新高考数学一轮复习考点精讲+题型精练专题32 等比数列及数列求和（2份，原卷版+解析版）

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专题32 等比数列及数列求和
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌模拟精练
➍专题训练
（新高考）
高考数学一轮复习
专题32 等比数列及数列求和
→➊考点精析←
一、 等比数列的概念及有关公式
1.等比数列的概念
一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。公差通常用字母q(q≠0)表示。
=q(n≥2,n∈N*q≠0且q为常数）。
2.等比中项
由三个数a，G，b组成的等比数列，G叫做数列的等比中项。=
3. 等比数列的通项公式
首项为a1，公比为q的等差数列{an}，通项公式为an=a1qn-1 .
4. 等比数列的前n项和公式
Sn==
二、 等比数列性质及有关计算
已知{an}是等比数列,Sn是{an}的前n项和.
（1）若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则有aman=apaq=ak2.
（2）数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比数列.
三、 等比数列求和
等比数列的前n项和公式
当q=1时, Sn= na1
当q≠1时，
（1）已知等比数列的第一项和第n项求解前n项和 Sn=
（2）已知等比数列的第一项和公比求前n项和Sn=
→➋真题精讲←
1.（2023全国Ⅱ卷8） 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A. 120B. 85C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；
方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．
2. （2023全国理科甲卷5）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A. B. C. 15D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出.
【详解】由题知,
即,即,即.
由题知,所以.
所以.
故选:C.
3. （2023全国文科甲卷13）记为等比数列的前项和．若，则的公比为________．
【答案】
【解析】
【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比.
【详解】若，
则由得，则，不合题意.
所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得.
故答案为：
4.（2023全国理科乙卷15） 已知为等比数列，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得.
【详解】设的公比为，则，显然，
则，即，则，因为，则，
则，则，则，
故答案为：.
5. （2023北京卷14）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则___________；数列所有项的和为____________．
【答案】 ①. 48 ②. 384
【解析】
【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.
【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，
则，且，可得，
则，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因为为等比数列，则，
且，所以；
又因为，则；
空2：设后7项公比为，则，解得，
可得，
所以.
故答案为：48；384.
6. （全国理科甲卷17）设为数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【小问1详解】
因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
【小问2详解】
因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
7. （2023天津卷19）已知是等差数列，．
（1）求的通项公式和．
（2）已知为等比数列，对于任意，若，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．
【答案】（1），；
（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为.
【解析】
【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得.
(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，，
取，当时，，取，即可证得题中的不等式；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论猜想，然后分别排除和两种情况即可确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和.
【小问1详解】
由题意可得，解得，
则数列的通项公式为，
求和得
.
【小问2详解】
(Ⅰ)由题意可知，当时，，
取，则，即，
当时，，
取，此时，
据此可得，
综上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
据此猜测，
否则，若数列的公比，则，
注意到，则不恒成立，即不恒成立，
此时无法保证，
若数列的公比，则，
注意到，则不恒成立，即不恒成立，
此时无法保证，
综上，数列的公比为，则数列的通项公式为，
其前项和为：.
【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益.
→➌模拟精练←
1．（2023·江苏·统考二模）已知等比数列的前项和为，，则使得不等式成立的正整数的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】由表示数列的前3项，根据等比数列得出，进一步计算得出，再代入已知不等式，求解的取值范围得出结果.
【详解】已知，
当时，，则；
当时，，则；
因为数列是等比数列，所以，即，
整理得，解得，，公比，
所以.
由不等式得
，
即，整理得，又，
所以，即，.
所以正整数的最大值为11.
故选：C.
2．（2023·广东佛山·统考一模）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（ ）
A．30B．10C．9D．6
【答案】B
【解析】为正数的等比数列，则，可得，
∵，
∴，
又∵，则，可得，
∴，解得，
故.
故选：B.
3．（2023·广东揭阳·校考模拟预测）已知正项等比数列中，，，数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．或D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，则
依题意，所以
又，所以
所以
故选：D
4．（2023·吉林长春·统考三模）已知等比数列的公比为（且），若，则的值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【详解】已知等比数列的公比为（且），若，
则，所以，解得.
故选：C.
5．（2023·山东日照·三模）已知数列满足，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】变换得到，得到是首项为，公比为的等比数列，，计算得到答案.
【详解】，，易知，故，
故是首项为，公比为的等比数列，，，
故.
故选：C.
6.（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知函数，满足，.若，函数，则（ ）
A．3036B．3034C．3032D．3030
【答案】A
【分析】根据题意利用累乘法可得，进而可得，再结合等差数列的性质以及函数的对称性分析运算.
【详解】因为，，即，
所以，
则，，
所以，
又因为，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点睛：累乘法：数列递推关系形如a＋1＝g(n)a，其中数列{g(n)}前n项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．
7．（2023·河北唐山·统考三模）设为等比数列的前项和，，，则__________.
【答案】/0.875
【详解】设等比数列的公比为，
由，得，则，
由等比数列求和公式可知．
故答案为：．
8．（2023·安徽合肥·校联考三模）是公差不为零的等差数列，前项和为，若，，，成等比数列，则________．
【答案】1012
【详解】设等差数列的首项为，公差为，则
因为，
所以，即，解得.
因为，，成等比数列，
所以，即，解得或（舍），
所以，解得，
所以，
所以.
故答案为：.
9．（2023·山东日照·三模）设函数的定义域为，满足，且当时，，则（ ）
A．
B．若对任意，都有，则的取值范围是
C．若方程恰有三个实数根，则的取值范围是
D．函数在区间上的最大值为，若存在，使得成立，则
【答案】ABD
【分析】由，可判断A，解出不等式可判断B，当时的图像有3个交点，即可判断C，根据条件可得当时，然后可得，然后可得，判断出数列的单调性可判断D.
【详解】函数的定义域为，满足，即，且当时，，
当时，，即，
当时，，即，
依次，当时，即
作出函数图象

