新高考数学一轮复习考点精讲+题型精练专题37 排列组合（2份，原卷版+解析版）

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专题37排列组合
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌模拟精练
➍专题训练
（新高考）
高考数学一轮复习
专题37排列组合
→➊考点精析←
一、 排列问题
1.排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列.
2.排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号“”表示 .
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= (n,m∈N*,且m≤n)
=n!; 0!=1
二、 组合问题及综合问题
1.组合
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，合成一组.
2.组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号“”表示 .
==(n,m∈N*,且m≤n)
==1; =; =+ =
→➋真题精讲←
1. （2023全国理科乙卷7）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A. 30种B. 60种C. 120种D. 240种
【答案】C
【解析】
【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.
【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，
故选：C.
2. （2023全国Ⅱ卷3）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A. 种B. 种
C. 种D. 种
【答案】D
【解析】
【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.
故选：D.
3. （2023全国Ⅰ卷13）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．
【答案】64
【解析】
【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.
【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；
综上所述：不同的选课方案共有种.
故答案为：64.
→➌模拟精练←
1．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1大的数（每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数（不为素数）能唯一地写成（其中是素数，是正整数，，），将上式称为自然数的标准分解式，且的标准分解式中有个素数．从120的标准分解式中任取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为（ ）
A．6B．13C．19D．60
【答案】B
【分析】首先根据的标准分解式得到，然后根据这5个素数的特点进行分类讨论，最后利用分类加法计数原理即可得解．
【详解】解 根据的标准分解式可得，
故从2，2，2，3，5这5个素数中任取3个组成三位数，有下列三种情况：
①选取3个2，可以组成1个三位数；②选取2个2后，再从3或5中选一个，可以组成个不同的三位数；③选取2，3，5，可以组成个不同的三位数．所以从120的标准分解式中任取3个素数，一共可以组成个不同的三位数.
故选：B．
2．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知多项式，则（ ）
A．11B．74C．86D．
【答案】B
【分析】利用二项式定理分别求出与一次项的系数，再相加即可.
【详解】对于，其展开通项公式为，
令，得，故，
对于，其展开通项公式为，
令，得，故，
所以.
故选：B.
3．（2023·广东揭阳·统考模拟预测）若，则（ ）
A．7B．C．D．7或9
【答案】D
【解析】∵，∴或，解得或．
故选：D．
4．（2023·广东揭阳·统考模拟预测）为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志愿者分配到甲､乙､丙､丁4个小区开展工作，则下列选项正确的是( )
A．共有625种分配方法
B．共有1024种分配方法
C．每个小区至少分配一名志愿者，则有240种分配方法
D．每个小区至少分配一名志愿者，则有480种分配方法
【答案】BC
【解析】对于选项AB:若需要将5名志愿者分配到甲､乙､丙､丁4个小区开展工作，则每个志愿者都有4种可能，根据计数原理之乘法原理，则有45=1024种不同的方法，故A错误，B正确，
对于选项CD：若每个小区至少分配一名志愿者，则有一个小区有两名志愿者，其余小区均有1名志愿者，由部分均匀分组消序和全排列可知，
把5名志愿者分成4组，有种不同的分配方法，
故C正确，D错误.
故选：BC.
5．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模）用红、黄、蓝三种颜色给下图着色，要求有公共边的两块不着同色.在所有着色方案中，①③⑤着相同色的有（ ）
A．96种B．24种C．48种D．12种
【答案】B
【详解】因为①③⑤着相同的颜色，可以有种，②④⑥按要求可随意着与①③⑤不同色的另外两种颜色，故有种，所以共有24种.
故选：B
6．（多选）（2023·吉林·统考三模）从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是（ ）
A．若4人中男生女生各选2人，则有18种选法
B．若男生甲和女生乙必须在内，则有12种选法
C．若男生甲和女生乙至少有1人在内，则有15种选法
D．若4人中既有男生又有女生，则有34种选法
【答案】AD
【详解】对选项A, 依题意，根据组合及分步计数原理，可知一共有种．所以该选项正确；
对选项B, 依题意，要从7名同学中选取4人，而甲乙必须在内，则相当于从5名同学中选取2人，一共有种．所以该选项不正确；
对选项C, 依题意，要从7名同学中选取4人，一共有种，而甲乙都不在内一共有种，
甲与乙至少要有1人在内有种．所以该选项错误；
对选项D, 依题意，假设全是男生一共有种，全是女生的情况没有，
既有男生又有女生一共有种．所以该选项正确.
