新高考数学一轮复习考点精讲+题型精练专题40 离散型随机变量及其分布列（2份，原卷版+解析版）

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专题40 离散型随机变量及其分布列
№考向解读
➊考点精析
➋真题精讲
➌模拟精练
➍专题训练
（新高考）
高考数学一轮复习
专题40 离散型随机变量及其分布列
→➊考点精析←
一、 离散型随机变量的分布列
1.离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列及其性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i=1，2，…，n)的概率P(X=xi)=pi，则以表格的形式表示如下:
将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n表示X的分布列.
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
① pi≥0(i=1，2，…，n);
② pi=1.
二、 常见离散型随机变量的分布列
1.两点分布：
若随机变量X服从两点分布，则其分布列为
其中p= P(X=1)称为成功概率.
(2)超几何分布：
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率P(X=k)=，k=0，1，2，…，m，即
其中m= min{M,n}，且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.
如果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布.
三、 离散型随机变量的数字特征
离散型随机变量的均值与方差
一般地,若离散型随机变量X的分布列为
1.均值
称E(X)= x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2.方差
称D(X)=它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差.
四、 均值与方差的计算
均值与方差的性质
1.E(aX+b)= aE(X)+b.(a,b为常数)
2.D(aX+b)= a2D(X).(a,b为常数)
3.若随机变量X服从两点分布,则E(X)= p，D(X)= p(1-p).
4.若X~B(n,p),则E(X)= np，D(X)= np(1-p).
→➋真题精讲←
1.（2923全国理科甲卷19） 一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.
（1）设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；
（2）实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．
附：
【答案】（1）分布列见解析，
（2）（i）；列联表见解析，（ii）能
【解析】
【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；
（2）（i）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表；
（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.
【小问1详解】
依题意，的可能取值为，
则，，，
所以分布列为：
故.
【小问2详解】
（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为，第21位数据为，
所以，
故列联表为：
（ii）由（i）可得，，
所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异.
2.（2023全国Ⅰ卷21） 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【小问1详解】
记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，
.
【小问2详解】
设，依题可知，，则
，
即，
构造等比数列，
设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即．
【小问3详解】
因为，，
所以当时，，
故．
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解．
→➌模拟精练←
1．（2023·江苏常州·校考二模）已知等差数列的公差为，随机变量满足，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据等差数列的通项公式和随机变量分布列的概率之和等于1即可求解.
【详解】因为随机变量满足，
所以，
也即，又因为是公差为的等差数列，
所以，则有，，，
所以，则，
，，
因为，所以，解得，
故选：.
2．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）2022年12月初某省青少年乒乓球培训基地举行了混双选拔赛，其决赛在韩菲/陈宇和黄政/孙艺两对组合间进行，每场比赛均能分出胜负．已知本次比赛的赞助商提供了10000元奖金，并规定：①若其中一对赢的场数先达到4场，则比赛终止，同时这对组合获得全部奖金；②若比赛意外终止时无组合先赢4场，则按照比赛继续进行各自赢得全部奖金的概率之比给两对组合分配奖金．已知每场比赛韩菲/陈宇组合赢的概率为，黄政/孙艺赢的概率为，且每场比赛相互独立．
(1)若在已进行的5场比赛中韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，求比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率；
(2)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则这5场比赛中两对组合之间的比赛结果共有多少不同的情况？
(3)若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），设，若赞助商按规定颁发奖金，求韩菲/陈宇组合获得奖金数X的分布列．
【答案】(1)
(2)28
(3)分布列见详解
【分析】（1）根据题意结合对立事件的概率求法运算；
（2）根据题意可得有四则可能，再结合组合数运算求解；
（3）根据题意分析可得奖金数X的可能取值，结合（2）求相应的概率，即可得结果.
【详解】（1）“比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金”的对立事件为“黄政/孙艺组合再连赢2场”，
故比赛继续进行且韩菲/陈宇组合赢得全部奖金的概率.
（2）设5场比赛中韩菲/陈宇组合赢场、黄政/孙艺组合赢场，用表示比赛结果，
若比赛进行了5场时终止（含自然终止与意外终止），则有：，
故共有种不同的情况.
