新高考数学一轮复习分层提升练习第39练 抛物线（2份，原卷版+解析版）

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1.（人A选择性必修一P133练习T2变式）抛物线的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
2.（人A选择性必修一P133练习T3变式）已知抛物线：上一点到轴的距离是5，则该点到抛物线焦点的距离是（ ）
A．B．C．D．
3.（人A选择性必修一P138习题3.3T4变式）（多选）经过点的抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
4.（人A选择性必修一P138习题3.3T2（1）变式）已知抛物线的准线方程为，则实数_________．
二、考点分类练
(一)抛物线的方程与性质
5. （2023届辽宁省鞍山市高三上学期质量监测）抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
6. （多选）（2023届福建省三明第一中学高三上学期期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（ ）
A．B．抛物线的方程为
C．直线的方程为D．
7. （2023届海市宝山区高三上学期10月教学质量检测）如图抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面3米时，水面宽12米，则水面上升1米后，水面宽度为___________米.
(二)抛物线定义及应用
8．（2023届云南省曲靖市第一中学高三上学期第三次月考）已知平面四边形的四个顶点都在抛物线上，其中顶点，为抛物线的焦点，若，则（ ）
A．12B．9C．6D．3
9. （多选）（2023届湖南省湘潭市第一中学高三上学期期中）已知抛物线的焦点为，点)在抛物线上，若，则（ ）
A．B．
C．D．的坐标为
10. （2022届辽宁省沈阳市五校协作体高三联考）已知点P是抛物线上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是，则的最小值为______．
(三)抛物线中的长度与面积问题
11. （2023届贵州省贵阳第一中学高三月考）O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．8D．
12. （2023届福建福州第十一中学高三上学期期中考）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上.
(1)求点的坐标和抛物线的准线方程；
(2)过点的直线与抛物线交于，两个不同点，若的中点为，求的面积.
13. 已知曲线C是到点和到直线距离相等的点的轨迹．l是过点的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，，轴（如图）．
(1)求曲线C的方程；
(2)求出直线l的方程，使得为常数．
(四)抛物线中的定点定值及范围问题
14. 已知动圆过定点，且与直线相切，其中．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
15. 已知中心在原点的椭圆和抛物线有相同的焦点，椭圆的离心率为，抛物线的顶点为原点.
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)设点为抛物线准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，，其中为切点.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
16. 如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
(1)求抛物线的方程；
(2)设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
三、最新模拟练
17. （2022届云南省玉溪市民族中学高三模拟）已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C的准线l上，线段与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
18. （2023届山西省山西大学附属中学校高三上学期9月模块诊断）已知抛物线：的焦点为，是上位于第一象限内的一点，若在点处的切线与轴交于点，且，为坐标原点，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
19. （多选）（2023届河北省衡水市部分学校高三上学期9月月考）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线相交于A，B两点.过A，B两点分别作抛物线的切线，两切线交于点Q.直线l为抛物线C的准线，与x轴交于点D，则（ ）
A．当时，B．若，P是抛物线上一个动点，则的最小值为2
C．D．若点Q不在坐标轴上，直线AB的倾斜角为，则
20. （2023届江苏省南通市通州区高三上学期期中）已知抛物线：，圆：，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，，则的取值范围是______ ．
21. （2023届江西省智慧上进高三上学期考试）已知抛物线C：上一纵坐标为4的点M到其焦点F的距离为5，过点的直线与C相交于A，B两点．
(1)求C的标准方程；
(2)在x轴上是否存在异于点N的定点P，使得点F到直线PA与直线PB的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
22. （2022届陕西省渭南市富平县高三下学期二模）已知抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，为在动直线上的投影，当为等边三角形时，其面积为.
(1)求抛物线的方程；
(2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于A，两点，直线与线段交于点，试问：是否存在，使得和的面积相等恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
四、高考真题练
23．(2021新高考全国Ⅱ卷)抛物线的焦点到直线的距离为，则( )
A．1B．2C．D．4
24.（多选）(2022新高考全国II卷)已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C
交于A．B两点，其中A在第一象限，点，若，则( )
A．直线的斜率为B．
C．D．
25．（多选）(2022新高考全国I卷)已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则( )
A．C的准线为B．直线AB与C相切
C．D．
26．(2021年新高考全国Ⅰ卷)已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一
点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______．
五、综合提升练
27. 已知点P为抛物线上一动点，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
28.（多选）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，过点且斜率大于0的直线交抛物线于，两点(其中在的上方)，过线段的中点且与轴平行的直线依次交直线，，于点，，.则（ ）
A．
B．若，是线段的三等分点，则直线的斜率为
C．若，不是线段的三等分点，则一定有
D．若，不是线段的三等分点，则一定有
29. （2023届四川省成都市第七中学高三上学期第三次质量检测）过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过抛物线的焦点，那么=______.
30.抛物线的焦点为，准线为A为C上的一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点，
(1)若的面积为，求的值及圆的方程
(2)若直线与抛物线C交于P，Q两点，且，准线与y轴交于点S，点S关于直线PQ的对称点为T，求的取值范围.