新高考数学一轮复习分层提升练习第14练 导数的概念及运算（2份，原卷版+解析版）

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1.（人A选择性必修二P66练习T3变式）一个质点作直线运动,其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式,则当时,该质点的瞬时速度为（ ）
A．5米/秒B．8米/秒
C．14米/秒D．16米/秒
【答案】C
【解析】由题得,当时,,故当时,该质点的瞬时速度为14米/秒．故选C
2.（人A选择性必修二P70练习T2变式）函数的图像如图所示,下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示,根据导数的几何意义,可得表示切线斜率,表示切线斜率,
又由平均变化率的定义,可得,表示割线的斜率,结合图象,可得,即.故选C.
3. （人A选择性必修二P80习题5.2T1变式）下列导数运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】,A错误；,B错误；,C错误,
,D正确.故选D
4. （人A选择性必修二P70习题5.1T7变式）曲线在处的切线方程为___________.
【答案】
【解析】因为,所以,,所以,
所以切线方程为,即
二、考点分类练
(一)导数的计算
5．（2022届陕西省西安中学高三下学期模拟）已知函数的导函数为,且满足,则（ ）
A．1B．C．-1D．
【答案】C
【解析】因为,所以,所以,解得．
故选.
6. （多选）（2022届山东省青岛高三上学期期末）记的导函数为,若对任意的正数都成立,则下列不等式中成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】因为,所以,则,所以在单调递增,所以,即,所以,故A错误；同理,即,所以,故B正确；因为,所以,构造函数,则,所以在单调递减,所以,即,化简得,故C正确；同理,即,化简得,故D错误.
故选BC.
7. （2022届江西省九师联盟高三3月质量检测）已知函数,则曲线在点处的切线方程为____________.
【答案】
【解析】解法1：设,则,
所以,所以,又,故所求切线方程为,即为.
解法2：,,则
,
所以,
故所求切线方程为,即为.
(二)导数的物理意义及几何意义
8．（2022届江西省萍乡市高三二模）若函数的图象在处的切线斜率为,则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵,∴,若函数的图象在处的切线斜率为,
则．故选A．
9. （2022届河南省许平汝联盟高三3月质量检测）函数在处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为,所以,即,所以,
所以切线方程为,故选C.
10. （2022届广东省高三下学期3月大联考）吹气球时,气球的体积（单位：）与半径（单位：）之间的关系是．当时,气球的瞬时膨胀率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为,所以,所以,
所以,当时,.故选A
11. （2022届陕西省西安中学高三下学期三模）若函数与函数的图象有公切线,则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】设公切线与函数切于,与函数切与,则公切线斜率,故切线方程为,即,也可以表示为,即,可得,,,令,则,,令,则,则在上单调递增,当时,,时,,故.
三、最新模拟练
12．（2022届云南省昆明市高三三诊）若函数的图象在处的切线方程为,则（ ）
A．,B．,
C．,D．,
【答案】A
【解析】的定义域为,,由题意可得,即,解得,故选A
13．（2022届湖南省长沙市长郡中学高三下学期月考）一个质点作直线运动,其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式,则当t=1秒时,该质点的瞬时速度为（ ）
A．16米/秒B．40米/秒C．9米/秒D．36米/秒
【答案】B
【解析】,当时,,故该质点的瞬时速度为40米/秒.
故选B
14.（2022届河南省洛阳市高三第三次统一考试）若过点作曲线的切线,则这样的切线共有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】C
【解析】设切点为,由,所以,所以,
所以切线方程为,即,因为切线过点,
所以,解得或,所以过点作曲线的切线可以作2条,
故选C
15.（2022届山西省际名校高三联考二）牛顿切线法是牛顿在十七世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如求解方程,先令,然后对的图象持续实施下面的步骤：
第一步,在点处作曲线的切线,交x轴于；
第二步,在点处作曲线的切线,交x轴于；
第三步,在点处作曲线的切线,交x轴于；
……
利用该方法可得方程近似解（保留三位有效数字）是（ ）
A．0.313B．0.314C．0.315D．0.316
【答案】B
【解析】,所以在处的切线方程,则；
同理,在处的切线方程,令,得,
又,在处的切线方程,令,得．
故选B．
16.（2022届山西省太原市高三二模）已知函数图象上存在两条互相垂直的切线,且,则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由,令,由,
得
,所以
由题意可知,存在,使得,
只需要,即,所以,,
所以的最大值为.故选D.
