人教版数学九下同步单元讲练测第27章相似02练基础（2份，原卷版+解析版）

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一、选择题1. 如图是世界休闲博览会吉祥物“晶晶”．右边的“晶晶”是由左边的“晶晶”经下列哪个变换得到的（ ）A. 平移变换 B. 旋转变换 C. 轴对称变换 D. 相似变换【答案】D【解析】【分析】根据相似变换的概念判断即可．【详解】解：右边的“晶晶”和左边的“晶晶”只有形状相同，两个图形相似，右边的“晶晶”是由左边的“晶晶”通过相似变换得到的．故选：D．【点睛】本题考查是几何变换的类型，熟记各种变换的概念的解题的关键．2. 下列四组线段中，是成比例线段的是（　　）A. 3cm，4cm，5cm，6cm B. 4cm，8cm，3cm，5cmC. 5cm，15cm，2cm，6cm D. 8cm，4cm，1cm，3cm【答案】C【解析】【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．【详解】解：A．，故选项错误，该选项不符合题意；B．，故选项错误，该选项不符合题意；C．，故选项正确，该选项符合题意；D．，故选项错误，该选项不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．3. 两个相似五边形的一组对应边的长分别是，，若它们的面积和是，则较大五边形的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设较大多边形的面积为，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，建立方程求解即可.【详解】解：设较大多边形的面积为，则较小多边形的面积为：（），∵两个相似多边形的一组对应边长分别为和，∴，解得（）．故选D．【点睛】本题考查相似多边形的性质：面积比等于相似比的平方，据此建立方程是解题关键.4. 若四条线段，，，成比例，其中，，，则线段的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据四条线段成比例的概念，得比例式，再根据比例的基本性质，即可求得d的值．【详解】解：∵四条线段，，，成比例，∴，∴．故选D．【点睛】本题考查了成比例线段的定义，熟练掌握比例式的计算是解题的关键．5. 下列命题正确的是（ ）A. 如果线段被点C黄金分割，那么与的比叫做黄金比B. 对角线相等且垂直的四边形是正方形C. 顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形D. 各边对应成比例两个多边形相似【答案】C【解析】【分析】根据黄金分割的定义即可判断A；根据正方形的判定即可判断B；根据菱形的判定即可判断C；根据相似多边形的判定即可判断D．【详解】解：A、如果线段被点C黄金分割且，那么与的比叫做黄金比，是假命题，不符合题意B、对角线相等且垂直平分的四边形是正方形，是假命题，不符合题意；C、顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所形成的图形是菱形（可以利用三角形中位线证明），是真命题，符合题意；D、各边对应成比例，对应角相等的两个多边形相似，是假命题，不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了判断命题真假，熟知黄金分割，正方形和菱形的判定，相似多边形的判定是解题的关键．6. 如图，已知直线，，，则的值为（　　　）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理，即可求得．【详解】解：，，，， ，故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和运用平行线分线段成比例定理是解决本题的关键．7. 已知四条线段、、、满足，则下列各式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据比例和分式的基本性质，进行解答即可．【详解】解：∵根据内项积等于外项积可得， ∴A正确；B错误；根据分式的基本性质若，则，故C错误；由得，故D错误；故选：A．【点睛】本题考查了分式的性质以及比例的性质，能够灵活对比例式进行变形是解本题的关键．8. 下列结论不正确的是（ ）A. 所有的等腰直角三角形都相似 B. 所有的正方形都相似C. 所有的平行四边形都相似 D. 有一个角是的两个等腰三角形相似【答案】C【解析】【分析】根据相似图形的性质判定可进行求解．【详解】解：A、所有的等腰直角三角形都相似，说法正确，故不符合题意；B、所有的正方形都相似，说法正确，故不符合题意；C、对应角相等的平行四边形都相似，原说法错误，故符合题意；D、有一个角是的两个等腰三角形相似，说法正确，故不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查相似图形的判定，熟练掌握相似图形的判定是解题的关键．9. 我国古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”，它的题意是：如图尺，尺，问井深是多少．如图，设井深为x尺，所列方程正确的是（　　　）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意可求出尺，且可知，即易证，从而得出，代入数据即得出方程．【详解】根据题意可知尺，， ∴，∴，∴．故选A．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的判定定理是解题关键．10. 在中，，，，动点从点沿线段向点移动从点沿线段向点移动，两点同时开始移动，点的速度为cm/s，点的速度为cm/s．当到达点时两点同时停止运动．若此过程中有．则当时运动的时间是（　　）A. 2s B. 2.4s C. 3s D. 1s或3s【答案】B【解析】【分析】利用平行线分线段成比例定理，代值构建方程求解即可得到结论．【详解】解：设运动时间为秒，，，，，，，，解得，故选：B．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理列出线段比例．二、填空题11. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，则线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为________．