新高考数学一轮复习考点精讲+题型精练专题30 抛物线的标准方程及几何性质（2份，原卷版+解析版）

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专题30 抛物线的标准方程及几何性质
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌模拟精练
➍专题训练
（新高考）
高考数学一轮复习
专题30 抛物线的标准方程及几何性质
→➊考点精析←
一、 抛物线的定义及标准方程
1.满足以下三个条件的点的轨迹叫作抛物线:
(1)在平面内;
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等;
(3)定点不在定直线上.
2.抛物线的标准方程
二、 椭圆的几何性质
→➋真题精讲←
1. （2023全国Ⅱ卷10）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A. B.
C. 以MN为直径的圆与l相切D. 为等腰三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.

2. （2023北京卷6）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
3. （2023全国乙卷13）已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为，最后利用点的坐标和准线方程计算点到的准线的距离即可.
【详解】由题意可得：，则，抛物线的方程为，
准线方程为，点到的准线的距离为.
故答案为：.
4.（2023全国甲卷20） 已知直线与抛物线交于两点，且．
（1）求；
（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出；
（2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
【小问1详解】
设，
由可得，，所以，
所以，
即，因为，解得：．
【小问2详解】
因为，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，
由可得，，所以，，
，
因为，所以，
即，
亦即，
将代入得，
，，
所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
而或，所以，
当时，的面积．
【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.
5. （2023全国Ⅰ卷22）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）设，根据题意列出方程，化简即可；
（2）法一：设矩形的三个顶点，且，分别令，，且，利用放缩法得，设函数，利用导数求出其最小值，则得的最小值，再排除边界值即可.
法二：设直线的方程为，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可.
法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明.
【小问1详解】
设,则，两边同平方化简得，
故.
【小问2详解】
法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，

则,令，
同理令，且，则，
设矩形周长为,由对称性不妨设，，
则.，易知
则令,
令，解得，
当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，
则，
故,即.
当时,,且，即时等号成立，矛盾，故,
得证.
法二：不妨设在上，且，

依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0，
则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设，
直线的方程为，
则联立得，
，则
则，
同理，
令，则，设，
则，令，解得，
当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，
则，
，
但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故.
法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线,
矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于.
设 , 根据对称性不妨设 .
则 , 由于 , 则 .
由于 , 且 介于 之间,
则 . 令 ,
,则,从而
故
①当时,
②当 时,由于,从而,
从而又,
故,由此
，
当且仅当时等号成立，故，故矩形周长大于.
.
【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得，同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可.
→➌模拟精练←
1．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点，则下列判断不正确的是（ ）
A．若过点，则的准线方程为B．若过点，则
C．若，则D．若，则点的坐标为
【答案】D
【分析】根据直线与横轴的交点坐标、抛物线的定义，结合平面向量数量积的运算性质、根的一元二次方程根与系数的关系逐一判断即可.
【详解】设，对于A项，若过点，则点的坐标为，所以，
故的准线方程为，故A项正确；对于B项，由A可得的方程为，
与的方程联立，消去并整理，得，则，，
根据抛物线的定义，可得，，．
所以，所以，
故B项正确；
对于C项，将的方程与的方程联立，得，所以，．
设，则，所以，即，
由得，
即，
所以，所以，故C正确；
对于D项，由C知，，所以焦点，故D错误．
故选：D
【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义、一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
2．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知抛物线，F为抛物线C的焦点，下列说法正确的是（ ）
A．若抛物线C上一点P到焦点F的距离是4，则P的坐标为、
B．抛物线C在点处的切线方程为
C．一个顶点在原点O的正三角形与抛物线相交于A、B两点，的周长为
D．点H为抛物线C的上任意一点，点，，当t取最大值时，的面积为2
【答案】ABD
【分析】根据抛物线定义判断A，利用导函数与切线的关系求解B，设点，根据点在抛物线上即可求解C，利用抛物线定义结合图形分析得到直线GH与抛物线C相切时t取最大值，即可求解.
