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新高考数学一轮复习考点精讲+题型精练专题39 概率(2份,原卷版+解析版)
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专题39 概率
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌模拟精练
➍专题训练
(新高考)
高考数学一轮复习
专题39 概率
→➊考点精析←
一、 事件间的关系
1. 必然事件
在条件S下,一定会发生的事件叫作相对于条件S的必然事件.
2. 不可能事件
在条件S下,一定不会发生的事件叫作相对于条件S的不可能事件.
3. 随机事件
在条件S下,可能发生也可能不发生的事件叫作相对于条件S的随机事件
4. 事件的关系与运算
二、 随机事件的概率
1.频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.
(2)对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A发生的概率,简称为A的概率.
2.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围: 0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)= 1.
(3)不可能事件的概率P(F)= 0.
(4)①若事件A与事件B互斥,则P(A∪B)= P(A)+P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)= 1-P(B).
→➋真题精讲←
1. (2023全国理科甲卷6)某地的中学生中有的同学爱好滑冰,的同学爱好滑雪,的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A. 0.8B. 0.6C. 0.5D. 0.4
【答案】A
【解析】
【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.
【详解】同时爱好两项的概率为,
记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件,
则,
所以.
故选:.
2. (2023全国文科甲卷4)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用古典概率的概率公式,结合组合的知识即可得解.
【详解】依题意,从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,总的基本事件有件,
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有,
所以这2名学生来自不同年级的概率为.
故选:D
3. (2023全国理科乙卷5)设O为平面坐标系的坐标原点,在区域内随机取一点,记该点为A,则直线OA的倾斜角不大于的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意分析区域的几何意义,结合几何概型运算求解.
【详解】因为区域表示以圆心,外圆半径,内圆半径的圆环,
则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示,在第一象限部分对应的圆心角,
结合对称性可得所求概率.
故选:C.
4. (2023天津卷13)甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球,其总数之比为.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为.现从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为_________;将三个盒子混合后任取一个球,是白球的概率为_________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】先根据题意求出各盒中白球,黑球的数量,再根据概率的乘法公式可求出第一空;
根据古典概型的概率公式可求出第二个空.
【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为,所以总数为,
所以甲盒中黑球个数为,白球个数为;
甲盒中黑球个数为,白球个数为;
甲盒中黑球个数为,白球个数为;
记“从三个盒子中各取一个球,取到的球都是黑球”为事件,所以,
;
记“将三个盒子混合后取出一个球,是白球”为事件,
黑球总共有个,白球共有个,
所以,.
故答案为:;.
5. (2023全国Ⅱ卷12)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为,收到0的概率为;发送1时,收到0的概率为,收到1的概率为. 考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输 是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1).
A. 采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到l,0,1的概率为
B. 采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为
C. 采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为
D. 当时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB;利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C;求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.
【详解】对于A,依次发送1,0,1,则依次收到l,0,1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积,
它们相互独立,所以所求概率为,A正确;
对于B,三次传输,发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到l,0,1的事件,
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积,
它们相互独立,所以所求概率为,B正确;
对于C,三次传输,发送1,则译码为1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件和,
它们互斥,由选项B知,所以所求的概率为,C错误;
对于D,由选项C知,三次传输,发送0,则译码为0的概率,
单次传输发送0,则译码为0的概率,而,
因此,即,D正确.
故选:ABD
【点睛】关键点睛:利用概率加法公式及乘法公式求概率,把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和,相互独立事件的积是解题的关键.
→➌模拟精练←
1.(2023·广东江门·统考一模)衣柜里有灰色,白色,黑色,蓝色四双不同颜色的袜子,从中随机选4只,已知取出两只是同一双,则取出另外两只不是同一双的概率为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】从四双不同颜色的袜子中随机选4只,记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A,记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B,
事件A包含两种情况:“取出的袜子恰好有两只是同一双”,“取出的袜子恰好四只是两双”,则,
又,则,
即随机选4只,已知取出两只是同一双,则取出另外两只不是同一双的概率为.
故选:D.
2.(2023·广东深圳·统考一模)安排5名大学生到三家企业实习,每名大学生只去一家企业,每家企业至少安排1名大学生,则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】5名大学生分三组,每组至少一人,有两种情形,分别为2,2,1人或3,1,1人;
当分为3,1,1人时,有种实习方案,
当分为2,2,1人时,有种实习方案,
即共有种实习方案,
其中甲、乙到同一家企业实习的情况有种,
故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为,
故选:D.
3.(2023·广东佛山·统考一模)已知事件,,的概率均不为,则的充要条件是( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】对于A:因为,由,
只能得到,并不能得到,故A错误;
对于B:因为,
,
由,只能得到,
由于不能确定,,是否相互独立,故无法确定,故B错误;
对于C:因为,,
又,所以,故C正确;
对于D:由于不能确定,,是否相互独立,
若,,相互独立,则,,
则由可得,
故由无法确定,故D错误;
故选:C
4.(2023·广东惠州·统考模拟预测)在“2,3,5,7,11,13”这6个素数中,任取2个不同的数,这两数之和仍为素数的概率是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由题意得,6个数中任取2个数,共有种可能,2个素数之和仍为素数,
则可能为(2和3)、(2和5)、(2和11)共有3种可能,所求概率.
故选:A.
5.(2023·山东淄博·统考三模)设甲袋中有3个红球和4个白球,乙袋中有1个红球和2个白球,现从甲袋中任取1球放入乙袋,再从乙袋中任取2球,记事件A=“从甲袋中任取1球是红球”,记事件B=“从乙袋中任取2球全是白球”,则( )
A.事件A与事件B相互独立B.