对于A，代入，故正确；
对于B，对任意，都有，
，
，解得
，对任意，
都有，则的取值范围是，正确；
对于C，当时，的图像有3个交点，故错误；
对于D.
最大值
存在，使得成立，的最大值，
，则增，减，，
即，正确.
故选：ABD
10．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知数列满足
（I）证明：数列是等比数列；
（II）求数列的通项公式；
（III）若数列满足证明是等差数列
【答案】（I）略
（II）
（III）略
【详解】（I）证明：
是以为首项，2为公比的等比数列．
（II）解：由（I）得

（III）证明：
①
②
②－①，得
即 ③
④
④－③，得
即
是等差数列．
11．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，，数列满足．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)， ；，
(2) ．
【分析】（1）设等比数列的公比为，由求得公比，再由求解；进而由求解.
（2）由对于任意的恒成立，令，，求得其最小值即可.
【详解】（1）解：设等比数列的公比为，
由，显然，所以，解得，
由于，所以的通项公式为，；
所以，，
所以的通项公式为，．
（2）因为恒成立，即对于任意的恒成立．
令，，
则，
当时，所以，即的最小值为，
所以实数的取值范围为.
12．（2023·广东湛江·统考一模）已知，为数列的前n项和，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设数列的前n项和为，证明：．
【解析】（1），，．
由，得，
，
所以，故，
所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列．
（2），
故，
所以
．
13．（2023·广东惠州·统考模拟预测）数列中，，．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前项和．
【解析】（1）因为，所以，
因为，则，，，
以此类推可知，对任意的，，所以，，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，，所以，
又由题知
.
14．（2023·广东东莞·校考模拟预测）已知数列满足：，对，都有．
(1)设，求证：数列是等比数列；
(2)设数列的前n项和为，求．
【解析】（1）因为，所以．
又，所以，
化简得：．
因为，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）可得：，
所以，
所以
．
15．（2023·山东潍坊·三模）已知数列和满足．
(1)证明：和都是等比数列；
(2)求的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，两式相加、相减，结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）可得，，即可求出和的通项公式，从而得到，再利用分组求和法及等边数列求和公式计算可得.
【详解】（1）因为，，
所以，，
又由，得，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）得，，
所以，，
所以，
所以．
→➍专题训练←
题型一：分组求和
1．（2023·重庆·统考三模）已知数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
当时，，所以，
当时，也适合，
故.
（2），
所以数列的前n项和为
.
2．（2023·湖南邵阳·统考三模）记为等差数列{}的前n项和，已知，数列{}满足.
(1)求数列{}与数列{}的通项公式；
(2)数列{}满足，n为偶数，求{}前2n项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
，即，，.
，①
，②
所以①-②得，，
.当时，，符合.
.
（2），依题有：
.
记，则.
记，
则
.
所以.
3．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知数列的前项的积
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
当时，.
当时，，满足上式，
.
（2）
.
4．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知数列满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题意,
所以,
因为,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,
所以,即,
而,
所以
（2）方法一：由得
方法二：因为
所以.
题型二：裂项相消法
5．（2023·山西运城·统考三模）已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）①，
当时，，解得.
当时，②，
①-②，得，所以，
又，符合上式，故.
（2）由（1）知，则，
所以，
则
.
6．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知数列的前项和满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可知：，则时有，