（3）若韩菲/陈宇组合赢1场、黄政/孙艺组合赢4场，则韩菲/陈宇组合获得奖金数为0元；
若韩菲/陈宇组合赢2场、黄政/孙艺组合赢3场，则韩菲/陈宇组合需再连赢2场，其概率为，故韩菲/陈宇组合获得奖金数为元；
若韩菲/陈宇组合赢3场、黄政/孙艺组合赢2场，则韩菲/陈宇组合需再赢1场，其概率为，故韩菲/陈宇组合获得奖金数为元；
若韩菲/陈宇组合赢4场、黄政/孙艺组合赢1场，则韩菲/陈宇组合获得奖金数为10000元；
即奖金数X的可能取值有，则有
，
故奖金数X的分布列为：
3．（2023·江苏南京·统考二模）进行独立重复试验，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，以表示试验次数，则称服从以，为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为．
(1)若，求；
(2)若，，．
①求；
②要使得在次内结束试验的概率不小于，求的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式计算可得；
（2）①依题意可得，，再利用裂项相消法求和即可；
②①可知，即，令，判断的单调性，再由特殊值即可求出的取值范围，即可得解.
【详解】（1）因为，所以.
（2）①因为，，，
所以，，
所以
；
②由①可知，所以，
令，则，
所以单调递减，又，，
所以当时，则的最小值为.
4．（2023·江苏常州·校考二模）《周易》包括《经》和《传》两个部分，《经》主要是六十四卦和三百八十四爻，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则六十四卦代表的数表示如下：
(1)成语“否极泰来”包含了“否”卦和“泰”卦，试分别写出这两个卦所表示的十进制数；
(2)若某卦的符号由四个阳爻和两个阴爻构成，求所有这些卦表示的十进制数的和；
(3)在由三个阳爻和三个阴爻构成的卦中任取一卦，若三个阳爻均相邻，则记5分；若只有两个阳爻相邻，则记2分；若三个阳爻均不相邻，则记1分．设任取一卦后的得分为随机变量X，求X的概率分布和数学期望．
【答案】(1)7；56；
(2)630；
(3).分布列见解析
【分析】（1）先写出给定符号所表示的二进制数，再将二进制数转化成十进制数即可；
（2）先列出该卦所表示的所有二进制数，再求和；
（3）根据相邻问题捆绑、不相邻问题插空分别求得概率，即可求得分布列，进而求得数学期望.
【详解】（1）“否”卦所表示的二进制数为000111，转化为十进制数是，
“泰”卦所表示的二进制数为111000，转化为十进制数是.
（2）因为该卦的符号由四个阳爻和两个阴爻构成，
所以该卦所表示的二进制数共有个，分别为：001111,010111,011011,011101,011110,100111,101011,101101,101110,110011,110101,
110110，111001,111010,111100，
因为这15个数中，每个位置都是5次0,10次1，
所以所有这些卦表示的十进制数的和为.
（3）依题意可得，
则，
所以X的概率分布列如下：
所以，即数学期望为.
5．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量，样本平均数，样本方差；乙镇的样本容量，样本平均数，样本方差．
(1)求由两镇样本组成的总样本的平均数及其方差；
(2)为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：
每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．
当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X，求．
参考数据：．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用平均数的计算公式求得，再利用方差的计算公式进行转化求解即可得解；
（2）先根据题意得到的所有可能取值，再利用独立事件的概率公式分别求得各个取值的概率，从而利用数学期望的计算公式即可得解.
【详解】（1）根据题意，得，
因为，
同理，
所以
，
所以总样本的平均数为，方差.
（2）依题意可知，的所有可能取值为，
设“第场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获胜”为事件，“第场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”为事件，
则，
所以，
，
，
所以.
6．（2023·广东广州·统考一模）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.
(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
(2)记甲第i次答题所得分数的数学期望为.
①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：
②若，求i的最小值.
【解析】（1）甲前3次答题得分之和为40分的事件是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件，
所以甲前3次答题得分之和为40分的概率.
（2）①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为，则，
甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为，
则，显然，
，甲第次答题所得分数的数学期望为，
因此第次答对题所得分数为，答错题所得分数为10分，其概率分别为，
于是甲第i次答题所得分数的数学期望为，
所以与满足的等量关系式是：，，且；
②由①知，，当时，，而，
因此数列以为首项，为公比的等比数列，，
于是，由得：，显然数列是递增数列，
而，则有正整数，
所以i的最小值是5.
→➍专题训练←
1. 已知随机变量的分布列为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】随机变量的分布列为，
可得，解得，
所以
故选：A
2. 随机变量X的分布列如下，的值为（ ）
A．0.6B．0.7C．0.8D．0.9
【答案】C
【解析】随机变量X的分布列知：
，
．
故选C.
3.将个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为、、、的个盒子，以表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（表示第号，第号盒子是空的，第个盒子至少个球），则、分别等于（ ）
A．、B．、C．、D．、
【答案】B
【解析】由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，
，，
，，
所以，，
因此，.
故选：B.
4.已知某7个数的期望为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这8个数的期望为记为，方差记为，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】设原来7个数分别为
由，则
由
则
所以
故选：B
5.已知随机变量的分布列为（ ）
若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可知随机变量的期望，
所以方差，
解得，故选A
6.某小组有名男生、名女生，从中任选名同学参加活动，若表示选出女生的人数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，；
当时，，
则，
故选：C.
