人教版数学九下同步单元讲练测第27章相似01讲核心（2份，原卷版+解析版）

这是一份人教版数学九下同步单元讲练测第27章相似01讲核心（2份，原卷版+解析版），文件包含人教版数学九下同步单元讲练测第27章相似01讲核心原卷版doc、人教版数学九下同步单元讲练测第27章相似01讲核心解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共81页， 欢迎下载使用。
考点1比例的概念及性质1. 比例线段在四条线段中，如果其中两条线段的比______另两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．如四条线段，，因此a、b、c、d四条线段成比例．2. 黄金分割如图，若线段上一点C把线段分成两条线段和()，且使是和的______，即，则称线段被点C黄金分割，点C为黄金分割点，与的比叫黄金比，即．3. 比例的性质（1）基本性质：若______(，)．（2）合比性质：若______(，)．（3）等比性质：若 (b·d·…·)，那么______．考点2 平行线分线段成比例4. 平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也______．5. 基本事实：两条线段被一组______所截，所得的对应线段成比例．如图：如果，那么，，．3.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图：，则，，．考点3相似图形6. 相似图形：两个图形______相同，这两个图形称为相似图形．7. 各角分别相等，各边_________的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做____________．8. 相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角______，对应边______．（2）相似多边形的周长比等于______，面积比等于______．考点4 相似三角形9. 相似三角形的概念：对应角______，对应边______的三角形叫做相似三角形．10. 如果和相似，且，那么这个比值k就叫做这两个相似三角形的______．11. 相似三角形的判定：（1）平行于三角形一边的直线与其他两边(或______)相交，截得的三角形与原三角形相似．（2）两组角对应______，两三角形相似．（3）两边对应成比例且______相等，两三角形相似．（4）三边对应______，两三角形相似．12. 相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角______．（2）相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例，且______相似比．（3）相似三角形的周长比等于______，面积比等于______．考点5 利用相似三角形解应用题1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解；2.测量底部可以到达的物体的高度；3.测量底部不可以到达的物体的高度；4.测量不可以到达的物体的宽度；考点6位似13. 位似图形的概念：如果两个相似图形，每组对应顶点的连线都交于______，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的______又称为位似比．14. 位似图形的性质（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于______．（2）位似图形______相似图形，但相似图形______位似图形，位似图形具有相似图形的所有性质．（3）位似图形的对应边互相平行或______．（4）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于______．比例线段的判定及应用1.比例线段的判定方法2.比例线段的应用方法【例题】15. 下列四组线段中，不成比例的是（ ）A. 3，9，2，6 B. 1，，， C. 1，2，4，8 D. 1，2，3，916. 已知，则的值为（　　）A. B. C. D. 17. 已知点是线段的黄金分割点，且，，则的长为（ ）A. B. C. D. 0.618【练经典】18. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ）A. B. C. D. 19. 如果 则 等于（ ）A. B. C. D. 620. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台从到的距离，那么舞台长为_____．【练易错】易错点：用比例的性质时，比例线段位置调整出错而导致错误21. 如果，那么的值为（ ）A B. C. D. 22. 已知，那么______．平行线分线段性质的应用1.求线段长度方法一：利用平行线分线段的性质列出比例式→找出其中的三条线段的长度→代入求出未知线段的长度；方法二：利用平行线分线段的性质列出比例式→找出其中一条线段的长度和另两条线段的比→代入求出未知线段的长度；2.证明线段之间的关系方法一：利用平行线分线段的性质列出比例式→找出其中的两条线段的比→代入得到未知线段的关系；方法二：利用平行线分线段的性质列出比例式→利用比例的性质对比例式进行变换→得到对应线段之间的关系；3.作图：把一条线段按一定的比进行分割．【例题】23. 如图，直线，直线AC和DF被所截，如果，那么长是（　　）A. 2 B. C. 1 D. 24. 如图，在中，点分别是边上的点，，且，则等于（ ）A. 58 B. 38 C. D. 25【练经典】25. 如图，，直线、与这三条直线分别交于点、、和、、，若，，，则的长为（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 926. 已知，如图在中，，，的延长线交的延长线于，则为_____．