新高考数学一轮复习考点精讲+题型精练专题29 双曲线的标准方程及几何性质（2份，原卷版+解析版）

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专题29 双曲线的标准方程及几何性质
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌模拟精练
➍专题训练
（新高考）
高考数学一轮复习
专题29 双曲线的标准方程及几何性质
→➊考点精析←
一、 双曲线的定义及标准方程
双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
双曲线的标准方程：焦点在x轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0);
焦点在y轴上的双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
二、 双曲线的几何性质
→➋真题精讲←
1. （2023全国甲卷8）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的一条渐近线不妨取，
则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
2. （2023全国乙卷11）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
3. （2023北京卷12）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.
【详解】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，
由双曲线的离心率为，得，解得，则，
所以双曲线的方程为.
故答案为：
4. （2023天津卷9）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案.
【详解】如图，

因为，不妨设渐近线方程为，即，
所以，
所以.
设,则，所以，所以.
因为,所以，所以，所以，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以双曲线的方程为
故选：D
5. （2023全国Ⅰ卷16）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________．
【答案】##
【解析】
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.
6. （2023全国Ⅱ卷21）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.
【答案】（1）
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上.
【小问1详解】
设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
【小问2详解】
由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动.
【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.
→➌模拟精练←
1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与双曲线C的一个交点为A，以为直径的圆与双曲线C的一个交点为B，若，A，B恰好共线，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【分析】设，在中，根据余弦定理可得，根据三角形面积公式可得，设,,则，从而可得，，代入，结合及离心率公式即可求解.
【详解】设，因为在双曲线上，故.
由余弦定理可得
，
所以.
所以.
由题意可得与为直角三角形，所以.
因为是的中点，所以是的中点.
设,,则.
所以.
故
.
所以,解得，.
所以,可得，故.
故选：B.
2．（2023·江苏常州·校考二模）已知双曲线的左焦点为，离心率为e，直线分别与C的左､右两支交于点M，N.若的面积为，，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．6D．7
【答案】D
【分析】作出辅助线，，由面积公式求出，利用双曲线定义和余弦定理求出，求出，进而求出.
【详解】连接，有对称性可知：四边形为平行四边形，故，，，
由面积公式得：，解得：，
由双曲线定义可知：，
在三角形中，由余弦定理得：
，
解得：，
所以，解得：，
故，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：D
3．（2023·江苏南通·二模）已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，有，，，由弦长公式可得，，四边形AMBN的面积为，解得，可求双曲线的离心率.
【详解】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示，
圆O：，圆心为，半径为，
设，，点P在双曲线上，，则有，，可得，
过O作MN的垂线，垂足为D，O为的中点，则，，
同理，，由，
四边形AMBN的面积为，
，化简得，则有，则C的离心率.
故选：D
4．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设切点为，，连接，则，，
过点作⊥轴于点E，则，故，
因为，解得，
由双曲线定义得，所以，
在中，由余弦定理得，
化简得，又，
所以，方程两边同时除以得，
解得，所以离心率.
故选：A