C.D.
【答案】CD
【分析】由古典概型概率计算公式,以及条件概率公式分项求解判断即可.
【详解】现从甲袋中任取1球放入乙袋,再从乙袋中任取2球可知:
从甲袋中任取1球对乙袋中任取2球有影响,事件A与事件B不是相互独立关系,故A错误;
从甲袋中任取1球是红球的概率为:,从甲袋中任取1球是白球的概率为:,
所以乙袋中任取2球全是白球的概率为:
,故B错误;
,所以,故C正确;
,故D正确.
故选:CD
6.(2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模)甲袋中有3个红球,3个白球和2个黑球;乙袋中有2个红球,2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋,分别以,,表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”;再从乙袋中随机取出一球,以表示事件“取出的是白球”,则下列结论中正确的是( )
A.事件,,是两两互斥的事件B.事件与事件为相互独立事件
C.D.
【答案】ACD
【分析】根据互斥事件和相互独立事件即可判断A、B,由概率计算值即可判断C、D.
【详解】由题意可得,,,
显然事件,,是两两互斥的事件,故A正确,
,,
因为,故事件与事件不是相互独立,故B错误,
,故C正确,
,故D正确.
故选:ACD
7.(2023·山东潍坊·三模)已知事件,,,,则( )
A.B.C.D.
【答案】C
【分析】由条件概率的公式以及对立事件之间的关系列出方程组,解方程组即可得.
【详解】由条件概率公式可知,即①,
,即②,
而,所以③,
又已知④,
②③④联立可得.
故选:C
8.(2023·山东青岛·统考三模)将四位数2023的各个数字打乱顺序重新排列,则所组成的不同的四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的概率为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【分析】运用列举法求古典概型的概率即可.
【详解】将2023各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数(含原来的四位数)的基本事件有:2203、2230、3220、3022、2023、2320、2032、2302、3202共9个,
所组成的不同四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的基本事件有:2023、2320、2032、2302、3202共5个,
所以所组成的不同四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的概率为.
故选:A.
9.(2023·山东烟台·统考三模)教育部为发展贫困地区教育,在全国部分大学培养教育专业公费师范生,毕业后分配到相应的地区任教.现将5名男大学生,4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教,则( )
A.甲学校没有女大学生的概率为
B.甲学校至少有两名女大学生的概率为
C.每所学校都有男大学生的概率为
D.乙学校分配2名女大学生,1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为
【答案】C
【分析】计算出将5名男大学生,4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教共有的分法种数,再结合每个选项里的具体要求求出符合其要求的分法种数,根据古典概型的概率公式,即可求得相应概率,可判断A,B,C,利用对立事件的概率计算可判断D.
【详解】将5名男大学生,4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教,
共有 中分法;
对于A,甲学校没有女大学生,从5名男大学生选3人分到甲学校,
再将剩余的6人平均分到乙、丙学校,共有种分法,
故甲学校没有女大学生的概率为,A错误;
对于B,甲学校至少有两名女大学生的情况包括恰有两女大学生和恰有三女大学生,
共有种分法,
故甲学校至少有两名女大学生的概率为,B错误;
对于C,每所学校都有男大学生,则男生的分配情况为将男生分为3组:人数为或,
当男生人数为时,将4名女生平均分为2组,分到男生人数为1人的两组,再分到3所学校,
此时共有种分法;
当男生人数为时,将4名女生按人数分为3组,
人数的2组分到男生人数为的两组,2名女生的一组分到男生1人的那一组,再分到3所学校,
此时共有种分法;
故每所学校都有男大学生的分法有种,
则每所学校都有男大学生的概率为,C正确;
对于D,乙学校分配2名女大学生,1名男大学生共有种分法,
且丙学校没有女大学生的分法有种,
故乙学校分配2名女大学生,1名男大学生且丙学校没有女大学生的分法有种,
故乙学校分配2名女大学生,1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为,D错误,
故选:C
10.(2023·广东肇庆·统考一模)随着春节的临近,小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人写了一个祝福的贺卡,这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福,则( )
A.小王和小张恰好互换了贺卡的概率为
B.已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下,小张抽到小王写的贺卡的概率为
C.恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为
D.每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为
【答案】BC
【解析】对于A,四个人每人从中随机抽取一张共有种抽法,
其中小王和小张恰好互换了贺卡的抽法有种,
故小王和小张恰好互换了贺卡的概率为 ,A错误;
对于B,设小王抽到的是小张写的贺卡为事件A, 则,
小张抽到小王写的贺卡为事件B,
则已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下,
小张抽到小王写的贺卡的概率为 ,B正确;
对于C, 恰有一个人抽到自己写的贺卡的抽法有种,
故恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为 ,C正确;
对于D, 每个人抽到的贺卡都不是自己写的抽法共有种,
故每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为,D错误,
故选:
11.(2023·山东聊城·统考三模)甲、乙、丙三人相互做传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者将球传给另外两人的概率均为,且各次传球相互独立,则前3次传球中,只有1次将球传给了乙的概率为________.
【答案】/0.625
【分析】作图,将三次传输过程表达出来,根据图求概率.
【详解】如图,是传球过程,
如果第一次传给乙,第三次不传给乙,其概率为,
如果第一次传给丙,第二次或第三次传给乙,其概率为,
所以在前3次传球过程中,只有一次传给乙的概率;
故答案为:.
12.(2023·山东济南·统考三模)已知随机变量,其中,则___________.