【练易错】易错点：因对应线段找错导致错误27. 如图，直线，直线AC和DF被、、所截，，，，则的长为（　　）A. 12 B. 3 C. D. 5相似三角形的判定1.判定三角形相似的几条思路：（1）条件中若有平行线，可采用预备定理，即平行出相似；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹边成比例，用AA或SAS进行判定；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等，用SAS判定；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．2.常见相似三角形的模型【例题】28. 如图，已知点D是的边上的一点，根据下列条件，可以得到的是（ ）A. B. C. D. 29. 如图，一副三角板，，顶点A重合，将绕其顶点A旋转，在旋转过程中，以下4个位置，不存在相似三角形的是（ ）A B. C. D. 30. 如图所示，于点B，于点D，，点E在上移动，当以为顶点的三角形与相似时，求的长为__________．31. 如图，四边形中，在边上，，，．（1）求证：；（2）已知面积为3，求四边形的面积．【练经典】32. 已知，如图，平行四边形中，，且，那么_____．A. 9 B. 12 C. 15 D. 2033. 如图，AB、DE是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC=20°，点D从点C出发沿顺时针方向绕圆心O旋转α°（0＜α＜180），当α=______时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相似．34. 如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且．（1）求证：；（2）若，求的长．相似图形的性质1.对应角相等2.对应边的比＝对应边上的高的比＝对应边上的中线的比＝对应角平分线的比＝周长的比＝相似比；面积的比＝相似比的平方．3.对应元素的寻找方法对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边．【例题】35. 若两个相似三角形的对应边之比为，则这两个相似三角形的周长之比为（ ）A. B. C. D. 36. 如图所示，已知矩形的边长为8cm，边长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（ ）A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2【练经典】37. 两个相似多边形的相似比为，已知一个多边形的最短边长为15，则另一个多边形的最短边长为（　　）A. 15 B. 9 C. 25 D. 25或938. 图中的两个四边形相似，则______．【练易错】易错点：忽略面积的比等于相似比的平方而致错39. 已知， 它们的面积分别为4和9 ， 且， 则的长为（ ）A. 12 B. 15 C. 18 D. 20利用相似三角形解应用题1.利用太阳光平行构造相似三角形；2.利用标杆与被测物体平行构造相似三角形；3.利用物体固有的平行线构造相似三角形；4.添加平行线构造相似三角形；【例题】40. 如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方，某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片、，此时各叶片影子在点M右侧成线段．测得，，垂直于地面的木棒与影子的比为．则点O、M之间的距离等于___________m；41. 小红和小亮经常去学校图书馆里阅读各种书籍，两位同学想利用刚学过的测量知识来测量该图书馆的高度．某天，他们带着测量工具来图书馆前，但由于校园整体规划的原因，他们无法到达图书馆底部．于是小亮在地面上的点处放置了一个平面镜，小红从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，刚好在平面镜内看到图书馆的顶端的像，此时，测得米，小红眼睛到地面的距离为1.6米；然后，小亮沿方向移动到点，用测量器测得图书馆顶端的仰角为45°，此时，测得，测量器的高度米．已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于，求该图书馆的高度．【练经典】42. 甲乙两位同学利用灯光下的影子来测量一路灯A的高度，如图，当甲走到点C处时，乙测得甲直立身高CD与其影子长CE正好相等，接着甲沿BC方向继续向前走，走到点E处时，甲直立身高EF与影子恰好是线段EG，并测得EG=2.5m，已知甲直立时的身高为1.5m，求路灯的高AB的长.43. 如图，一路灯与墙相距20米，当身高米的小亮在离墙17米的D处时，影长为1米．（1）求路灯B的高度；（2）若点P为路灯，请画出小亮位于N处时，在路灯P下的影子NF（用粗线段表示出来）位似图形的判定和性质1.先判定相似，再寻找位似中心找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．2．画位似图形的步骤：(1)确定位似中心；(2)确定原图形的关键点；(3)确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；(4)作出原图形中各关键点的对应点；(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．3.位似图形的性质（1）位似图形具有相似图形的性质； （2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；（3）位似中心是原点，对应点的横坐标的绝对值的比＝纵坐标的绝对值的比＝位似比；【例题】44. 在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．以坐标原点为位似中心，作与的位似比为的位似图形，则点的对应点的坐标为（ ）A. B. 