新高考数学一轮复习考点巩固卷04 函数的性质（十大考点）（2份，原卷版+解析版）

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考点01：判断函数单调性
1．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A．是函数的增区间B．是函数的减区间
C．函数在上是增函数D．函数在上是减函数
【答案】C
【分析】根据函数的图像结合函数单调性的含义，即可判断出答案.
【详解】根据函数图像可知函数在上递增，在上递减，故A，B正确；
函数在上也单调递增，但区间和不是连续区间，
并且由图象可知，因此不能说函数在上是增函数，C错误；
由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，
故函数在上是减函数，D正确，
故选：C
2．下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的单调性及对数型复合函数的单调性判断即可.
【详解】对于A：在定义域上单调递增，故A错误；
对于B：在定义域上单调递增，故B错误；
对于C：定义域为，因为在上单调递减且值域为，
又在定义域上单调递减，所以在上单调递增，故C错误；
对于D：，函数在上单调递减，故D正确；
故选：D
3．在下列函数中：①，②，③，④，在上为增函数的有（ ）
A．①②B．③④C．②③D．①④
【答案】B
【分析】根据范围直接去绝对值号，进而判断函数单调性，从而得解.
【详解】因为，
所以①在上单调递减，不符合题意；
②在上为常函数，不符合题意；
③在上单调递增，符合题意；
④在上单调递增，符合题意；
故符合题意的为③④.
故选：B.
4．已知函数同时满足性质：①；②当时，，则函数可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，确定函数的奇偶性和在上的单调性，再逐项判断作答.
【详解】由，知函数是偶函数，由当时，，知在上单调递减，
对于A，函数在上单调递增，A不是；
对于B，指数函数不具奇偶性，B不是；
对于D，当时，在上单调递增，D不是；
对于C，函数是偶函数，当时，，
而余弦函数在上单调递减，即在上单调递减，C是.
故选：C
5．（多选）奇函数在的图像如图所示，则下列结论正确的有（ ）
A．当时，
B．函数在上递减
C．
D．函数在上递增
【答案】ABD
【分析】结合的图像，根据奇函数的对称性，分析函数的值域、单调性、函数值，由此确定正确选项.
【详解】解：根据图像可知：时，，在递减，在上递增，
所以根据奇函数性质，当时，，A正确；
当时，在递减，在上递增，故BD正确.
由于在上递增，所以，故C错误.
故选：ABD
6．下列命题正确的是（ ）
A．函数在上是增函数B．函数在上是减函数
C．函数和函数的单调性相同D．函数和函数的单调性相同
【答案】C
【分析】分别判断出，，和的单调性，即可判断．
【详解】对于A：定义域为，由二次函数的图像可知，在是增函数，在是减函数，故A错误；
对于B：的定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数，故B错误；
对于C：在是增函数，在是减函数，
，当时，，易知为增函数，当时，，易知为减函数，所以函数和函数的单调性相同，故C正确；
对于D：定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数；
设定义域为，取，
则，
当时，，即在上单调递减，
当，，即在上单调递减，
同理可证，在上单调递减，在上单调递增，故D错误，
故选：C．
考点02：求函数的单调区间
7．（ 2023·海南海口·统考）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．和
C．D．和
【答案】B
【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求
【详解】，
则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为；
当，的单调递减区间为，
故的单调递减区间是和.
故选：B
8．函数的单调增区间为（ ）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0），（0，+∞）
【答案】D
【分析】先分离常数，再结合复合函数的单调性求解即可．
【详解】解：∵函数1，定义域为{x|x≠0}，
且y的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），
故函数的单调增区间为（﹣∞，0），（0，+∞），
故选：D．
9．定义域为的函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则：
（1）函数的单调递增区间是__________；单调递减区间是__________；
（2）函数的单调递增区间是__________；单调递减区间是__________．
【答案】
【分析】由的图象与的图象关于x轴对称和的图象是由的图象向左平移一个单位，再关于关于x轴对称得到，从而得解.