17.（多选）（2022届广东省高三二模）吹气球时,记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r（V）,为r（V）的导函数．已知r（V）在上的图象如图所示,若,则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．存在,使得
【答案】BD
【解析】A：设,由图得,所以所以,所以该选项错误；
B:由图得图象上点的切线的斜率越来越小,根据导数的几何意义得,所以该选项正确；
C:设,因为所以,所以该选项错误；
D:表示两点之间的斜率,表示处切线的斜率,由于,所以可以平移直线使之和曲线相切,切点就是点,所以该选项正确.
故选BD
18.（2022届辽宁省葫芦岛市高三第一次模拟）已知函数,,函数的图象在点处的切线为,与两坐标轴交点分别为,；在点的切线为,与两坐标轴交点分别为,．若两条切线互相垂直,则下列变量范围正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】当时,,,则,,故,令,解得,令,解得；当时,,,则,,故,令,解得,令,解得.由两条切线互相垂直可得,即,可得.
,令,,,故在上单减,,
故,A正确；
,令,,故在上单减,,故,B错误；
,令,,由可得,故在上单增,,故,C错误；
,令,,故在上单减,,故,D正确.故选AD.
19．（2022届湖北省龙泉中学、宜昌一中、荆州中学等四校高三下学期一模）如图,某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥,杯深8 cm,上口宽6cm,若以的匀速往杯中注水,当水深为4 cm时,酒杯中水升高的瞬时变化率_______．
【答案】
【解析】设时刻水的深度为,水面半径为,则,则,
当水深为时,酒杯中水面的半径为,此时水的体积为,
由题意可得,可得；
由题意可得,,
,当时,.故答案为 .
20.（2022届河南省新乡市高三上学期期末） 已知函数的图象在点处的切线方程为,则___________.
【答案】0
【解析】因为,所以.又的图象在点处的切线方程为,所以,解得,故
21.（2022届安徽省安庆市示范高中高三下学期4月联考）已知函数,函数的最大值为．
(1)求的值；
(2)求证：
①与的一条公切线过原点；
②．
【解析】 (1)显然,,由得,
若,当时,；当时,．有最小值,不符合题意．
若,当时,；当时,．
有最大值,
故．
(2)①由,得,设切点坐标为,
切线为,又过原点,
所以,故,
故切线方程为
由题知,
设的切点为,切线为
由切线过原点,得,故切线方程为．
所以与有一条公切线过原点．
②由①知要证,
即证,即且（等号不同时成立）
令,,
当时,；当时,．
所以,
所以,当且仅当时取等号．
令,所以．
所以,当时,；当时,．
故,
所以,当且仅当时取等号．
综上,.
四、高考真题练
22.（2021新高考全国卷Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线,则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数是增函数,恒成立,
函数的图象如图,,即取得坐标在轴上方,
如果在轴下方,连线的斜率小于0,不成立．
点在轴或下方时,只有一条切线．
如果在曲线上,只有一条切线；
在曲线上侧,没有切线；
由图象可知在图象的下方,并且在轴上方时,有两条切线,可知．
故选D．
23．(2021年全国卷 = 2 \* ROMAN II)曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】由题,当时,,故点在曲线上．
求导得：,所以．
故切线方程为．
24．(2020年全国卷Ⅰ)函数的图像在点处的切线方程为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】,,,,
因此,所求切线的方程为,即．
故选B．
25．(2020年全国卷Ⅲ)若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切,则l的方程为( )
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
【答案】D
【解析】设直线在曲线上的切点为,则,
函数的导数为,则直线的斜率,
设直线的方程为,即,
由于直线与圆相切,则,
两边平方并整理得,解得,（舍）,
则直线的方程为,即．
故选D．
26.（2020新高考山东卷）.已知函数．
（1）当时,求曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1,求a的取值范围．
【解析】（1）,,.
,∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为,即,
切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为;
（2）解法一：,
,且.
设,则
∴g(x)在上单调递增,即在上单调递增,
当时,,∴,∴成立.
当时, ,,,
∴存在唯一,使得,且当时,当时,,,
因此
>1,
∴∴恒成立；
当时, ∴不是恒成立.
综上所述,实数a的取值范围是[1,+∞).
五、综合提升练
27.（2022届广东省深圳外国语学校高三下学期第二次检测）下列关于三次函数叙述正确的是（ ）
①函数的图象一定是中心对称图形；
②函数可能只有一个极值点；
③当时,在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点；
④当时,则过点的切线可能有一条或者三条．
A．①③B．②③C．①④D．②④
【答案】A
【解析】①的对称轴为的轴对称图形,所以必定是中心对称图形,且对称中心为,所以①正确：（或者可用证明）
②由于函数的图象是中心对称图形,如果存在极大值,那么一定存在极小值,故②错误；
③设切点为,,斜率,
切线为,所以
,化简得：,∴或者,所以当时,即时,切线与有唯一的交点,当时,切线与有两个不同的交点,所以③正确；
④过点的切线的切点不一定是,设切点为,则切线方程为,因为在切线上,所以,将,,代入化简可得：,∴或者,所以当时,即时,切线只有一条,当时,切线有两条,所以④错误；
故选A
28．已知函数,若函数的图象上存在点,使得在点处的切线与的图象也相切,则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】的公共切点为,设切线与的图象相切与点
由题意可得 ,解得
所以
令
则
令,解得
当 时,
当 时, ,函数在上单调递增
当 时, ,函数在上单调递减
当t从右侧趋近于0时, 趋近于0
,当t趋近于 时, 趋近于0
所以,故选B
29.（2022届四川省眉山市高中第三次诊断性考试）已知函数.过点作曲线两条切线,两切线与曲线另外的公共点分别为B、C,则外接圆的方程为___________.
【答案】(或)
【解析】∵,
∴
．
则,设y=f(x)切线的切点为,
则切线方程为：,
∵切线过A(-1,0),∴
即
当时,,即,即,解得．
∴,,,．
①当切点为A时,切线方程为,
由解得或,则不妨设B(5,6)；
②当切点为(2,-3)时,切线为,即,
由解得或,则不妨设C(2,-3)；
故,,,设△ABC外接圆为,
则,解得,
∴所求圆的方程为．
30.（2022届重庆市第八中学校高三下学期月考）已知函数
(1)求函数在上的极值：
(2)当时,若直线既是曲线又是曲线的切线,试判断的条数
【解析】 (1)解：由题知,
所以,
所以,当时,在上恒成立,即在上单调递减,故函数无极值；
当时,,解得,
故当变化时,,的变化情况如下表：
所以,由上表可知,当时,取得极小值,无极大值.
综上,当时,函数无极值；当,极小值为,无极大值.
(2)解：当时,,
所以,根据导数的几何意义,
函数在处的切线方程为,即.
函数在处的切线方程为,即,
若曲线与曲线的有公切线,则,
由①得,代入②得,
所以,问题转化为求方程在上的根的个数,
故令,则,
令,得.
所以当时,,单调递减；当时,,单调递增；
所以,
因为,
所以,且函数在上连续,
所以函数在上有两个零点,即方程在上有2个不等实数根.
所以曲线与曲线的公切线有2条.
单调递减
极小值
单调递增