【答案】0.2
【分析】由服从的分布类型可直接求出,,从而求出,再根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】因为,所以,
因为,所以,
又因为,所以,
因为,所以,且,
又因为,所以,所以.
故答案为:0.2.
13.(2023·广东广州·统考一模)为了拓展学生的知识面,提高学生对航空航天科技的兴趣,培养学生良好的科学素养,某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛,每位参赛学生答题若干次,答题赋分方法如下:第1次答题,答对得20分,答错得10分:从第2次答题开始,答对则获得上一次答题得分的两倍,答错得10分.学生甲参加答题竞赛,每次答对的概率为,各次答题结果互不影响.
(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率;
(2)记甲第i次答题所得分数的数学期望为.
①写出与满足的等量关系式(直接写出结果,不必证明):
②若,求i的最小值.
【解析】(1)甲前3次答题得分之和为40分的事件是:甲前3次答题中仅只答对一次的事件,
所以甲前3次答题得分之和为40分的概率.
(2)①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为,则,
甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为,
则,显然,
,甲第次答题所得分数的数学期望为,
因此第次答对题所得分数为,答错题所得分数为10分,其概率分别为,
于是甲第i次答题所得分数的数学期望为,
所以与满足的等量关系式是:,,且;
②由①知,,当时,,而,
因此数列以为首项,为公比的等比数列,,
于是,由得:,显然数列是递增数列,
而,则有正整数,
所以i的最小值是5.
→➍专题训练←
1.(多选)(2023·湖北·校联考三模)A,B为随机事件,已知,下列结论中正确的是( )
A.若A,B为互斥事件,则B.若A,B为互斥事件,则
C.若A,B是相互独立事件,D.若,则
【答案】ACD
【详解】A:由A、B是互斥事件,故,正确.
B:由知:,不正确.
C:由于A,B是相互独立事件,,
,正确.
D:,则,
,正确.
故选:ACD
2.(多选)(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知事件A,B满足,,则( )
A.若,则
B.若A与B互斥,则
C.若,则A与B相互独立
D.若A与B相互独立,则
【答案】BD
【详解】解:对于A,因为,,,所以,故A错误;
对于B,因为与互斥,所以,故B正确;
对于C,因为,即,所以,又因为,所以,故C错误;
对于D,因为与相互独立,所以与相互独立;因为,所以,所以,故D正确.
故选:BD
3.(多选)(2023·辽宁大连·统考三模)有甲、乙两种报纸供市民订阅,记事件E为“只订甲报纸”,事件F为“至少订一种报纸”,事件G为“至多订一种报纸”,事件H为“不订甲报纸”,事件I为“一种报纸也不订”,下列命题正确的是( )
A.E与G是互斥事件
B.F与I是互斥事件,且是对立事件
C.F与G不是互斥事件
D.G与I是互斥事件
【答案】BC
【详解】对于A选项,、事件有可能同时发生,不是互斥事件;
对于B选项,与不可能同时发生,且发生的概率之和为1,是互斥事件,且是对立事件;
对于C选项,与可以同时发生,不是互斥事件;
对于D选项,与也可以同时发生,不是互斥事件.
故选:BC.
4.(2023·湖北·校联考三模)李明到达了一个由6个进站口排列在一条直线上且相邻两进站口间隔100米的一个机场,他的进站口被随机安排为6个进站口之一,李明到达他的进站口之后,又被告知进站口被随机改为其他5个进站口之一,则他需要走不超过200米便可到达新的进站口的概率为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【详解】A,B,C,D,E,F表示六个进站口,李明若先到A进站口,不超过200米的进站口有B和C,此时符合条件的概率为,
同理先到B,C,D,E,F的符合条件的概率分别为,,,,,
故所求概率为.
故选:B.
5.(2023·安徽·校联考三模)如图,用,,三类不同的元件连接成一个系统,当正常工作且,至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知,,正常工作的概率依次是,,,已知在系统正常工作的前提下,则只有和正常工作的概率是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【详解】设事件A为系统正常工作,事件B为只有M和正常工作,
因为并联元件、能正常工作的概率为,
所以,又,
所以.
即只有M和正常工作的概率为.
故选:C.
6.(2023·湖南郴州·统考三模)篮球队的5名队员进行传球训练,每位队员把球传给其他4人的概率相等,由甲开始传球,则前3次传球中,乙恰好有1次接到球的概率为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【详解】由题意可知每位队员把球传给其他4人的概率都为,
由甲开始传球,则前3次传球中,乙恰好有1次接到球的情况可分为:
只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球,
则概率为,
故选:D
7.(2023·吉林·统考三模)“甲流”是甲型流感的简称,是由甲型流感病毒感染引起的急性呼吸道传染病,可呈季节性流行,北半球多在冬春季节发生.近期,我国多地纷纷进入“甲流”高发期,某地两所医院因发热就诊的患者中分别有被确诊为“甲流”感染,且到A医院就诊的发热患者人数是到B医院的三倍.现从到这两所医院就诊的发热患者中任选一人,则此人未感染“甲流”的概率是( )
A.0.78B.0.765C.0.59D.0.235
【答案】B
【详解】设到A医院就诊的发热患者人数是3m,则到B医院就诊的发热患者人数是m,
两所医院因发热就诊的患者中分别有被确诊为“甲流”感染,
则从到这两所医院就诊的发热患者中任选一人,
则此人未感染“甲流”的概率是,
故选:B
8.(2023·河北唐山·统考三模)假设有两箱零件,第一箱内装有5件,其中有2件次品;第二箱内装有10件,其中有3件次品.现从两箱中随机挑选1箱,然后从该箱中随机取1个零件,若取到的是次品,则这件次品是从第一箱中取出的概率为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【详解】设事件表示从第一箱中取一个零件,事件表示取出的零件是次品,
则,
故选:D
9.(多选)(2023·山西晋中·统考三模)下列各式中能够说明随机事件A与随机事件B相互独立的是( )
A.B.
