
故的最小值为，
故答案为：4；
→➍专题训练←
1、（2023·山东烟台·统考三模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出的坐标，根据得出的坐标，根据在椭圆上列方程求解即可.
【详解】
不妨设在第一象限，由题意，的横坐标为，
令，解得，即.
设，又，，，
由可得：，解得，
又在椭圆上，即，
整理得，解得.
故选：A
2．（2023·山东淄博·统考三模）已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设椭圆的右焦点为，连接，，设，根据余弦定理得到，计算得到离心率.
【详解】设椭圆的右焦点为，连接，，故四边形为平行四边形，
设，，则，，
，，
中，，
整理得到，即，故.
故选：A
3．（2023·江苏·统考二模）在平面直角坐标系中，已知直线：，椭圆：，则下列说法正确的有（ ）
A．恒过点
B．若恒过的焦点，则
C．对任意实数，与总有两个互异公共点，则
D．若，则一定存在实数，使得与有且只有一个公共点
【答案】ACD
【分析】结合点斜式判断A，由直线过点列关系式判断B，根据直线与椭圆的位置关系判断CD.
【详解】方程可化为，
所以直线恒过点，A正确；
设椭圆的半焦距为，则点的坐标可能为或，
若直线恒过点，则，故，矛盾，
直线恒过点，则，故，所以，B错误；
联立，消可得，
，
由对任意实数，与总有两个互异公共点，
可得方程有个不相等的实数解，
所以，
所以，
所以，C正确；
因为，
所以时，则，即时，
可得，此时方程组有且只有一组解，
故与有且只有一个公共点，D正确.
故选：ACD.
4．（2023·江苏·二模）已知椭圆，点为右焦点，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，则（ ）
A．周长为定值B．直线与的斜率乘积为定值
C．线段的长度存在最小值D．该椭圆离心率为
【答案】BCD
【分析】通过取不同值求出周长即可判断A，设出点的坐标利用斜率公式化简即可判断B，确定线段取最小值的条件即可判断C，确定、的值即可求出离心率从而判断D．
【详解】该椭圆中，则，
所以离心率为，故D正确；
设，，，
则在、斜率都存在的前提下有，，
于是
为定值，故B正确；
由题意可设的方程为，
联立，消得，
则，
所以
，
则当时，，
所以线段的长度存在最小值，故C正确.
当时，直线与椭圆交于点和，
不妨取点为，得直线方程为，
求得交点为，
则，，，此时的周长为，
当时，联立，解得，不妨取，
则垂直于轴，此时，，，
此时的周长为，
显然周长不为定值，故A错误；
故选：BCD．
5．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知为椭圆：上两点，点满足，过点A与点的直线与直线交于点．
(1)当轴且A在轴上方时，求直线的斜率；
(2)已知，记的面积为，的面积为，求的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【详解】（1）设，则，
直线的方程为：，
令，得，
所以直线的斜率为．
（2）当直线斜率不存在时，由（1）知，则//；
当直线斜率存在时，设直线的方程为：（），，
联立方程，消去y得：，
则，，
直线的方程为：，
令，得，
可得
，
因为，即，
所以，则//；
综上所述：//.
可得，
因为，则，所以．
法二：设，则，
因为，则，整理得①，
由，得②，
联立①②得：，
由，整理得，
所以，
因为，则，所以．
6．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，上顶点为，点到直线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交双曲线右支于点，，点在上，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）直线方程为，即，
到直线的距离，化简得，
又离心率，即，且，
解得，，，
所以的方程为：.
（2）设直线的方程为，由于的渐近线的斜率为，所以.
将方程代入，化简得.
设，，则，，
，
设平行于与椭圆相切的直线为，
由得，
由得，
直线与之间的较小距离，
直线与之间的较大距离，
则面积的较小值为，
面积的较大值为，
设，，，则，，，
∴，.
所以面积的取值范围为.
7．（2023·安徽·校联考三模）如图，椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B，C分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，O为坐标原点，过点的直线l交椭圆于E，F两点，线段的中点为．点P是上在第一象限内的动点，直线AP与直线BC相交于点Q，直线CP与x轴相交于点M．
(1)求椭圆的方程；
(2)设的面积为，的面积为，求的值．
【答案】(1)
(2)16
【详解】（1）因为线段的中点为在y轴上，O为的中点，
所以轴，即轴，
设，，，代入椭圆的方程得，，
又，所以，即，
所以，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）由题意可得，，所以直线BC的方程的截距式为，即为．
设直线AP的斜率为k，点P的坐标为，则AP的方程为，
联立得，
所以，即，．
所以．直线CP的方程为，
设点M，Q的坐标分别为，，
在中，令得．
解得．
所以．
8．（2023·山西阳泉·统考三模）已知椭圆C：的左顶点为A，P为C上一点，O为原点，，，的面积为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设B为C的右顶点，过点且斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）不妨设点在轴的上方,由椭圆的性质可知.
是以为直角顶点的等腰直角三角形,
代人,得,整理得.
的面积为.
故椭圆的方程为.
（2）设直线的斜率为,直线的斜率为,
直线的方程为.
不妨设,则.
联立可得,
,则,
，即，
，
故得证.
9．（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知椭圆的离心率为e，且过，两点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若经过有两条直线，，它们的斜率互为倒数，与椭圆E交于A，B两点，与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是，的中点.试探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)为定值，定值为4，理由见解析
【详解】（1）由题意可得，解得，
则的方程；
（2）与的面积之比是定值，定值为4，理由如下：
由已知可得直线的斜率存在，且不为，也不为，
设直线，（且），联立可得，
方程的判别式，
设，，，
则，.
所以，，
所以，
因为两直线斜率互为倒数，则，
用代换点坐标中的得.
所以，
所以直线即
所以恒过定点，
设点、到直线的距离分别是，，
则.
10．（2023·山西晋中·统考三模）椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于两点（其中点位于x轴上方），当垂直于轴时，．
(1)求椭圆的方程；
(2)记直线的斜率分别为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)．
【详解】（1）因为椭圆的左焦点为，
所以，
将代入，得，
故，
解得，，
∴椭圆方程为．
（2）因为直线过点，且点位于x轴上方，
所以直线斜率不为0，设直线的方程为，
联立
消去x得，．
方程的判别式，
设，，由已知，
于是，
所以，，
又椭圆的左顶点的坐标为，右顶点的坐标为，
所以，
因为，，，
所以，，
因为，
所以，即，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以当时，取最小值，最小值为．
命题解读
命题预测
复习建议
椭圆的标准方程及其几何性质是高考必考重点之一，对于椭圆知识的考察主要是椭圆的定义及标准方程，椭圆的几何性质，其中椭圆的几何性质考察主要是离心率问题。椭圆的另一个考察重点是与直线等等相结合的问题，主要涉及方程组联立，根的判别式，根与系数的关系，弦长等等问题。在出题上选择、填空、都有可能涉及，必考解答题，其中多以压轴题出现。
预计2024年的高考椭圆一如既往的还是考察重点，其中解答题的压轴题可能性还是比较大，对于这部分考察多以中高档题为主。
集合复习策略：
1.理解椭圆的定义以及椭圆的标准方程的形式；
2.掌握椭圆的简单几何性质。
焦点位置
在x轴上
在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1 (a>b>0)
图形
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1 (a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1 (a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：x轴、y轴
对称中心：(0，0)
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)