5．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知分别是双曲线的左，右焦点，点在双曲线上，，圆，直线与圆相交于两点，直线与圆相交于两点，若四边形的面积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可得：，
可得，整理得，
过点分别作的垂线，垂足分别为，
则为的中点，为的中点，则，
所以，
由题意可得：，
因为圆的半径为，
可得，
所以四边形的面积
，
可得，则，整理得，
所以的离心率.
故选：A.
6．（多选）（2023·湖南邵阳·统考三模）已知双曲线C的左､右焦点分别为，，双曲线具有如下光学性质：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示.若双曲线C的一条渐近线的方程为，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线C的方程为
B．若，则
C．若射线n所在直线的斜率为k，则
D．当n过点M（8，5）时，光由所经过的路程为10
【答案】AC
【详解】对于A ，由题意可知，因为双曲线C的一条渐近线的方程为，
所以，即，所以双曲线的方程为故A正确；
对于B，由，得，解得，
在中，，由勾股定理及双曲线的定义知，，
即，解得，故B错误；
对于C，由题意可知，双曲线的渐近线方程为，
由双曲线的性质可得射线所在直线的斜率范围为，故C正确；
对于D，由题意可知，，当过点时，
由双曲线定义可得光由所经过的路程为，故D错误.
故选：AC.
7．（多选）（2023·黑龙江大庆·统考三模）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别是，，渐近线方程为，M为双曲线E上任意一点，平分，且，，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的标准方程为
C．点M到两条渐近线的距离之积为
D．若直线与双曲线E的另一个交点为P，Q为的中点，则
【答案】ACD
【详解】不妨设为双曲线的右支上一点，延长，交于点，如图，
因为，所以，即，因为平分，所以为等腰三角形，
则为中点，又为中点，所以，
根据双曲线的定义得，，所以，，因为双曲线的渐近线方程为，所以，得，，，
所以双曲线的标准方程为，离心率为，所以A正确，B不正确；
设，代入，即，所以，点到两条渐近线的距离之积为，所以C正确；
设，，因为，在双曲线上，所以①，②，
①②并整理得，，因为，，
所以，，所以D正确.
故选：ACD.
8．（2023·山西晋中·统考三模）点A1，A2是双曲线的左、右顶点．若直线上存在点P，使得，则该双曲线的离心率取值范围为_________．
【答案】
【详解】解析：的外接圆半径为，
当该圆与直线相切或相交时满足题意，故，即，
所以该双曲线的离心率取值范围为.
故答案为：.
9．（2023·湖北·校联考三模）已知双曲线的右焦点为，折线与双曲线的右支交于两点（如图），则的面积为___________．
【答案】/
【详解】延长交双曲线右支于，如图所示：
由已知与关于轴对称，
设，，
则，
（其中），
由题意知，，
把代入中得，
由韦达定理得，，
．
故答案为：.
10．（2023·河北唐山·统考三模）已知双曲线，左､右顶点分别为，经过右焦点垂直于轴的直线与相交于两点，且.
(1)求的方程；
(2)若直线与圆相切，且与双曲线左､右两支分别交于，两点，记直线的斜率为，的斜率为，那么是否为定值？并说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，理由见解析
【详解】（1）设，把代入到的方程，得，即，
因为，所以，即，则双曲线的方程为.
（2）是否为定值,理由如下：
设，其中，，.
因为直线与圆相切，所以，即，
联立，消去并整理得，
所以，
因为，，，即，
所以
，
由已知.
.
即为定值.
→➍专题训练←
1．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知为双曲线的右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线的右支交于、两点，若在双曲线左支上存在点使得，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出点、的坐标，设点，其中，可得出，由已知可得出，可得出，整理可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围.
【详解】将代入双曲线的方程可得，可得，
不妨取点、，设点，其中，且，
，，
因为，所以
，
因为，则，所以，，
可得，即，
整理可得，因为，解得.
故选：D.
2．（2023·山东聊城·统考三模）已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设点在第一象限，根据双曲线的性质得到和关于轴对称，结合直线的方程求出点的坐标，再将点代入双曲线的方程得到关于和的齐次的方程，即可求解.
【详解】由题意，不妨设点在第一象限，
由双曲线的性质可得，直线和直线关于轴对称，
所以和关于轴对称，又，则设，，
又直线的方程为：，
所以代入点得：，解得：，
即点，
将点代入双曲线的方程得：，
化解得：，解得：或，
又因为，所以，
则双曲线的离心率，
故选：A.
3．（2023·山东青岛·统考三模）已知O为坐标原点，双曲线C：的左，右焦点分别为，，过C的右焦点且倾斜角为的直线交C右支于A，B两点，AB中点为W，，△的周长等于12，则（ ）
A．a＝3B．双曲线C的渐近线方程为
C．D．
【答案】D
【分析】运用韦达定理、弦长公式、双曲线定义及两点间距离公式可求得、的值，进而代入计算判断各个选项即可.
【详解】如图所示，