C.D.
【答案】BC
【详解】,
,不能说明随机事件A与随机事件B相互独立,故A不正确;
,,
,化简得,
即随机事件A与随机事件B相互独立,故B正确;
,,即,随机事件A与随机事件B相互独立,故C正确;
,,由于不一定相等,不能说明A,B事件相互独立,故D不正确.
故选:BC
10. 给出下列四个命题:
①“三个球全部放入两个盒子,其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件
②“当为某一实数时可使”是不可能事件
③“明天全天要下雨”是必然事件
④“从100个灯泡(6个是次品)中取出5个,5个都是次品”是随机事件.
其中正确命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
【答案】D
【解析】对于①,三个球分为两组,有两种情况,和,所以①是正确的命题;
对于②,任意实数都有,所以②是正确的命题;
对于③,“明天全天要下雨”是偶然事件,所以③是错误的命题;
对于④,“从100个灯泡中取出5个,5个都是次品”,发生与否是随机的,所以④是正确的命题.
故选:D.
11. 在8名同学中,有6个是男生,2个是女生,从这8个同学中选出两个同学参加一项活动,则下列说法正确的是( )
A.事件“至少有一个是男生”是必然事件
B.事件“都是女生”是不可能事件
C.事件“都是男生”和“至少一个男生”是互斥事件
D.事件“至少一个女生”和“都是男生”是对立事件
【答案】D
【解析】在8个同学中,有6个是男生,2个女生,
从这8个同学中任意抽取2个同学,
在A中,事件“至少有一个是男生”是随机事件,
故A错误;
在B中,事件“都是女生”是随机事件,故B错误;
在C中,事件“都是男生”和“至少一个男生”能同时发生,
不是互斥事件,故C错误;
在D中,事件“至少一个女生”和“都是男生”既不能同时发生,
也不能同时不发生,是对立事件.故D正确.
故选:D.
12. 从一群游戏的小孩中抽出k人,一人一个苹果,让他们返回继续游戏,一段时间后,再从中任取m人,发现其中有n人曾分过苹果,则可估计这群小孩共有( )
A.k·人B.k·人
C.(k+m-n)人D.(k+m+n)人
【答案】B
【解析】设这群小孩共有x人,则=,解得x=.
故选:B.
13. 下列叙述正确的是( )
A.互斥事件一定不是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件
B.若事件发生的概率为,则
C.频率是稳定的,概率是随机的
D.5张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
【答案】B
【解析】对于A,互斥事件不一定是对立事件,但是对立事件一定是互斥事件,即A错误;
对于B,事件发生的概率为,则,即B正确;
对于C,概率是稳定的,频率是随机的,即C错误;
对于D,5张奖券中有一张有奖,甲先抽,乙后抽,那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性都为,即D错误,
即叙述正确的是选项B,
故选:B.
14. 近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾.经分拣以后数据统计如下表(单位:):根据样本估计本市生活垃圾投放情况,下列说法错误的是( )
A.厨余垃圾投放正确的概率为
B.居民生活垃圾投放错误的概率为
C.该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱
D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000
【答案】D
【解析】由表格可得:厨余垃圾投放正确的概率;可回收物投放正确的概率;其他垃圾投放正确的概率.
对A,厨余垃圾投放正确的概率为,故A正确;
对B,生活垃圾投放错误有,故生活垃圾投放错误的概率为,故B正确;
对,该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱,故C正确.
对D,厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均数,可得方差
,故D错误;
故选:D.
15.(2023·山西运城·统考三模)2023年9月第19届亚运会将在杭州举办,在杭州亚运会三馆(杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆)对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作,每个场馆至少分配1位志愿者,且甲、乙分配到同一个场馆,则甲分配到游泳馆的概率为_________.
【答案】
【详解】甲、乙分配到同一个场馆有以下两种情况:
(1)场馆分组人数为1,1,3时,甲、乙必在3人组,则方法数为种;
(2)场馆分组人数为2,2,1时,其中甲、乙在一组,则方法数为种,
即甲、乙分配到同一个场馆的方法数为.
若甲分配到游泳馆,则乙必然也在游泳馆,此时的方法数为,
故所求的概率为.
故答案为:
16.(2023·湖南邵阳·统考三模)一个袋子中有大小和质地相同的5个球,其中有3个红色球,2个白色球,从袋中不放回地依次随机摸出2个球,则第2次摸到红色球的概率为__________.
【答案】/0.6
【详解】由题意,
袋子中有相同的5个球,3个红球,2个白球,
不放回地依次随机摸出2个球,
∴第1次可能摸到1白色球或1红色球
∴第2次摸到红色球的概率为:,
故答案为:.
17.(2023·安徽马鞍山·统考三模)甲、乙等6名同学报名参加4个社区的服务工作,每人只能选一个社区,则甲、乙选到同一个社区的概率为________.
【答案】/0.25
【详解】设4个社区分别为A、B、C、D,
由题意,每名同学去A、B、C、D这4个社区任意一个的事件相互独立,甲同学有4中情况,乙同学也有4中情况,根据分布乘法共有种情况.
如甲乙到同一社区,则有A、B、C、D,4个社区中选择一个共4种情况.