7.已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为的分布列服从两点分布，所以，
因为，所以
故选：C
8.已知随机变量服从二项分布，其期望，随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，则，则，则，
故选：D.
9.设随机变量的分布列为，则，的值分别是（ ）
A．0和1B．和C．和D．和
【答案】D
【解析】设随机变量的概率分布为，
则，
，
，故选D.
10.从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选三人中男生人数为，则数学期望______.
【答案】2
【解析】的可能值为，
则；；.
故分布列为：
故.
故答案为：2.
11.某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率每人均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；
（2）设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为，，求随机变量，的期望，和方差，，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好？
【解析】（1）甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；
（2）甲班级能正确回答题目人数为，的取值分别为1，2，
，，
则，，
乙班级能正确回答题目人数为，的取值分别为0，1，2，
∵，∴，，
由，可知，由甲班级代表学校参加大赛更好．
12.过去五年，我园的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段.目前“精准扶贫”覆盖了全部贫困人口，东部帮西部，全园一盘棋的扶贫格局逐渐形成.到2020年底全国830个贫困县都将脱贫摘帽，最后4335万贫困人口将全部脱贫，这将超过全球其他国家过去30年脱贫人口总和.2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，越是到关键时刻，更应该强调“精准”.为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组，为一“对点帮扶”农户引种了一种新的经济农作物，并指导该农户于2020年初开始种植.已知该经济农作物每年每亩的种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：
（1）设2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列；
（2）2020年全国脱贫标准约为人均纯收入4000元.假设该农户是一个四口之家，且该农户在2020年的家庭所有支出与其他收入正好相抵，能否凭这一亩经济农作物的纯收入，预测该农户在2020年底可以脱贫？并说明理由.
【解析】（1）由题意知：
，，
，，
所以X的所有可能取值为：23000，17000，12500.
设A表示事件“作物产量为900kg”，则；
B表示事件“作物市场价格为15元/kg”，则.
则：，
，
，
所以X的分布列为：
（2）由（1）知，2020年该农户种植该经济农作物一亩的预计纯收入为
（元）
，
凭这一亩经济农作物的纯收入，该农户的人均纯收入超过了国家脱贫标准，
所以，能预测该农户在2020年底可以脱贫.
13．（2021·北京高考真题）为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；
（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果)．
【答案】（1）①次；②分布列见解析；期望为；（2）．
【分析】（1）①由题设条件还原情境，即可得解；
②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解.
【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意，可以取20，30，
，，
则的分布列:
所以；
（2）由题意，可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，
则.
14．（2021·全国高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）类．
【分析】（1）通过题意分析出小明累计得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）与（1）类似，找出先回答类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．
【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以的分布列为
（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．
15．（2021·全国高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）利用公式计算可得.
（2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点.
（3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明.
【详解】（1）.
（2）设，
因为，故，
若，则，故.
，
因为，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
若，因为在为增函数且，
而当时，因为在上为减函数，故，
故为的一个最小正实根，
若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，
综上，若，则.
若，则，故.
此时，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
而，故，
又，故在存在一个零点，且.
所以为的一个最小正实根，此时，
故当时，.
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.
命题解读
命题预测
复习建议
离散型随机变量及其分布列是近几年高考常考知识点，出题上多与实际想联系，重点在与考查分析问题和计算问题的能力，多与其它知识相结合，要求比较高，出题方向上选择、填空或解答都有可能涉及。
离散型随机变量的数字特征是高考常考知识点之一，常常出现在客观题或主观题方面，这部分内容比较零散，知识点多，出题不好琢磨，复习中主要是夯实基础，掌握做题方法。
预计2024年的高考离散型随机变量的数字特征大概率会在解答题中出题，要掌握计算公式和计算方法，注意分析问题，主要还是考查分析问题的能力。
预计2024年的高考对于离散型随机变量及其分布列的考查对分析题目的能力要求会更高，对计算能力的考查难度不减，出题以解答题为主。
集合复习策略：
1.理解离散型随机变量的概念及其分布列性质；
2.掌握常见的离散型随机变量分布列的求解。
3.理解离散型随机变量的分布列；
4.掌握离散型随机变量的数字特征的计算。
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
0
1
P
1-p
p
X
0
1
…
m
P
…
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
对照组
实验组
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40
0
2500
7500
10000
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000000
0
剥
000001
1
比
000010
2
观
000011
3
…
…
…
…
1
2
5
0
1

1
2
3
该经济农作物亩产量（kg）
900
1200
该经济农作物市场价格（元/kg）
15
20
概率
概率
X
23000
17000
12500
P