【答案】【解析】【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k,根据此题是线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标进而得出答案．【详解】解：∵△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，2），C（6，4），∴AC的中点是（4，3），∵将△ABC缩小为原来的一半，∴线段AC的中点P变换后在第一象限对应点的坐标为：．故答案为：．【点睛】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律，利用图形得出AC的中点坐标是解题关键．12. 已知，则___________，___________．【答案】 ①. ②. ##-0.8【解析】【分析】设，得到，代入代数式进行计算即可求解．【详解】解：∵，∴设，则，∴，，故答案为：，【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质，设k值是解题的关键．13. 装裱一幅宽 长的矩形画， 要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， 装裱上去的部分的上下的宽都为， 若装裱上去的左右部分的宽都为， 则__________．【答案】10【解析】【分析】根据相似图形对应边成比例即可进行解答．【详解】解：∵装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，∴，解得：．故答案为：10 ．【点睛】本题主要考查了相似的性质，解题的关键是熟练掌握形似的图形对应边成比例．14. 已知点C是线段的黄金分割点，且，，则的长度是______【答案】【解析】【分析】利用黄金分割点的概念进行解答即可．【详解】解：∵点C是线段的黄金分制点，且，，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了黄金分割点定义，即：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项．15. 如图，中，，，，若，则______．【答案】##【解析】【分析】先利用等腰三角形等边对等角证明，进而证明，推出，再根据等腰三角形“三线合一”得出，等量代换即可得出．【详解】解：，，即，．又，，．，．，，，，，即．故答案为：．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明．三、解答题16. 若，且，求的值是多少？【答案】8【解析】【分析】设，则，再根据求得k的值，进而得出a、b、c的值，然后代入求解即可．【详解】解：设，则∵∴，解得：k＝2，∴，∴．【点睛】本题主要考查了比例的性质及代数式求值，解题的关键是根据题意设未知数求出k的值．17. 如图，，与相交于点，且、、，求的值【答案】【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【详解】解：，，，，，． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．18. 如图在中，，E，F分别是垂足．求证：【答案】见解析【解析】【分析】由平行四边形的性质可得 ，通过证明，可得，即可得结论．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明△ABE∽△ADF是本题的关键．19. 如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G．（1）求证：；（2）求证：是等腰三角形．（3）若，求的值．【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）【解析】【分析】（1）过点E作交于点F，然后根据等腰三角形三线合一得出，再根据，得出，从而证明结论；（2）由（1）可得即可；（3）过点E作于H，由（2）可得，再根据可得，再根据由平行线的性质即可证明结论．【小问1详解】证明：如图，过点E作交于点F，∵，∴，又∵，∴，∴∴．【小问2详解】证明：由（1）知：，∵，∴，即，∴，∴，∴是等腰三角形．【小问3详解】解：过点E作于H，如图所示：由（2）知： ，∴ ，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线分线段定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，灵活运用等腰三角形的判定和性质定理是解答本题的关键．20. 如图所示，小明在地面上放置一个平面镜C，选择合适的位置，刚好在平面镜C中看到旗杆的顶部D，此时小明与平面镜C的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为16m．若小明的眼睛与地面的距离AB为1.6m，已知，B、C、E在一条直线上，试求旗杆DE的高度．（平面镜的大小忽略不计）【答案】12.8m【解析】【分析】根据题意，,且，得，再根据相似比解得的高度．【详解】解：由题意得,且，∴，∴，又因为，∴，∴所以旗杆的高度为12.8m．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质应用，找到相等对应角证明三角形相似是解题的关键．21. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，．（1）以原点O为位似中心，在第一象限内将放大为原来的2倍得到，作出，（2）写出，，的坐标．【答案】（1）图形见解析 （2），，【解析】【分析】（1）根据位似的性质求出A、B、C对应点、、作图即可；（2）由图可知或位似图形坐标关系可得，，的坐标．【小问1详解】如图， ①连接、、并延长；②根据放大为2倍，确定、、；③顺次连接、、，得到放大后的图形；即为所求作；【小问2详解】由题意得：以原点O为位似中心，放大为原来的2倍，即相似比为2，那么、、的对应点、、的坐标即为，，【点睛】本题考查了作图——位似变换，熟练掌握位似的性质是解题关键．22. 已知，矩形的一组邻边长分别为6和，画一线段把它分割成两个矩形，若这两个矩形相似，且其中一个矩形有一边长为4 ，求的值．