新高考数学一轮复习单元提升卷10 平面解析几何（2份，原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．经过点，且与直线垂直的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，得到所求直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】由题意知，直线的斜率为，
因为所求直线与直线垂直，所以所求直线的斜率满足，即，
又因为所求直线过点，所以方程为，即.
故选：C.
2．椭圆的焦点为，上顶点为，若，则实数的值为（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】C
【分析】由，得为等边三角形，则可得，所以，再由椭圆方程求得，代入可求出的值
【详解】由，得，则，
因为椭圆的焦点为，上顶点为， ，
所以为等边三角形，所以，
所以，所以，
所以，所以，解得，
故选：C
3．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】应用点线距离公式及几何法求圆的弦长公式列方程求半径即可.
【详解】由圆心为原点，则圆心到直线距离，又，

所以.
故选：C
4．已知双曲线：的左､右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，，，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据且，，，利用余弦定理求得c，再利用双曲线的定义求得a即可.
【详解】解：设双曲线的半焦距为.
由题意，点在双曲线的右支上，，，
由余弦定理得，
解得，即，，
根据双曲线定义得，
解得，
故双曲线的离心率.
故选：D
5．在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（ ）
A．B．64C．D．80
【答案】A
【分析】线段的垂直平分线交于两点,结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形,可设点坐标,通过几何关系求出点坐标,在代入抛物线方程即可求解.
【详解】因为线段的垂直平分线交于两点，
所以结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形.
设点且则线段的垂直平分线方程为，
令与轴交于点,又，
则在直角三角形中
继而可得，
所以点坐标为，
代入抛物线，可得，解得，
直角三角形中,
所以四边形的周长为.
故选：A.
6．已知离心率为的椭圆的左、右顶点分别为、，点为该椭圆上位于轴上方一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】C
【分析】由离心率可求出，可得出，设，则，可得出、的方程，即可得到、的坐标，再根据求出.
【详解】由，得，则、，
设，则，
设，则，
直线的方程为，则的坐标为，
直线的方程为，则的坐标为，
所以，解得或．
故选：C.
7．已知A，B是圆C：上的两个动点，且，若，则点P到直线AB距离的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．7
【答案】D
【分析】设P、C到直线AB的距离分别为，根据题意结合垂径定理可得，再根据结合几何关系分析求解.
【详解】由题意可知：圆C：的圆心，半径，
则，
设P、C到直线AB的距离分别为，
因为，解得，
分别过P、C作，垂足分别为，再过C作，垂足为，
显然当P、C位于直线AB的同侧时，点P到直线AB的距离较大，

则，
当且仅当，即直线AB与直线PC垂直时，等号成立，
所以点P到直线AB距离的最大值为7.
故选：D.
8．2022年12月4日20点10分，神舟十四号返回舱顺利着陆，人们清楚全面地看到了神舟十四号返回舱成功着陆的直播盛况.根据搜救和直播的需要，在预设着陆场的某个平面内设置了两个固定拍摄机位和一个移动拍摄机位.根据当时气候与地理特征，点在拋物线（直线与地平线重合，轴垂直于水平面.单位：十米，下同.的横坐标）上，的坐标为.设，线段，分别交于点，，在线段上.则两固定机位，的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，，，根据条件，，得出坐标间的关系，表示直线的方程，求出恒过的定点即为点，计算即可.
【详解】设，，，，，
根据条件有，，,
，.
∴，.
由题意互不相等，把，，分别代入上两式化简得，，消去得.
的方程是，即，
∴的方程为，则，
∴经过定点.
所以点的坐标为.，
即两固定机位的距离为.
故选：B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，点满足，点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．直线与曲线有公共点
C．曲线被轴截得的弦长为
D．面积的最大值为
【答案】ACD
【分析】通过阿氏圆的定义结合，设，从而可以得到曲线C的方程；
通过计算圆心到直线的距离是否小于等于半径，从而判断B的正确性；
计算圆心到轴的距离，结合，得到曲线被轴截得的弦长，从而判断C的正确性；
的长度确定，所以面积的最大值即为点到距离的最大值，从而判断C的正确性.
【详解】设，
对于选项A，因为，所以，化简得，故A正确；
对于选项B，因为曲线C为，所以圆心为，半径为，计算圆心到直线的距离为，
所以直线与曲线C没有公共点，故B错误；
对于选项C，曲线的圆心在轴上，所以被轴截得的弦即为直径，所以曲线被轴截得的弦长为，故C正确；
对于选项D，因为，，所以,故，
而曲线C为，所以，即的最大值为，故D正确.
故选：ACD
10．抛物线焦点为，且过点，直线，分别交于另一点和，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．直线CD过定点
C．上任意一点到和的距离相等D．
【答案】CD
【分析】根据抛物线过点得到，即可判断选项C和D；
根据已知条件直接求出C，D点的横坐标从而计算直线CD的斜率和方程，进而判断A和B选项.
【详解】抛物线过点，所以，，故D正确；
所以抛物线，上任意一点到和准线的距离相等，故C正确；
设，，设，则，
所以的方程为，即，
联立，得，
当时，，得，
代换，得到，
所以，故A错误；
直线CD：，即，不过定点，故B错误.
故选：CD
11．已知椭圆：（），，分别为其左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，点在椭圆内部，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为
B．不存在点，使得
C．当时，的最大值为
D．的最小值为1
【答案】ABC
【分析】A：根据点在椭圆内部可得，从而可得的取值范围，从而可求离心率的取值范围；B：根据相反向量的概念即可求解；C：求出c和，利用椭圆定义将化为，数形结合即可得到答案；D：利用可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】对于A，由已知可得，，所以，
则，故A正确；
对于B，由可知，点为原点，显然原点不在椭圆上，故B正确；
对于C，由已知，，所以，．
又，则．
根据椭圆的定义可得，
所以，
由图可知，，