【详解】解：因为的定义域为，且在区间上是增函数，在区间上是减函数，
且的图象与的图象关于轴对称，
所以的单调递增区间是；单调递减区间是；
又的图象是由的图象向左平移一个单位，再关于关于x轴对称得到的，
所以函数的单调递增区间是；单调递减区间是.
故答案为：，，，.
10．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．∪
C．和D．
【答案】C
【分析】先对函数化简，然后画出函数图象，结合图象可求出函数的增区间.
【详解】，
函数图象如图所示，
由图可知函数的递增区间为和，
故选：C
11．函数的严格减区间为______．
【答案】/
【分析】根据给定条件，利用指数型复合函数求出单调递减区间作答.
【详解】函数的定义域为R，令，
函数在上单调递减，在上单调递增，
而函数在R上是增函数，因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的严格减区间为.
故答案为：
12．已知函数的单调增区间为__________．
【答案】
【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.
【详解】解：令，
由，可得，
所以，
解得，
所以函数的定义域为，
由余弦函数的性质可知：在上单调递增，在上单调递减，
又因为在定义域上为单调递增函数，
由复合函数的单调性可知：
函数的单调增区间为.
故答案为：
考点03：函数的最值问题
13．设，若函数，当时，的范围为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据的单调性可直接构造方程组求得结果.
【详解】在上单调递减，，解得：.
故选：B.
14．函数的最小值为________.
【答案】
【解析】根据函数解析式，先令，将问题转为求函数在上的最值问题，根据单调性，即可求解.
【详解】因为，，
令，则，
所以
令，，
因为指数函数与一次函数都是增函数，
所以也是增函数，
所以时，.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：
求解函数最值（值域）的常用方法：
1.单调性法：先判断函数的单调性，再由单调性结合端点值求出最值（值域）；
2.图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点求出最值（值域），若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数形结合法求解；
3.基本不等式法：先将解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后利用基本不等式求最值（值域）；
4.导数法：先求出导函数，然后求出给定区间的极值，结合端点值，求出最值（值域）；适用于三次函数、分式函数及含，，，结构的函数，且可求；
5.换元法：对比较复杂的函数先通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值（值域）；
6.分离常数法：形如的函数的值域，经常使用“分离常数法”求解；
7.配方法：求解二次型函数时，一般需要配方，结合二次函数的性质求解.
15．函数y=+的最大值为__________.
【答案】
【分析】首先求出函数的定义域，然后将函数平方，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】由，解得，
即函数的定义域为，
，
当时，取得最大值，
即.
故答案为：
16．若奇函数在区间上是增函数，则它在区间上是（ ）
A．增函数且最大值是B．增函数且最小值是
C．减函数且最大值是D．减函数且最小值是
【答案】A
【分析】根据题意得到函数在区间为增函数，结合选项，即可求解.
【详解】由题意，奇函数在区间上是增函数，
则函数在区间也为增函数，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
故选：A.
17．已知函数（x>0），若的最大值为，则正实数a=___________.
【答案】1
【分析】依据题意列出关于a的方程即可求得正实数a的值.
【详解】令，则，则
令
当时，在上单调递增，
则，即的最大值为
则，解之得.
当时，（当且仅当时等号成立）
则，即的最大值为
则，解之得（舍）
综上，所求正实数
故答案为：1
18．已知函数在区间上的最大值为，则实数的值为______．
【答案】
【分析】将函数化为，,，讨论，和时函数的单调性，运用单调性可得最大值，解方程即可得到所求值．
【详解】解：函数，即，,，
当时，不成立；
当，即时，在,递减，可得为最大值，
即，解得，成立；
当，即时，在,递增，可得为最大值，
即，解得，不成立；
综上可得．
故答案为：.
考点04：恒成立问题与存在性问题
19．不等式对满足的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围．
【答案】
【分析】构造函数，原不等式等价为对于任意恒成立，从而只需满足即可，进而解不等式可得答案.