或C. D. 或45. 如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，四边形的面积是2，则四边形的面积是（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 1846. 如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，的顶点都在格点上．（1）在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点O，点坐标分别为；（2）以点O为位似中心，画出的位似三角形，使得与相似比为；（3）在边上求作两点，使得将△ABC面积三等分．【练经典】47. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，若，则点C的坐标为（　　）A. B. C. D. 48. 如图，与位似，位似中心为点O，与周长之比为，则的比为（　　）A. B. C. D. 49. 如图，四边形的四个顶点的坐标分别是 （1）以原点O为位似中心，相似比为2：1，将图形反向放大，在第三象限画出符合要求的位似四边形；（2）在（1）的前提下，如果四边形内部一点M的坐标为，写出M的对应点的坐标（ ， ）；（3）如果一个小正方形的边长为1，则四边形的面积是____________．【新定义小练】50. 在平面直角坐标系中，已知点和，对于点定义如下：以点为对称中心作点的对称点，再将对称点绕点逆时针旋转90°，得到点，称点为点的反转点．已知的半径为1．（1）如图，点，，点在上，点为点的反转点．①当点的坐标为时，在图中画出点；②当点在上运动时，求线段长的最大值；（2）已知点是上一点，点和是外两个点，点为点的反转点．若点在第一象限内，点在第四象限内，当点在上运动时，直接写出线段长的最大值和最小值的差．【阅读探究材料类小练】51. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分制”数．把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，D是边的“黄金分割”点，若，且，则的长度是____________．52. 矩形ABCD中，＝（k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．（1）【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．（2）【类比探究】如图（2），当k≠2时，求的值（用含k的式子表示）；（3）【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，，求BC的长．【动态问题小练】53. 如图，在中，已知，，，动点D从点A出发沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，点E是边的中点，连结．设点D运动的时间为t秒．求当t取何值时，与相似？写出所有的情况．54. 已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒． （1）如图①，若PQ⊥BC，求t的值；（2）如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？【规律类小练】55. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，……在x轴上且，，，……按此规律，过点，，，……作x轴的垂线分别与直线交于点，，，……记，，，……的面积分别为，，，……，则______．【综合实践类小练】56. “跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法步骤：第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测，点的距离值．如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（ ）A. 40米 B. 60米 C. 80米 D. 100米57. 综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，D是上一点，．求证．独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长至点E，使，与的延长线相交于点F，点G，H分别在上，，．在图中找出与相等的线段，并证明．”问题解决：（3）数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当时，若给出中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．”方法名称方法步骤示例：a=12cm，b=4cm，c=21cm，d=7cm求比法计算较小的两条线段的比，计算较大的两线段的比，比相同就是比例线段,,,比例线段求积法计算最小与最大两条线段长度的乘积，计算中间两条线段的乘积，乘积相同就是比例线段。,,,是比例线段方法名称方法步骤示例：已知，求的值参数法用参数K表示比值，再用K表示其它的字母，最后代入求值；设，则，，性质法利用比例的性质变形，注意等式的两边要进行同样的操作．由得，证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．∵k＝2，∴AB＝BC．∵∠B＝90°，BH＝BE，∴∠1＝∠2＝45°，∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，∴∠3＝∠DCG＝45°．∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．∴……（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）