【详解】A选项：由抛物线C的定义知，
解得代入可得，
所以P的坐标为、，故A正确；
B选项：由得，，
切线方抛物线C在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，故B正确；
C选项：顶点在原点O的正三角形与抛物线相交与A、B两点，
设正三角形的边长为，则根据对称性可得
且点在抛物线上，所以，解得，
所以这个正三角形的边长为，故C错误；
D选项：F为抛物线的焦点，过H作HD垂直抛物线C的准线于点D，
如图，
由抛物线的定义知，
当t取最大值时，取最小值，
即直线GH与抛物线C相切.
设直线HG的方程为，
由得，
所以，解得，
此时，即，
所以，故，
所以，故D正确.
故选:ABD.
3．（2023·江苏常州·校考二模）如图，已知抛物线，过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线与圆于四点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由题知，，设直线为，联立方程，消去得，，然后根据直线与抛物线位置关系，焦点弦性质，韦达定理，求导逐个计算即可.
【详解】由题知，，
设直线为，
联立方程，
消去得，
所以，
由抛物线的定义知，
因为，
所以，故A错误；
又
所以，故B正确；
又，
由上述知，当时等号成立，
所以，故C正确；
又，
由上述知，
所以，
所以，其中，
令，
所以，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
所以，故D错误；
故选：BC
4．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知点为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，若的最小值为1，点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为
B．的最小值为
C．点在抛物线上，且满足，则
D．过作两条直线分别交抛物线（异于点）于两点，若点到距离均为，则直线的方程为
【答案】ACD
【分析】对于A：由焦半径公式求出,即可求出C的方程；对于B：设，表示出，利用基本不等式求出的最小值为；
对于C：利用几何法求出直线PQ的斜率，得到直线PQ的方程，与抛物线联立后，利用“设而不求法”求出；对于D：设，证明出、满足方程，即可判断.
【详解】对于A：设,则,当且仅当时取等号,故,故,故C的方程为,故A正确；
对于B：由C的方程为可得：.
设.由抛物线定义可得：.而，
所以.
当时，；
当时，（当且仅当，即时等号成立.）
所以的最小值为.故B错误；
于C：不妨设PQ的斜率为正，如图示：分别过P、Q作PC,QB垂直准线于C、B, 过Q作于D.
由抛物线定义可得：.
因为，不妨设，则.
所以在直角三角形中，.由勾股定理得：.
所以直线PQ的斜率为，所以直线PQ的方程为.
与抛物线联立，消去x得：，即.
由焦点弦的弦长公式可得：.故C正确；
对于D：设，则直线于是，整理得：.又，故有，即,故满足方程.
同理可得：也满足方程,所以直线MN的方程为.故D正确.
故选：ACD
【点睛】解析几何简化运算的常见方法：
（1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；
（2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算；
（3）巧用定义，简化运算.
5．（2023·江苏·统考二模）已知抛物线C：的焦点为F，过动点P的两条直线，均与C相切，设，的斜率分别为，，若，则的最小值为____________.
【答案】
【分析】根据已知条件设出过点P且与抛物线C的相切的方程，联立切线方程与抛物线方程，利用直线与抛物线相切的关系及韦达定理，得出过点的动直线，结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由，得，解得，
所以抛物线C：的焦点为.
设，过点P作抛物线C的切线方程为，
由，消去，得，
因为与抛物线C相切，
所以，即，
设，是方程的两根，则，
因为，
所以，即，
所以
所以点在直线上运动，
设到直线的距离为d，则，
当时，取得的最小值即为点到直线的距离，
所以到直线的距离的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是根据已知条件求出过点的动直线，进而将所求问题转化为点到直线的距离问题，结合点到直线的距离公式求解即可.
6．（2023·江苏南通·二模）已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为，则_______.
【答案】
【分析】不妨设点在第一象限，可得点，分析可知直线的倾斜角为，利用直线的斜率公式可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值.
【详解】如下图所示：
不妨设点在第一象限，联立可得，即点
易知轴，则轴，则，
所以，直线的倾斜角为，易知点，
所以，，整理可得，且有，故，
等式两边平方可得，即，
解得（6舍去）
故答案为：.