【详解】不等式化为：对于任意的恒成立，
令，要使对于任意恒成立，
由于函数是关于的一条直线，则有，解得，
故x的取值范围为.
20．如图所示，定义域和值域均为R的函数的图象给人以“一波三折”的曲线之美．
（1）若在上有最大值，则a的取值范围是______；
（2）方程的解的个数为______．
【答案】 ；
【分析】（1）利用数形结合思想，结合最大值的定义进行求解即可；
（2）利用换元法，结合数形结合法进行求解即可.
【详解】（1）由图象可知：该函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，
要想在上有最大值，则有，a的取值范围是；
（2）令，，或，
若，根据函数图象，可知该方程有三个不相等实根；
若，根据函数图象，可知该方程有一个实根，
所以方程的解的个数为，
故答案为：；
21．若关于x的不等式有实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分离参数将问题转化为有解，计算即可.
【详解】由题知，而，所以，
又，所以.
因为关于的不等式有实数解，
即有实数解，所以，即.
故选：A
22．若存在实数，使得不等式成立，求x的取值范围．
【答案】或
【分析】原不等式可化为.设，根据的符号讨论，结合一次函数的单调性，即可得出答案.
【详解】原不等式可化为.
设，
当时，恒成立，满足题意；
当时，恒成立，不满足题意；
当时，函数单调递增，
要使不等式成立，则应有，
即有，
解得，或；
当时，函数单调递减，
要使不等式成立，则应有，
即有，
解得，.
综上所述，x的取值范围为或.
23．对于任意，函数的值恒大于零，则x的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【分析】将函数的解析式变形为，并构造函数，
由题意得出，解此不等式组可得出实数的取值范围
【详解】对任意，函数的值恒大于零
设，即在上恒成立.
在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.
则只需线段的两个端点在轴上方，即 ，
解得或.
故选：C.
24．在区间上，函数的图象恒在直线上方，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【分析】依题意在区间上恒成立，设，则只要其最小值大于即可，根据二次函数的性质求出其最小值，即可得到不等式，解得即可.
【详解】由题意得在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
设，则只要其最小值大于即可，
因为的对称轴为直线，
所以当时，取得最小值，
则，解得，即的取值范围是.
故答案为：.
考点05：利用函数的单调性求参数的取值范围
25．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数单调性即可求出实数a的取值范围.
【详解】由题意，，
在中，函数单调递增，
∴，解得：，
故选：C.
26．函数，对 且，，则实数的范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先判断函数在区间的单调性，再结合二次函数的对称轴，列式求实数的范围.
【详解】因为对 且，，
所以函数在区间单调递减，函数的对称轴是，
所以，得.
故选：B
27．函数在上是增函数，则实数a的值为__________．
【答案】0
【分析】根据一次函数及二次函数的单调性即可得到结论．
【详解】当时，函数，在上单调递增，符合题意；
当时，函数，其对称轴为，
若，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；
若，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，
综上，.
故答案为：0.
28．函数在上是减函数，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】依题意函数是由向右平移个单位得到，再由幂函数的性质判断的单调性，即可得到的单调性，从而求出参数的取值范围.
【详解】因为函数是由向右平移个单位得到，
函数为偶函数，且函数在上单调递增，则在上单调递减，
所以函数在上单调递增，则在上单调递减，
又函数在上是减函数，所以，即的取值范围是.
故答案为：
29．函数，若对于任意，，当时，都有，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先将不等式变形，并构造函数，讨论的正负，结合函数在区间的单调性，求实数的取值范围.
【详解】∵对于任意，当时，都有，
∴，令，则在上单调递增，
又∵，当时，满足题目条件，此时；
当时，，时，，当时，等号成立，根据对勾函数单调性可知，有，∴，
综上可知，.
故答案为：．
30．“”是“函数在区间（1，2）上单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据函数的单调性与导数的关系和必要不充分条件的判断即可求解.