故甲、乙选到同一个社区的概率为,
故答案为:.
18.(2023·湖北·校联考三模)袋中有形状和大小相同的两个红球和三个白球,甲、乙两人依次不放回地从袋中摸出一球,后摸球的人不知前面摸球的结果,则乙摸出红球的概率是___________.
【答案】/0.4
【详解】有两种情况:
①甲摸到红球乙再摸到红球得概率为:
②甲摸到白球乙再摸到红球得概率为:,
故乙摸到红球的概率.
故答案为:
19.(2023·浙江温州·统考三模)一位飞镖运动员向一个目标投掷三次,记事件“第次命中目标”,,,,则___________.
【答案】
【详解】由题意,,,
则;
,,
则;
故答案为:.
20.(2023·广东茂名·统考一模)学校举办学生与智能机器人的围棋比赛,现有来自两个班的学生报名表,分别装入两袋,第一袋有5名男生和4名女生的报名表,第二袋有6名男生和5名女生的报名表,现随机选择一袋,然后从中随机抽取2名学生,让他们参加比赛.
(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率;
(2)比赛记分规则如下:在一轮比赛中,两人同时赢积2分,一赢一输积0分,两人同时输积分.现抽中甲、乙两位同学,每轮比赛甲赢概率为,乙赢概率为,比赛共进行二轮.
(i)在一轮比赛中,求这两名学生得分的分布列;
(ii)在两轮比赛中,求这两名学生得分的分布列和均值.
【解析】(1)设“抽到第一袋”,“抽到第二袋”,
B=“随机抽取2张,恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”
由全概率公式得
(2)(i)设在一轮比赛中得分为,则的可能取值为-2,0,2,则
得分为的分布列用表格表示
(ii)设在二轮比赛中得分为,则的可能取值为-4,-2,0,2,4,则
得分为的分布列用表格表示为
21.(2023·山东日照·三模)某学校有两家餐厅,王同学第一天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去餐厅,那么第二天去餐厅的概率为0.6;如果第一天去餐厅,那么第二天去餐厅的概率为0.8.
(1)计算王同学第二天去餐厅用餐的概率;
(2)王同学某次在餐厅就餐,该餐厅提供5种西式点心,种中式点心,王同学从这些点心中选择3种点心,记选择西式点心的种数为,求的最大值,并求此时的值.
【答案】(1)0.7
(2)或10时,有最大值为
【分析】(1)根据条件概率公式和全概率公式求解即可;
(2)利用超几何分布表示出,列出不等式即可求最大值.
【详解】(1)设“第一天去餐厅用餐”,“第一天去餐厅用餐”,
“第二天去A餐厅用餐”,
根据题意得,
由全概率公式,得:,
所以,王同学第二天去A餐厅用餐的概率为0.7.
(2)由题意,的可能取值有:0,1,2,3,
由超几何分布可知,
令,若最大,则,
即,解得,
又∵, 所以,
易知当和时,的值相等,
所以当或10时,有最大值为,
即当的值为9或10时,使得最大.
22.(2023·广东汕头·统考一模)2023年1月14日,翘首以盼的汕头镇邦美食街开街啦!近年来,汕头多措并举,提升汕头美食品牌,推动潮汕菜产业做大做强,镇邦美食街的建成开街,是汕头美食产业的又一里程碑,同时“舌尖汕头”——汕头美食地图同步上线,以微信小程序的形式面向游客,并通过意见反馈功能收集游客满意度调查问卷.
(1)现将游客按年龄段分为老中青三个群体,通过问卷数据分析显示,老年群体中有的游客给予好评,中年群体有的游客给予好评,青年群体中有的游客给予好评,且老中青三个群体游客人数之比为,从这三个群体中随机抽取1名游客,求该游客给予好评的概率.
(2)镇邦美食街共有多家餐饮单位进驻,为维护市场价格秩序,营造公平竞争良好环境,汕头市监管部门到镇邦美食街举办餐饮明码标价现场指导会,现针对明码标价指导会前、会后游客满意度进行问卷回访调查,统计了名游客的数据,列出如下列联表:
请根据小概率值的独立性检验判断游客对汕头镇邦美食街餐饮价格满意度与监管部门举办明码标价现场指导会是否有关联.
▲参考公式:,
【解析】(1)设游客总人数为,则老年人有(人),
中年人有(人),青年人有(人),
所以给予好评的人数为,
所以从这三个群体中随机抽取1名游客,该游客给予好评的概率.
(2)零假设为:游客对汕头镇邦美食街餐饮价格满意度与监管部门举办明码标价现场指导会之间无关联,
根据列联表中的数据,经计算得到,
根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,
即认为游客对汕头镇邦美食街餐饮价格满意度与监管部门举办明码标价现场指导会之间有关联,此推断犯错误的概率不大于.
23.(2023·广东深圳·统考一模)某企业因技术升级,决定从2023年起实现新的绩效方案.方案起草后,为了解员工对新绩效方案是否满意,决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查:
一个袋子中装有三个大小相同的小球,其中1个黑球,2个白球.企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球,每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同,则按方式Ⅰ回答问卷,否则按方式Ⅱ回答问卷”.
方式Ⅰ:若第一次摸到的是白球,则在问卷中画“○”,否则画“×”;
方式Ⅱ:若你对新绩效方案满意,则在问卷中画“○”,否则画“×”.
当所有员工完成问卷调查后,统计画○,画×的比例.用频率估计概率,由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中满意度.