7．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）抛物线的焦点坐标是______.
【答案】
【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.
【详解】因为抛物线方程，焦点坐标为，且，
所以焦点坐标为，
故答案为：.
8．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作，交准线l于点A.若，则的长为_________.
【答案】
【分析】由抛物线的定义得出是等边三角形，再由定义得出点坐标，进而由距离公式求解.
【详解】不妨设点在第二象限，由抛物线定义可得，又，
所以是等边三角形．所以，则，
则，，则.
故答案为：
9．（2023·江苏南京·统考二模）已知拋物线和圆．
(1)若抛物线的准线与轴相交于点，是过焦点的弦，求的最小值；
(2)已知，，是拋物线上互异的三个点，且点异于原点．若直线，被圆截得的弦长都为2，且，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据数量积的坐标表示得到，再根据重要不等式计算可得；
（2）设，，，即可得到、的方程，由点到直线的距离公式得到、为方程的两根，即可得到，由可得，由斜率之积为，求出，即可得解.
【详解】（1）拋物线的焦点为，准线为，则，
设方程为，，，
由，消去整理得，所以，，
所以，，
则
，当且仅当时取等号，
即的最小值为.
（2）设，，，
则，，
圆的圆心为，半径，
所以，则，
同理可得，
所以、为方程的两根，
所以，又，所以，
所以，即，解得，
所以点坐标为或.
→➍专题训练←
1．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知抛物线的焦点为 ，准线为，为上一点，，垂足为，与轴交点为，若，且的面积为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由抛物线定义知，所以为等边三角形，为的中点，
所以，，
的面积，所以的方程为.
故选：A.
2．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知抛物线，点在上，直线与坐标轴交于两点，若面积的最小值为1，则（ ）
A．1B．C．1或D．或
【答案】B
【详解】
不妨设，由题可得无解，
否则若直线和抛物线有交点时，当时，面积将趋近，
故，解得.
由图可知，当恰好为斜率为的直线和抛物线的切点时，的面积最小.
令，不妨，则，
又点到直线的距离为，
则，解得（舍去）.
故选：B
3．（2023·江苏南通·三模）抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，以为直径的圆交轴于两点，为坐标原点，则的内切圆直径最小值为( ).
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意知，设直线的方程为，.
由得，，故，，.
，
以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到轴的距离为，
故.
设的内切圆半径为，由的面积公式得，，
即，故.
令，则且，
所以，
因为，所以在上单调递增；
当时，.
因此的内切圆直径最小值为.
故选：B
4．（多选）（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知抛物线：的焦点为，点为坐标原点，点在抛物线上，直线与抛物线交于点，则（ ）
A．的准线方程为B．
C．直线的斜率为D．
【答案】CD
【详解】由题意可知，，得，则抛物线方程为，所以抛物线的准线方程为，故A错误；
抛物线的焦点，，则直线的方程为，与抛物线方程联立，得，
设，，
，则，故B错误，C正确；
，得或，
当时，，当时，，
即，，，故D正确.
故选：CD
5．（多选）（2023·安徽黄山·统考三模）已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），过线段的中点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线的准线于点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线的斜率为
B．
C．的面积不小于的面积
D．
【答案】ACD
【详解】由抛物线，得，准线为.
设直线的方程为，即，设，，
联立，整理得，
则，，
所以，
.
对于A，因为，
所以，即，
联立，解得，
所以直线的方程为，即，
即直线的斜率为，故A正确；
对于B，由，，
所以，则，
代入抛物线，得，即，
则，，
所以，故B错误；
对于C，，
点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
则，
，
因为函数在上单调递增，且，
所以，故C正确；
对于D，，
即，
即，
即，
而，即，
所以，故D正确.
故选：ACD.