由题意知，，，其中，
设直线AB方程为，
联立，
设，，
则，，
则
所以①，
由双曲线定义知，，
所以的周长为，
所以②，
由①②得：③，
又因为为AB的中点，
所以，，
所以，
所以，解得：④，
由③④可得：，
所以双曲线方程为.
所以双曲线渐近线方程为，故A项错误、B项错误；
对于C项，，故C项错误；
对于D项，因为，所以，
所以，
所以，故D项正确.
故选：D.
4．（2023·山东日照·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（ ）
A．圆和圆外切B．圆心在直线上
C．D．的取值范围是
【答案】AC
【分析】根据双曲线的标准方程、定义和切线长定理结合几何关系和对勾函数性质即可求解，
【详解】双曲线的，
渐近线方程为，
两渐近线倾斜角分别为和，
设圆与轴切点为
过的直线与双曲线的右支交于两点，可知直线的倾斜角取值范围为，
的的横坐标为，
则由双曲线定义，
所以由圆的切线长定理知，
所以.
的横坐标均为，
即与轴垂直.
故圆和圆均与轴相切于，
圆和圆两圆外切.
选项A正确；
由双曲线定义知，中，，
则只能是的中线，不能成为的角平分线，
则圆心一定不在直线上.
选项B错误；
在中，，，
则由直角三角形的射影定理可知，
即
则，
故.
选项C正确；

由直线的倾斜角取值范围为，可知的取值范围为，
则的取值范围为，
故，
又，
则
令，
则在单调递减，在单调递增.
值域为
故的值域为.
选项D错误.
故选：AC.
5．（2023·山东潍坊·三模）函数的图象是双曲线，且直线和是它的渐近线．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．，B．对称轴方程是
C．实轴长为D．离心率为
【答案】ABD
【分析】由基本不等式可判断A，由双曲线的性质判断B，C，D.
【详解】时，，当且仅当即时取等号，
时，，
当且仅当即时取等号，故A正确；
依题意，此双曲线两条渐近线为和，，
由双曲线的对称性，双曲线的渐近线关于双曲线的对称轴对称，
故得双曲线的两条对称轴方程为，故B正确；
由双曲线的性质，双曲线实轴的两个顶点为对称轴与双曲线的两个交点，则由得双曲线实轴的两个顶点分别为
，，
故此双曲线的实轴长即为，故C错误；
依题意，此双曲线两条渐近线和的夹角为，
则渐近线与对称轴的夹角为，由双曲线的性质有，
所以，解得，故D正确.
故选：ABD
6．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知双曲线的左､右焦点分别为，点是的一条渐近线上的两点，且（为坐标原点），．若为的左顶点，且，则双曲线的离心率为_____
【答案】
【分析】根据，可得关于原点对称，从而可得四边形为平行四边形，再根据，可得四边形为矩形，再求出的坐标，求出，再利用余弦定理构造齐次式即可得解.
【详解】设双曲线的焦距为，因为，所以，所以关于原点对称，又，所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为矩形，因为以为直径的圆的方程为，
不妨设所在的渐近线方程为，则，
由，解得或，不妨设，
因为为双曲线的左顶点，所以，
所以，
又，由余弦定理得，
即，整理得，
所以离心率．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组或不等式组，求得、的值或不等式，根据离心率的定义求解离心率的值或取值范围；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程或不等式，然后转化为关于的方程或不等式求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值构建方程或不等式，求得离心率的值或取值范围.
7．（2023·安徽黄山·统考三模）如图，动双曲线的一个焦点为，另一个焦点为，若该动双曲线的两支分别经过点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)斜率存在且不为零的直线过点，交（1）中点的轨迹于两点，直线与轴交于点，是直线上异于的一点，且满足.试探究是否存在确定的值，使得直线恒过线段的中点，若存在，求出值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1）由题意以及双曲线定义可得：，

由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点，的椭圆（不含短轴端点），其方程为.
（2）设直线的方程为：，，
则由，知，所以，
令，得
因点在直线上，所以，变形得，代入式化简得
，若直线恒过线段的中点，则有
，整理得
由，得，所以

代入整理得，，解得，所以存在，即直线，使得直线恒过线段的中点.
8．（2023·山东烟台·统考三模）已知双曲线的焦距为4，点在上．
(1)求双曲线的方程；
(2)设双曲线的左、右焦点分别为，斜率为且不过的直线与交于点，若为直线斜率的等差中项，求到直线的距离的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入双曲线方程，结合已知可解；
（2）设直线的方程为，联立双曲线方程消元，韦达定理结合为直线斜率的等差中项列方程，再由点到直线距离公式即可求解.
【详解】（1）因为点在C上，所以①，
由题意知，，
所以②，
由①②解得，
故双曲线的方程为．
（2）设直线的方程为，
联立得，消可得，，
有韦达定理可得，，
且，得，
因为为直线的斜率的等差中项，
所以，将代入可得，
，
整理可得，，
当时，直线为，此时直线过焦点，不合题意，
所以，即，可得，
代入化简可得，，解得，
又因为，，
令可得，，
所以，，在上单调递减，
所以，．