(1)若该企业某部门有9名员工,用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数,求X的数学期望;
(2)若该企业的所有调查问卷中,画“○”与画“×”的比例为4:5,试估计该企业员工对新绩效方案的满意度.
【解析】(1)每次摸到白球的概率,摸到黑球的概率为,
每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率,
由题意可得:该部门9名员工中按方式Ⅰ回答问卷的人数,
所以X的数学期望.
(2)记事件A为“按方式Ⅰ回答问卷”,事件B为“按方式Ⅱ回答问卷”,事件C为“在问卷中画○”.
由(1)知,,.
∵,
由全概率公式,则,解得,
故根据调查问卷估计,该企业员工对新绩效方案的满意度为40%.
24.(2023·山东淄博·统考三模)有一大批产品等待验收,验收方案如下:方案一:从中任取6件产品检验,次品件数大于1拒收;方案二:依次从中取4件产品检验;若取到次品,则停止抽取,拒收;直到第4次抽取后仍无次品,通过验收.
(1)若本批产品次品率为,选择“方案二”,求需要抽取次数X的均值;
(2)若本批产品次品率为,比较选择哪种方案容易通过验收?
【答案】(1)均值为
(2)答案见解析
【分析】(1)根据题意,分别求出的取值所对应的概率,然后按照期望的求解公式,即可得到结果.
(2)根据题意,分别表示出方案一与方案二对应的概率,通过比较,即可得到结果.
【详解】(1)随机变量需要抽取次数.
其分布列为:
,,
,;
.
需要抽取次数的均值为.
(2)按照方案一:通过验收的概率为:
按照方案二:通过验收的概率为:
当时,即,解得,
此时选择方案一更容易通过验收;
当时,,此时选择方案一、方案二结果相同;
当时,即,解得,
此时选择方案二更容易通过验收;
25.(2023·广东梅州·统考一模)甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛(每两支队比赛一场),比赛分三轮,每轮两场比赛,第一轮第一场甲乙比赛,第二场丙丁比赛;第二轮第一场甲丙比赛,第二场乙丁比赛;第三轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛,规定:比赛无平局,获胜的球队记3分,输的球队记0分.三轮比赛结束后以积分多少进行排名,积分相同的队伍由抽签决定排名,排名前两位的队伍小组出线.假设四支球队每场比赛获胜概率以近10场球队相互之间的胜场比为参考.
(1)三轮比赛结束后甲的积分记为,求;
(2)若前二轮比赛结束后,甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3、3、0、6,求甲队能小组出线的概率.
【解析】(1)(1)设甲的第场比赛获胜记为(,2,3),
根据表格可知甲对乙、丙、丁比赛获胜的概率分别为,
则有
.
(2)分以下三种情况:
(i)若第三轮甲胜丁,另一场比赛乙胜丙,
则甲、乙、丙、丁四个球队积分变为6、6、0、6,
此时甲、乙、丁三支球队积分相同,要抽签决定排名,甲抽中前两名的概率为,
所以这种情况下,甲出线的概率为;
(ii)若第三轮甲胜丁,另一场比赛乙输丙,
则甲、乙、丙、丁积分变为6、3、3、6,
此时甲一定出线,甲出线的概率为;
(iii)若第三轮甲输丁,另一场比赛乙输丙.
则甲、乙、丙、丁积分变为3、3、3、9,
此时甲、乙、丙三支球队要抽签决定排名,甲抽到第二名的概率为,
所以这种情况下,甲出线的概率为.
综上,甲出线的概率为.
26.(2023·广东佛山·统考一模)近几年,随着生活水平的提高,人们对水果的需求量也随之增加,我市精品水果店大街小巷遍地开花,其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口,风味较好,广受消费者的喜爱.在某水果店,某种猕猴桃整盒出售,每盒20个.已知各盒含0,1个烂果的概率分别为0.8,0.2.
(1)顾客甲任取一盒,随机检查其中4个猕猴桃,若当中没有烂果,则买下这盒猕猴桃,否则不会购买此种猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率;
(2)顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃,若当中没有烂果,则下一周继续网购一盒;若当中有烂果,则隔一周再网购一盒;以此类推,求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率
【解析】(1)由题意可得:甲不购买一盒猕猴桃情况为该盒有1个烂果且随机检查其中4个时抽到这个烂果,
甲购买一盒猕猴桃的概率.
(2)用“√”表示购买,“╳”表示不购买,乙第5周购买有如下可能:
故乙第5周网购一盒猕猴桃的概率.
27.(2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模)某学校组织“学习党的二十大”知识竞赛,某班要从甲、乙两名同学中选出一人参赛,选拔方案如下:甲、乙两名同学各自从给定的个问题中随机抽取个问题作答,在这个问题中,已知甲能正确作答其中个,乙能正确作答每个问题的概率都是,甲、乙两名同学作答问题相互独立.记甲答对题的个数为,乙答对题的个数为.
(1)求甲、乙恰好答对个问题的概率;
(2)若让你投票选择一名发挥较稳定的同学参赛,你会选择哪名同学?请说明理由.
【答案】(1)
(2)选择甲,理由见解析
【分析】(1)根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得;
(2)由已知得所有可能的取值为,,,求出所对应的概率,即可得到分布列,从而求出,,在由,根据二项分布的期望与方差公式求出,,即可判断.
【详解】(1)设“甲、乙恰好答对个问题的概率”为事件,
则
.
(2)由已知得所有可能的取值为,,,
所以,,,
所以的分布列为
所以,
,
由已知得,所以,,
因为,但是,
所以选择甲同学参赛.