6．（2023·吉林·统考三模）已知点，动点M在直线上，过点M且垂直于x轴的直线与线段的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知圆的一条直径为，延长分别交曲线C于两点，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)
(2)36
【详解】（1）法一：设点，则．
由题意知，即，
整理得：，
则曲线C的方程为．
法二：由题意知，点P到点的距离等于其到直线的距离相等，
则点P的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线，
则曲线C的方程为.
（2）法一：由题意知，为圆的直径，则．
由题意知直线存在斜率，设为k，且，则直线的斜率为．
又OA所在直线为，
联立，解得：或，则不妨取S点横坐标为，
联立，解得：或，则不妨取A点横坐标为，
所以．
同理可得，
四边形的面积
,
令，,则,
因为S在上单调递增，所以当时，S有最小值36．
即当时，四边形面积的最小值为36
法二：设方程为，
由,得．
由,得,
∴,
同理可得：．
令,
则在上单调递增．
∴，
当即时，四边形面积的最小值为36
即四边形面积的最小值为36．
7．（2023·山西运城·统考三模）已知抛物线的焦点为，分别为上两个不同的动点，为坐标原点，当为等边三角形时，.
(1)求的标准方程；
(2)抛物线在第一象限的部分是否存在点，使得点满足，且点到直线的距离为2？若存在，求出点的坐标及直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，点，直线的方程为.
【详解】（1）由对称性可知当为等边三角形时，两点关于轴对称，
当为等边三角形时，的高为，
由题意知点在上，代入，得，解得，
所以的标准方程为.
（2）由（1）知，根据题意可知直线的斜率不为0，
设直线的方程为，，，，
联立，得，
所以，即，且，，
所以，
由，得，
所以，所以，即，
又点在上，所以，即，①
所以，解得，
又点在第一象限，所以，所以.
又点到直线的距离，化简得，②
联立①②解得，或（舍去），或（舍去）.
此时点，直线的方程为.
8．（2023·河北石家庄·统考三模）已知为抛物线上不同两点，为坐标原点，，过作于，且点.
(1)求直线的方程及抛物线的方程；
(2)若直线与直线关于原点对称，为抛物线上一动点，求到直线的距离最短时，点的坐标.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）如图，
由点，得直线的斜率为1，又，则直线的斜率为，
故直线的方程为，整理得直线的方程为
设，
联立，得，则，
由，得，
即，因为，所以，
所以，解得，故抛物线方程为
（2）设点是直线上任一点，则点关于原点的对称点在直线上，所以，
即直线的方程为.
设点，则，点到直线的距离，
当时，的最小值是，此时，.
9．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知抛物线，其焦点为，定点，过的直线与抛物线相交于，两点，当的斜率为1时，的面积为2.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若抛物线在，点处的切线分别为，，且，相交于点，求距离的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）过且斜率为1的直线为：，
代入拋物线方程可知，解得或，
则不妨令点M，N分别为，，
∴，∴，，
∴抛物线方程为：；
（2）设，，，切点，
由题意可知：对于抛物线，当时，；，；时，，
显然时，；时，，
若，则点处的切线为，即，
∵，∴，即，
同理，若，点处的切线为，
时，，则在顶点处的切线为，符合上述表达式，
∴点处的切线为；点处的切线为，
在这两条切线上，∴，
则的直线方程为，
∵在上，∴，即在定直线上，
∴长的最小值即为点到直线的距离，
此时.
命题解读
命题预测
复习建议
抛物线的标准方程及其几何性质是高考考查知识点之一，对于抛物线作为圆锥曲线的一个重要内容，高考主要考查抛物线的方程、焦点、准线及几何性质，在选择、填空和解答中都有可能出现，主要是考查学生的运算能力和数形结合能力。
预计2024年的高考抛物线的考查还是以常考查的知识点为主，不会变化很大，主要还是抛物线的方程和几何性质，注重数形结合和分析能力的考查。
集合复习策略：
1.理解抛物线的定义以及椭圆抛物线的标准方程的形式，准线等；
2.掌握椭抛物线的简单几何性质。
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
标准方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
直线y=0
直线x=0
焦点
F
F
F
F
离心率
e=1
准线方程
x=-
x=
y=-
y=
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下