【详解】若在区间（1，2）上单调递减，
所以在区间（1，2）上恒成立，
所以在区间（1，2）上恒成立，
所以，
所以，
所以“”是“”的必要不充分条件，
所以“”是函数在区间（1，2）上单调递减”的必要不充分条件，
故选：C.
考点06：判断函数的奇偶性
31．已知函数，则（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．为奇函数D．为偶函数
【答案】B
【分析】方法一：可得，即可得到函数关于对称，从而得到为偶函数；
方法二：求出的解析式，即可判断.
【详解】方法一：因为，所以，
所以函数关于对称，将的函数图象向左平移个单位，关于轴对称，
即为偶函数.
方法二：因为，，
则，所以为偶函数；
又，故，，
所以，，故为非奇非偶函数；
又，故，，
所以，，故为非奇非偶函数；
又，故，，
所以，，故为非奇非偶函数.
故选：B
32．函数的奇偶性为（ ）
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数
【答案】C
【分析】求出的定义域不关于原点对称，即可判断为非奇非偶函数.
【详解】函数的定义域为，
则，
由于定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.
故选：C.
33．若，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，则下列函数不是偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据，，分别是定义在R上的偶函数、奇函数、偶函数，再由奇偶函数的定义逐项判断即可.
【详解】若，则，
则是偶函数，故A错误；
若，则,则是偶函数，故B错误；
若，则，则是奇函数，故C正确；
若，则，
则是偶函数，故D错误.
故选：C
34．判断下列函数的奇偶性．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)（常数）．
【答案】(1)既是奇函数，又是偶函数
(2)偶函数
(3)奇函数
(4)非奇非偶函数
(5)奇函数
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）求出函数的定义域，结合函数奇偶性的定义判断可得出结论.
【详解】（1）解：对于函数，，解得，
所以，函数的定义域为，此时，满足，，
故函数既是奇函数，又是偶函数.
（2）解：函数的定义域为，
对任意的，
，
所以，函数为偶函数.
（3）解：对任意的，，则，
所以，函数的定义域为，
对任意的，，
所以，，
所以，，故函数为奇函数.
（4）解：对于函数，有，解得，
故函数的定义域为，
所以，函数为非奇非偶函数.
（5）解：因为，对于函数，有，解得或，
所以，函数的定义域为，
此时，，
则，
所以，函数（常数）为奇函数.
考点07：利用奇偶性求函数值或参数值
35．若函数为奇函数，则___________.
【答案】
【分析】根据奇函数的性质，得到，求得，结合奇偶性的定义，即可求解.
【详解】由函数为奇函数，可得，
即，解得，
当时，，此时函数为奇函数，符合题意；
当时，，
则，即，
此时函数为奇函数，符合题意，
综上可得，实数的值为.
故答案为：.
36．设，则“”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据为奇函数，可得，即可求得，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】若为奇函数，
则，
，
解得，经检验，符合题意，
“”是“为奇函数”的充分不必要条件.
故选：A．
37．函数是偶函数，当时，，则________.
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性求出解析式后即可代入求解.
【详解】因为当时，，
所以当时，，
所以，
函数是偶函数，
所以，
所以，
故答案为：.
38．若是奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义结合对数运算求解即可.
【详解】由题意得，解得，
则的定义域为，又为奇函数，
所以，可得，
当时，，
其定义域为，
，所以是奇函数，
故.
故选：A.
考点08：利用奇偶性求解析式
39．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，．求函数的解析式.
【答案】
【分析】由奇函数的性质可得出的值，利用奇函数的定义可求得函数在时的解析式，综合可得出函数在上的解析式.
【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以，
当时，，
当时，，则，
所以当时，，
所以.
40．校联考阶段练习）已知函数满足为奇函数，则函数的解析式可能为______________（写出一个即可）．
【答案】(答案不唯一)
【分析】根据奇函数的定义选择函数的解析式即可.
【详解】取，则符合题意．
故答案为：.