28.(2023·山东聊城·统考三模)已知甲箱、乙箱均有6件产品,其中甲箱中有4件正品,2件次品;乙箱中有3件正品,3件次品.
(1)现从甲箱中随机抽取两件产品放入乙箱,再从乙箱中随机抽取一件产品,求从乙箱中抽取的这件产品恰好是次品的概率;
(2)现需要通过检测将甲箱中的次品找出来,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到能将次品全部找出时检测结束,已知每检测一件产品需要费用15元,设表示能找出甲箱中的所有次品时所需要的检测费用(单位:元),求的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析,
【分析】(1)由全概率公式计算从乙箱中抽取的这件产品恰好是次品的概率;
(2)计算的所有可能取值的概率,进而列出分布列,计算期望.
【详解】(1)设“从甲箱中抽取的两件产品均为正品”,“从甲箱中抽取的两件产品为一件正品,一件次品”,“从甲箱中抽取的两件产品均为次品”,“从乙箱中抽取的一件产品为次品”,由全概率公式,
得
.
(2)的所有可能取值为30,45,60,75.
则;
;
;
.
所以的分布列为
的数学期望(元).
29.(2023·黑龙江大庆·统考三模)天宫空间站是我国建成的国家级太空实验室,由天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱组成,已经开启长期有人驻留模式,结合空间站的相关知识,某职业学校的老师设计了以空间站为主题的编程训练,训练内容由“太空发射”、“自定义漫游”、“全尺寸太阳能”、“空间运输”等10个相互独立的编程题目组成,训练要求每个学生必须选择两个不同的题目进行编程练习,并且学生间的选择互不影响,老师将班级学生分成四组,指定甲、乙、丙、丁为组长.
(1)求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择“太空发射”的概率;
(2)记X为这四个人中选择“太空发射”的人数,求X的分布列及数学期望;
(3)如果班级有n个学生参与编程训练(其中n是能被5整除的正整数),则这n个学生中选择“太空发射”的人数最有可能是多少人?
【答案】(1);
(2)分布列见解析,数学期望为;
(3)答案见解析.
【详解】(1)由题意可知,每个人不选择“太空发射”的概率为,
所以甲、乙、丙、丁这4个人都不选择“太空发射”的概率为
故甲、乙、丙、丁这4个人中至少有一人选择“太空发射”的概率
(2)由已知的可能取值有,
因为每个人选择“太空发射”的概率为,且每个人是否选择“太空发射”相互独立,
所以服从二项分布:,
所以,
即,
,,,
则的概率分布列为:
所以的数学期望.
(3)设选择“太空发射”的人数最有可能为人,
则,
,
,即
即,也即
解得,
又因为,当,,
则不等式为,
所以,
即当被5整除时,选择“太空发射”的人数最有可能是人
30.(2023·江苏·统考三模)综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一.某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价.下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图,评分在区间[90,100),[70,90),[60,70),[50,60)上,分别对应为A,B,C,D四个等级.为了进一步引导学生对运动与健康的重视,初评获A等级的学生不参加复评,等级不变,对其余学生学校将进行一次复评.复评中,原获B等级的学生有的概率提升为A等级:原获C等级的学生有的概率提升为B等级:原获D等级的学生有的概率提升为C等级.用频率估计概率,每名学生复评结果相互独立.
(1)若初评中甲获得B等级,乙、丙获得C等级,记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望;
(2)从全体高三学生中任选1人,在已知该学生是复评晋级的条件下,求他初评是C等级的概率.
【答案】(1)分布列见解析,
(2)
【详解】(1)的所有可能取值为0,1,2,3,
,,
,,
∴的分布列如下:
.
(2)记事件A为“该学生复评晋级”,事件B为“该学生初评是C”,
.
31.(2023·湖南·铅山县第一中学校联考三模)某商场举行有奖促销活动,顾客当日消费金额达366元及以上的均可抽奖.每次抽奖都是从装有2个红球,8个白球的箱子中一次性取出2个小球,若取出2个红球,得200元本商场购物券;若取出1个红球和1个白球,得80元本商场购物券;若取出2个白球,得10元本商场购物券.
(1)求顾客抽一次奖获得购物券金额的分布列;
(2)为吸引更多的顾客,现在有两种改进方案,甲方案:在原方案上加一个红球和一个白球,其他不变.乙方案:在原方案的购物券上各加10元,其他不变;若你是顾客,你希望采用哪种方案.
【答案】(1)分布列见解析;
(2)顾客希望采用方案乙.
【详解】(1)设获得购物券的金额为,则可以取200,80,10,
,,.
的分布列为:
(2)方案甲,设获得购物券的金额为,则可以取200,80,10,
,,.
则.
方案乙,设获得购物券的金额为,.
因,所以顾客希望采用方案乙.
32.(2023·山东青岛·统考三模)甲、乙两人组团参加答题挑战赛,规定:每一轮甲、乙各答一道题,若两人都答对,该团队得1分;只有一人答对,该团队得0分;两人都答错,该团队得-1分.假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别为,.
(1)记X表示该团队一轮答题的得分,求X的分布列及数学期望;
(2)假设该团队连续答题n轮,各轮答题相互独立.记表示“没有出现连续三轮每轮得1分”的概率,,求a,b,c;并证明:答题轮数越多(轮数不少于3),出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.
【答案】(1)分布列见解析,;
(2),证明见解析.
【分析】(1)根据题意,求得的取值,再求对应的概率即可求得分布列;再根据分布列求即可;
(2)求得,再分析第轮得分情况和第轮得分情况,从而求得递推关系,通过的正负,即可判断和证明.