∴，
∴，
∵，∴.经验证符合题意；
∴时，，经验证，符合题意.
∴.
（2）由（1）可知，∴
∵，
∴
∴
∴.
7．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考三模）已知数列中，，．
(1)记，证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)记，求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
故数列是公比为2的等比数列.
（2）因为，
所以，
所以，
所以.
（3）因为，
所以
．
题型三：错位相减法
8．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）已知数列各项都不为，前项和为，且，数列满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，求数列的前项和为
【答案】(1);;
(2)
【详解】（1）由，可得，两式相减得，整理得，因为数列各项都不为，所以数列是以为公比的等比数列．令，则，解得，故．
由题知，
所以
（2）由（1）得，所以，
，
两式相减得，
所以．
题型四：奇偶项讨论求和
9．（2023·湖南岳阳·统考三模）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为是等比数列，公比为，则 ，
所以，解得，
由，可得，解得，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）得，
当n为偶数时，
；
当n为奇数时；
综上所述：.
题型五：数列求积
10．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知数列的前项和为，满足，等差数列中.
(1)求和的通项公式；
(2)数列与的共同项由小到大排列组成新数列，求数列的前20的积.
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1），，当时，，两式相减得：，
即，而，解得，因此数列是首项为3，公比为3的等比数列，，
在等差数列中，由，得，解得，
则公差，，
所以和的通项公式分别为，.
（2）令数列的第m项与数列的第k项相同，即，
于是，
显然是4的正整数倍，要成立，
当且仅当为正偶数，因此数列与的共同项为，即，
所以.
题型六：数列中的结构不良题
11．（2023·安徽黄山·统考三模）已知数列的前项和为，.
(1)求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式;
(2)若 ，求数列的前项和.
从①和②这两个条件中任意选择一个填入上面横线上，并完成解答.注:若选择多个条件作答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)证明见解析，
(2)答案见解析
【详解】（1）依题意可得，
两式相减并化简得，所以
又，，解得.
所以，故
由于，所以，于是.
故数列是首项为3，公比为3的等比数列
，即
（2）选①: 由（1）得，则

两式相减得：

所以
选②: 由（1）得，所以
（i）当为偶数时，

（ii）当为奇数时，

综上所述
题型七：数列中的探究性问题
12．（2023·湖北·校联考三模）已知数列满足：．
(1)证明：时，；
(2)是否存在这样的正数，使得数列是等比数列，若存在，求出值，并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1） ①
时， ②
得时，
（2）假设存在正数使得数列为等比数列，由得，
由，得，因为为等比数列，，即，
．
下证：时，数列是等比数列：
由（1）知数列和均为公比的等比数列．
；
为奇数时，，n为偶数时，
∴对一切正整数n，都有，
，
∴存在正数，使得数列是等比数列．
13．（2023·江苏·统考三模）已知数列满足，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列，，使得成立．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）由已知，，∴，
∴，
显然与，矛盾，∴，
∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）∵，∴，
∴，
显然与，矛盾，∴，
∴∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴，①，
又∵由第（1）问，，②，
∴②①得，，∴存在，，两个等比数列，， 使得成立．
命题解读
命题预测
复习建议
等比数列是高考中必考重要知识点之一，每年的高考题都要涉及到这一知识点，应理解等比数列的概念，并掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，解决相应问题，在近年的考试中，等比数列的定义、判定、通项公式和前n项和公式的探求以及应用都是考查的重点。
预计2024年的高考等比数列主要考查等比数列的定义，通项公式，前n项和公式的应用，在出题方面灵活多变，难度以中高难度为主。
集合复习策略：
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，前n项和公式等；
2.会运用等比数列的有关公式和性质求解题目。