41．已知函数为定义在上的奇函数，则不等式的解集为__________.
【答案】
【分析】根据奇函数性质可得定义域关于原点对称求出，，再利用函数单调性和奇偶性即可求出不等式的解集.
【详解】根据奇函数定义可知，可得，函数定义域为；
又，可得，所以；
易知函数在上单调递增，
所以不等式即为，
根据函数单调性和奇偶性可得，解得.
故答案为：
42．已知函数为上的奇函数，当时，，则时，_________．
【答案】
【分析】由奇函数性质可得时，，由条件求可得结论.
【详解】因为函数为上的奇函数，
所以对任意的，，
所以当时，，，
因为当时，，，
所以，
所以，
故答案为：.
考点09：函数周期性的应用
43．在如图所示的的图象中，若，则_____.
【答案】3
【分析】根据图象确定函数周期，利用函数的周期求值即可.
【详解】由图象知：周期为0.02，
所以.
故答案为：3
44．函数是以4为周期的周期函数，且当时，，试求当时，的解析式.
【答案】
【分析】根据函数的周期性求得正确答案.
【详解】依题意，函数是以4为周期的周期函数，
当时，，
所以，
当时，，
所以，
综上所述，.
45．已知是定义在上的函数，对任意实数都有，且当时，，则_______.
【答案】/
【分析】先求出函数的周期，再通过周期以及时的解析式可得.
【详解】由得的周期，
，
又当时，，
.
故答案为：.
46．写出一个最小正周期为6的奇函数______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】此题答案不唯一，只要满足最小正周期为6且为奇函数即可.
【详解】的最小正周期为 ,且定义域为，
同时满足题意.
故答案为：
47．若的定义域为，对任意的，都有，且，则_________.
【答案】1
【分析】根据已知等式得函数的周期性，即可求得的值.
【详解】，
即是周期为4的函数.
.
故答案为：.
48．已知是定义在上的偶函数，并且满足，当时，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，结合函数的周期性和奇偶性可求得的值.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，并且满足，
则，
所以，函数是周期为的周期函数，
且当时，，则
.
故选：B.
考点10：单调性与奇偶性的综合问题
49．已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意作函数图像，根据单调性和奇偶性求解.
【详解】依题意，函数的大致图像如下图：
因为是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，
所以在上单调递增，且，
则当或时，；当时，，
不等式化为或，
所以或或，
解得或或，即或，
即原不等式的解集为；
故选：C.
50．设奇函数在上为单调递增函数，且，则不等式，的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意结合的奇偶性和单调性的示意图，化简不等式为，数形结合，求得它的解集．
【详解】由题意可得，奇函数在和上都为单调递增函数，
且，函数图像示意图如图所示：

故不等式，即，即，
结合的示意图可得它的解集为或
故选：D．
51．已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据不等式，分类转化为对应自变量不等式组，最后求并集得结果．
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递增，且，
所以在上也是单调递增，且，，
所以当时，；当时，，
所以由，可得或，
即或，解得，
得的取值范围为.
故选：A．
52．已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】根据偶函数的性质及函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，再结合对数函数的性质计算可得.
【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上为增函数，
所以在上单调递减，又，则，
所以时，时，时，
所以不等式等价于或，
即或，
即或，
解得或，即不等式的解集为.
故答案为：
53．已知定义在上的函数在上单调递增，且函数为奇函数，则的解集为___________.
【答案】
【分析】先判断出在单调递增，利用单调性解不等式.
【详解】函数为奇函数，函数关于中心对称.则
又在上单调递增，
在单调递增，从而可化为：，
，原不等式的解集为.
故答案为：.
54．已知函数，则使得成立的实数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】函数 的 定义域为 ,
因为 ,
所以 ,
故函数 为偶函数，
当 时, , 且 在 上单调递减,
当 时, , 且 在 上单调递减,
而 ,
故 在 上单调递减, 且 .
则使得成立，
需，
所以且，
所以且，
所以且
解得或，
故答案为：.