所以
当且仅当，，三点共线时，取得等号．
故的最大值为，故C正确；
对于D，因为，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立．
所以，的最小值为，故D错误．
故选：ABC
【点睛】本题考查点和椭圆为位置关系，考查椭圆定义和基本不等式在计算最值问题里面的应用.
12．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过右支上一点作直线交轴于点，交轴于点.则（ ）
A．的渐近线方程为B．点的坐标为
C．过点作，垂足为，则D．四边形面积的最小值为4
【答案】ACD
【分析】根据方程，可直接求出渐近线方程，即可判断A项；由已知可得，进而结合双曲线方程，即可得出点的坐标，即可判断B项；根据双曲线的光学性质可推得，点为的中点.进而得出，结合双曲线的定义，即可判断C项；由，代入利用基本不等式即可求出面积的最小值，判断D项.
【详解】对于A项，由已知可得，，所以的渐近线方程为，故A项正确；
对于B项，设，则，整理可得.
又，所以，所以有，解得，所以点的坐标为，故B项错误；
对于C项，如上图，显然为双曲线的切线.
由双曲线的光学性质可知，平分，延长与的延长线交于点.
则垂直平分，即点为的中点.
又是的中点，所以，，故C项正确；
对于D项，，
当且仅当，即时，等号成立.
所以，四边形面积的最小值为4，故D项正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：C项中，结合已知中，给出的双曲线的光学性质，即可推出.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆：的离心率为，，分别为的上下顶点，为的右顶点，若，则的方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意求出即可得解.
【详解】，
则①，
又，所以②，
由①②解得，
所以的方程为.
故答案为：.
14．过作圆与圆的切线，切点分别为，，若，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】利用圆切线的性质，结合代入法、二次函数的性质进行求解即可.
【详解】圆，显然，半径为1，
圆，显然，半径为2，
因为是分别是圆，圆的切线，
所以，
因为，
所以有，
即，
化简，得代入中，
得，
所以当时，的最小值，
故答案为：