【点睛】本题是直线与圆锥曲线的综合性问题，一般步骤：1、设直线和点坐标；2、联立直线和曲线方程消元，利用韦达定理得两根和与两根积；3、将相关条件和问题利用韦达定理表示即可求解.
9．（2023·山东德州·三模）已知分别为双曲线的左，右焦点，点在上，且双曲线的渐近线与圆相切．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点且斜率为的直线交双曲线的右支于两点，为轴上一点，满足，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)为定值，定值为
【分析】（1）将点代入双曲线上，结合双曲线渐近线与圆相切得到方程组，求出，得到答案；
（2）设直线方程为，与双曲线的的方程联立，得到两根之和，两根之积，求出的中点坐标，进而求出的垂直平分线的方程，求出，结合双曲线的定义，结合弦长公式求出定值.
【详解】（1）由题意点在双曲线上，可得，
圆的圆心为，半径为1，双曲线的渐近线与圆相切，
所以，即
解得，
故双曲线方程为；
（2）是定值，理由如下：
设直线方程为，由于直线交双曲线的右支于两点，故，
联立，可得，
当时，直线与双曲线的渐近线平行，此时直线和双曲线只有一个交点，不合题意；
故，此时，

设，则，
则，
即的中点坐标为，
因为为轴上一点，满足，故为的垂直平分线与轴的交点，
的垂直平分线的方程为：，
令，则得，即，
所以，
又，
又因为在双曲线的右支上，故，
故，即，
故，
即为定值，定值为.
【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
10．（2023·山东淄博·统考三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，焦距为4，右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R，S两点，且∠RAS＝60°.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，的角平分线记为l，过点M做l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点N，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知：△ARS是正三角形，则利用点A到渐近线的距离为列方程组求解；
（2）方法①设点，写出直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理把，表示为点的纵坐标的函数进行求解；方法②设直线的斜率为k，利用角平分线的向量表示，韦达定理，弦长公式，参数间的转化，最终把表示为关于k的函数进行求解.
【详解】（1）由题意可知：△ARS是正三角形，
所以点A到渐近线的距离为
所以，解得，
所以双曲线标准方程是：
（2）方法①：由双曲线的光学性质，可知点Q处的切线即为的角平分线.
设点，，则
设直线的方程是：，
由得：，
，解得：，
，
，，，，即直线：，
即：
由点到直线的距离公式得：
直线方程：，即：
由，得：
所以，由都在双曲线右支上，得：
所以
所以
所以，令，则
当，即时，的最大值为.
方法②：如图，由题意知点Q在双曲线左支上，设，则.
易知直线的斜率存在，设直线的斜率为k，
记，又为的平分线，则.
因为，，所以，
同理，又，
代入，得，
化简得.又，，所以，
由，，得，，
所以，.
所以直线的方程为，，
由点到直线的距离公式得：，
又直线MN的斜率为，且过点M，所以直线的方程为：
，
将其与联立得.
设，则，.
易知点N在第四象限，所以，得：，
.
故，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当且仅当时， 的最大值为.

【点睛】
命题解读
命题预测
复习建议
双曲线的定义、标准方差、几何性质一直是高考的必考重点知识之一，近几年的高考中多有涉及，从高考的出题来看多集中在选择题和填空题，以中档题为多，灵活多样。在考查中重点是注重学生分析问题和解决问题的能力，注重数学核心素养的考查。
预计2024年的高考对于双曲线的考查变化不是很大，还是以选择或者填空为主，但要注意新高考下的多选题的考查，注重能力的考查。
集合复习策略：
1.理解双曲线的定义以及双曲线的标准方程的形式；
2.掌握双曲线的简单几何性质。
标准方程
-=1(a>0,b>0)
-=1(a>0,b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
y≤-a或y≥a,x∈R
对称性
对称轴:坐标轴.对称中心:原点
顶点
A1(-a,0) A2(a,0)
A1(0,-a) A2(0,a)
渐近线
y=±x
y=±x
离心率
e=,e∈(1,+∞)
a,b,c的关系
c2= a2+b2 (c>a>0,c>b>0)
实、虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫作双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长