【详解】(1)由题可知是,的取值为,
;
;
故的分布列如下:
则.
(2)由题可知,;
经分析可得:
若第轮没有得分,则;
若第轮得分,且第轮没有得分,则;
若第轮得分,且第轮得分,第轮没有得分,则;
故,故;
因为,故,
故
;
故,且,
则,
所以答题轮数越多(轮数不少于3),出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大.
【点睛】关键点点睛:本题考察离散型随机变量分布列、数学期望的求解;第二问处理的关键是能够合理分析第轮的得分对概率的影响,从而求得递推关系;属综合困难题.
33.(2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模)某社区对55位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查,已知随机一人其口拭子核酸检测结果呈阳性的概率为2%,且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.
(1)假设该疾病患病的概率是0.3%,且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为98%,设这55位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性,求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率;
(2)根据经验,口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量,具体操作如下:将55位居民分成若干组,先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测,若结果显示阴性,则可断定本组居民没有患病,不必再检测;若结果显示阳性,则说明本组中至少有一位居民患病,需再逐个进行检测,现有两个分组方案:
方案一:将55位居民分成11组,每组5人;方案二:将55位居民分成5组,每组11人,试分析哪一个方案的工作量更少?
参考数据:,.
【答案】(1)14.7%
(2)方案二的工作量更少
【详解】(1)设事件为“核酸检测呈阳性”,事件为“患疾病”.
由题意可得,,,
由条件概率公式得:,
即,
故该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为14.7%.
(2)设方案一中每组的检测次数为,则的取值为1,6,
,,
所以的分布列为
所以,
即方案一检测的总次数的期望为.
设方案二中每组的检测次数为,则的取值为1,12,
,,
所以的分布列为
所以,
即方案二检测的总次数的期望为.
由,则方案二的工作量更少.
34.(2023·河北石家庄·统考三模)肝脏疾病是各种原因引起的肝脏损伤,是一种常见的危害性极大的疾病,研究表明有八成以上的肝病,是由乙肝发展而来,身体感染乙肝病毒后,病毒会在体内持续复制,肝细胞修复过程中形成纤维化,最后发展成肝病.因感染乙肝病毒后身体初期没有任何症状,因此忽视治疗,等到病情十分严重时,患者才会出现痛感,但已经错过了最佳治疗时机,对乙肝病毒应以积极预防为主,通过接种乙肝疫苗可以预防感染乙肝病毒、体检是筛查乙肝病毒携带者最好的方法,国家在《中小学生健康体检管理办法》中规定:中小学校每年组织一次在校学生健康体检,现某学校有4000名学生,假设携带乙肝病毒的学生占m%,某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者,如果对每个人的血样逐一化验,就需要化验次数4000次.为减轻化验工作量,统计专家给出了一种化验方法:随机按照k个人进行分组,将各组k个人的血样混合再化验,如果混合血样呈阴性,说明这k个人全部阴性;如果混合血样呈阳性,说明其中至少有一人的血样呈阳性,就需对该组每个人血样再分别化验一次.假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.
(1)若,记每人血样化验次数为X,当k取何值时,X的数学期望最小,并求化验总次数;
(2)若,设每人血样单独化验一次费用5元,k个人混合化验一次费用k+4元.求当k取何值时,每人血样化验费用的数学期望最小,并求化验总费用.
参考数据及公式:.
【答案】(1),次
(2),元
【详解】(1)设每人血样化验次数为,
由题意若混合血样呈阴性,则,若混合血样呈阳性,则,
所以
,
令,
则在上单调递减,在为单调递增,
,且,
取得最小值,最小值为0.1265.
所以,按16人一组,每个人血样化验次数的数学期望最小,
此时化验总次数为(次).
(2)设每组人,每组化验总费用为元,
若混合血样呈阴性则,若混合血样为阳性,则,
且,
所以
,
每个人血样的化验费用为:
,
当且仅当,即时取等号,
所以10个人一组,每个人血样化验费用的数学期望最小,
化验总费用为(元).
命题解读
命题预测
复习建议
概率是高考必考知识点,在高考中主要考查随机事件与现实生活密切联系的问题,题目难度以简单为主,多出选择或者填空。
预计2024年的高考概率的考查多与排列组合相联系出题多以选择或填空为主。
集合复习策略:
1.了解 事件的并、交与互斥等含义;
2.理解概率的性质,掌握随机事件的概率的运算。
定义
符号表示
包含关系
若事件A发生,事件B一定发生,则称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A (或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B,则称事件A与事件B相等
A=B
并事件(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A+B)
交事件(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件,则称事件A与事件B互斥
A∩B=⌀
对立事件
若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,则称事件A与事件B互为对立事件
A∩B=⌀且P(A∪B)=P(A)+P(B)=1
厨余垃圾”箱
可回收物”箱
其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
-2
0
2
P
-4
-2
0
2
4
P
对镇邦美食街餐饮价格是否满意
明码标价指导会前
明码标价指导会后
合计
满意
28
57
85
不满意
12
3
15
合计
40
60
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
队伍
近10场胜场比
队伍
甲
乙
甲
丙
甲
丁
乙
丙
乙
丁
丙
丁
第1周
第2周
第3周
第4周
第5周
√
√
√
√
√
√
╳
√
√
√
√
√
╳
√
√
√
╳
√
╳
√
√
√
√
╳
√
1
2
3
30
45
60
75
0
1
2
3
4
0
1
2
3
P
200
80
10
1
6
0.904
0.096
1
12
0.801
0.199
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