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用圆的切线性质得到等式.
15．已知双曲线：的左焦点为，过的直线与圆相切于点，与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】根据题意画出草图，由为中点，，故过做构造相似三角形，根据相切找到长度，根据相似找到的长度，进而找到的长度，根据双曲线定义找到长度，在直角三角形中，用勾股定理即可找到之间的关系，再根据，即可得到离心率.
【详解】由题知，记右焦点为，过做如图所示，
与圆相切，
，，
，，
为中点，，
故，且相似比为，
即，，
，
，，
在双曲线中，有，
，
，，
为直角三角形，
，
即，
化简可得，上式两边同时平方，将代入可得，
则，即离心率.
故答案为：
16．已知点是抛物线上的一点，是的焦点，是的中点，，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】设点，由向量坐标运算可得，利用基本不等式求其最小值即可.
【详解】依题意，，设，则，
因为在抛物线上，所以得，
即，由，得，
，，
所以，
令，，则，，
当即时，，；
当即时，，
当且仅当，即时取等号，
此时.
综上所述，的最小值为.
故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点.
(1)求AB边所在的直线方程；
(2)求中线AM的长
(3)求AB边的高所在直线方程.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，再由点斜式得直线方程；
（2）由中点坐标公式求得中点坐标，再由两点间距离公式计算可得；
（3）先求直线AB的斜率，由垂直关系可得AB边高线的斜率，可得高线的点斜式方程，化为一般式即可.
【详解】（1）法一：由两点式写方程得，即；
法二：直线的斜率为，
直线的方程为，即；
（2）设的坐标为，则由中点坐标公式可得，故，
所以；
（3）直线AB的斜率为，
所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为，
故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：.
18．已知点，，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过抛物线上一点作曲线的两条切线分别交抛物线于，两点，求直线的斜率.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据线段的数量关系，结合两点距离公式，即可得动点的轨迹的方程；
（2）由题意可设切线方程为，联立轨迹的方程，根据求k值，再将所得两切线方程与抛物线联立求，纵坐标，结合求斜率.
【详解】（1）设，由，，，
∴可得：，
故动点的轨迹为；
（2）由题意知，切线斜率存在且不为，设切线方程为，
联立，得，化简得，
，解得，
∴切线方程为和，
联立，，解得，，
∴.
【点睛】关键点点睛：
（1）设动点，根据题设，应用两点距离公式求轨迹；
（2）设切线方程(注意斜率是否存在)，根据与轨迹相切有求斜率，再求两切线与抛物线的交点纵坐标，应用两点式求斜率
19．已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线、分别与椭圆C交于点A、B，的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用椭圆的定义及性质计算即可；
（2）设直线PA的方程为，设，，联立椭圆方程结合韦达定理可得的关系，再由易知向量线性关系转化，计算即可.
【详解】（1）∵，
∴，
由离心率为得，从而，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）
设，，则，
可设直线PA的方程为，其中，
联立，化简得，
则，同理可得，．
因为，．
所以
，
所以是定值.
20．（ 2023·河南开封·统考三模）已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E上一点H的纵坐标为5，O为坐标原点，．
(1)求抛物线E的方程；
(2)抛物线上有一条长为6的动弦长为6的动弦AB，当AB的中点到抛物线的准线距离最短时，求弦AB所在直线方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据抛物线的定义结合条件求解即可；
（2）根据抛物线弦长公式，结合点到直线距离公式、基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）∵H纵坐标为5，不妨设在第一象限内，
∴，过H做轴于M，
∵，
∴，
∴，解得．
∴所以抛物线E的方程为．

（2）根据题意直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，
设，，AB中点，
由，
，，，
，
∴，
则
∴，
∵AB的中点到准线的距离等于，
∴当最小时，AB的中点到准线的距离最短．
∵，
当且仅当时，解得，则．
所以直线AB的方程为或.
【点睛】关键点睛：根据抛物线的定义，结合抛物线弦长公式、基本不等式是解题的关键.
21．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，点在第一象限，为坐标原点．
(1)设为抛物线上的动点，求的取值范围；
(2)记的面积为的面积为，求的最小值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，准线方程，设点，求出关于的函数关系，再利用二次函数性质求解作答.
（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理、三角形面积公式结合均值不等式求解作答.
【详解】（1）依题意，抛物线的焦点，准线方程，设，
则，
因此，
而，即有，则当，即时，，
当，即时，，
所以的取值范围是.
（2）显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，
由消去并整理得，显然，
设，，则，即，

令为点，于是的面积为，的面积为，
因此，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
22．已知双曲线是其左、右两个焦点．是位于双曲线右支上一点，平面内还存在满足．
(1)若的坐标为，求的值；
(2)若，且，试判断是否位于双曲线上，并说明理由；
(3)若位于双曲线上，试用表示，并求出时的值．
【答案】(1)
(2)在双曲线上；理由见解析
(3)；
【分析】（1）根据双曲线方程求出的坐标，由及向量的坐标运算，求出点的坐标，再利用点在双曲线上即可求解；
（2）根据及向量的线性运算，得出及点在双曲线上，求出点的坐标，根据，求出点的坐标，结合点与双曲线的位置关系即可求解；
（3）根据及向量的坐标运算，得出点的坐标，利用点在双曲线上及向量的数量积的坐标运算即可求解.
【详解】（1）∵，
设，则，
因为，
所以，解得，所以，
将代入双曲线方程中，化简得，
解得或（舍去）.
所以的值为.
（2）由（1）知，，
，
设，则，
因为点在双曲线上，所以①，
②，
联立①②，得，所以，
设,所以，
因为，所以，解得，所以，
将点代入双曲线方程中，即，
所以Q在双曲线上
（3）由（1）知，，
设，，则
因为，
所以，解得，所以,
因为点Q在双曲线上，所以即，
化简得，，
∴，解得，
代入，解得.
所以的值为.