故选：AD
7．（2023·山东淄博·统考三模）甲､乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有（ ）
A．36B．72C．144D．288
【答案】B
【分析】先求出第一排有2人来自甲校，1人来自乙校，根据分步乘法计数原理求出不同的站法种数. 同理可得，第一排有2人来自乙校，1人来自甲校，不同的站法种数.然后根据分类加法计数原理，相加即可得出答案.
【详解】第一排有2人来自甲校，1人来自乙校：
第一步，从甲校选出2人，有种选择方式；
第二步，2人站在两边的站法种数有；
第三步，从乙校选出1人，有种选择方式；
第四步，第二排甲校剩余的1人站中间，乙校剩余的2人站在两边的站法种数有.
根据分步乘法计数原理可知，不同的站法种数有.
同理可得，第一排有2人来自乙校，1人来自甲校，不同的站法种数有.
根据分类加法计数原理可知，不同的站法种数有.
故选：B.
8．（2023·山东德州·三模）已知数列，.满足条件“”的数列的个数为_________．
【答案】
【分析】，由题意可得，结合条件和组合数公式分别考虑计算可得所求数列个数.
【详解】设，
由题知，，可得，
1.当时，可得中有：三个，两个，一个；或两个，一个，三个；或一个，其余是；
这样的数列个数为；
2.当时，可得中有：四个，两个；或三个，一个，两个；或两个，四个；
这样的数列个数为；
3.当时，可得中有：四个，一个，一个；或三个，三个；
这样的数列个数为；
则满足条件的数列的个数共有.
故答案为：.
9．（2023·广东湛江·统考一模）已知函数，记为函数的2次迭代函数，为函数的3次迭代函数，…，依次类推，为函数的n次迭代函数，则______；除以17的余数是______．
【答案】 0
【解析】由题意，，
所以
又为正整数，
所以除以17的余数为0，
故答案为：
→➍专题训练←
1. 在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（ ）
A．8种B．12种C．20种D．24种
【答案】C
【解析】当甲排在第一位时，共有种发言顺序，
当甲排在第二位时，共有种发言顺序，
所以一共有种不同的发言顺序.
故选：C.
2. 人排成一排照相，甲排在乙左边(可以相邻，也可以不相邻)的排法总数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先5人全排列有种不同的排法，
甲排在乙左边的机会与排在右边的机会相同，
所以甲排在乙左边(可以相邻，也可以不相邻)的排法总数为种.
故选：B
3.模拟琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”．为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为．从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为．
所以所求的概率，
故选：B．
4.在应对某突发公共卫生事件中，某公司研究决定采用“办公室+远程协作”的办公方案，结合管理实际情况，对于符合办公室工作的员工，计划工作日内每天安排2位员工在办公室办公（每位员工每周仅在办公室办公2天）．已知该公司有5位员工符合条件，其中甲、乙两人必须安排在周一、周二两天同时办公，其余3位员工随机安排，则不同的安排方法有（ ）
A．6种B．8种C．9种D．12种
【答案】A
【解析】记剩余的3位员工分别为a、b、c，由题意可知，这3位员工只能安排在周三、周四、周五在办公室办公，所有的安排方法有（ab，ac，bc），（ab，bc，ac），（ac，ab，bc），（ac，bc，ab），（bc，ac，ab），（bc，ab，ac），共6种，
故选：A．
5.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走了几个单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点处的所有不同走法共有（ ）
A．21种B．22种C．25种D．27种
【答案】D
【解析】由题意，正方形的周长为8，抛掷三次骰子的点数之和为8或16，
①点数之和为8的情况有：；；；；，排列方法共有种；
②点数之和为16的情况有：；，排列方法共有种.
所以，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到起点处的所有不同走法共有种.
故选：D.
命题解读
命题预测
复习建议
排列组合是高考必考的知识点之一，主要考查分类、分步计数原理的应用，突出分类讨论思想、转化化归思想的应用，问题情景的设置越来越接近生活,能否将实际问题合理、正确地转化成排列组合问题，是解决这类试题的关键。
预计2024年的高考排列组合主要考查分类讨论思想和转化思想，主要以接近生活的实际情况为主，多以选择或填空为主。
集合复习策略：
1.理解排列组合的概念；
2.会运用排列组合计算题目。