【答案】13或8或【解析】【分析】设，分，两种情况讨论：当时，若矩形∽矩形，推出，得到，设，得到，得到，解得，若矩形∽矩形，推出，得到，得到，不存在；当时，，，若矩形∽矩形，推出，得到，设，得到，得到，解得；若矩形∽矩形，推出，得到，得到．结果，或，或．【详解】∵四边形，，都是矩形，∴，，，，设，①若，则，，当矩形∽矩形时，，∴，设，则，∴，∴，当矩形∽矩形时，，∴，∴，矛盾，不存在；②若，则，，当矩形∽矩形时，， ∴，设，则，，∴；当矩形∽矩形时，，∴，∴∴．综上，，或，或．【点睛】本题主要考查了相似矩形，解决问题的关键是熟练掌握相似多边形对应边成比例的性质，分类讨论，解方程．23. 如图，△ABC在方格纸中（1）如果在平面直角坐标系中，A（2，3），C（6，2），请画出平面直角坐标系，并写出B点坐标 ；（2）以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的；则的面积S＝ ；（3）以原点B为位似中心，在第一象限内将△ABC放大为原来的2倍，此时△ABC的BC上的点D（a，b），请写出点D在的对应点的坐标为 ．【答案】（1）作图见解析， （2）作图见解析， （3）作图见解析，【解析】【分析】（1）利用A点和C点坐标画出x轴与y轴，然后写出B点坐标；（2）把A、B、C三点的横纵坐标都乘以2得到的坐标，然后描点即可得到，如图1，然后根据网格特点，利用三角形面积公式计算的面积；（3）延长BA到使，则点为A的对应点，同样作出C的对应点，即可得到，如图2，由于D点为的中点，于是可利用线段中点坐标公式求的坐标．【小问1详解】解：如图1，B点坐标为）；故答案为：【小问2详解】如图1，为所作；的面积=×4×8=16；故答案为：【小问3详解】如图2，为所作；∵，，位似比为2，∴，即∴D点为的中点，∴点D在的对应点的坐标为．故答案为：【点睛】本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．24. 如图，在中，，于点，．（1）求证；（2）求的长．【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）依据，即可得到，进而判定；（2）依据相似三角形的性质即可得到的长，再根据勾股定理进行计算，即可得出的长．【小问1详解】解：∵中，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；【小问2详解】∵，∴，∴，∴，中， ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．25. 已知：如图，在中，，P是斜边AB上的一个动点，，交边于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线上一点，且．设A、P两点的距离为x，的面积为y．（1）求证：；（2）y关于x的函数解析式___________；（3）当与相似时，求的面积．【答案】（1）见解析 （2） （3）或【解析】【分析】（1）证明和，即可得证；（2）作，垂足为点H，利用，求出，再利用面积公式进行计算即可；（3）分或两种情况进行讨论，利用相似三角形的性质进行求解即可．【小问1详解】证明：∵，∴，∴，∴，∵，∴∴，∴；【小问2详解】解：由得 ∴， ∴， 作，垂足为点H，则：，∵，∴ ∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴， 即：，整理得：．【小问3详解】解：∵，∴，，∴，∴， 当与相似时，只有两种情形：或．当时，， ．解得：；；当时，同理可得：；；∴当与相似时，的面积为：或．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握三角形的判定方法，证明三角形相似是解题的关键．一、选择题（2022·宁夏·中考真题）26. 如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（ ） A. 平移 B. 轴对称 C. 旋转 D. 位似【答案】D【解析】【分析】根据位似的定义，即可解决问题．【详解】根据位似的定义可知：三角尺与影子之间属于位似．故选：D．【点睛】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似的定义．（2022·山东东营·中考真题）27. 如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．【详解】解：∵，∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；∴，，故B不符合题意，C符合题意；∴，故D不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．（2022·甘肃兰州·中考真题）28. 已知，，若，则（ ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 16【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的性质得到，代入求解即可．【详解】解：∵，∴，即，解得．故选：A．【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形性质．相似三角形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的相似比等于周长比，相似三角形的相似比等于对应高，对应角平分线，对应中线的比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．（2022·江苏徐州·中考真题）29. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）A. 5 B. 6 C. D. 【答案】C【解析】【分析】证明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果．【详解】解：∵CD∥AB，∴△ABE∽△CDE，∴=2，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）30. 如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C【解析】【分析】根据得出，根据，得出，根据、两点纵坐标分别为1、3，得出，即可得出答案．详解】解：∵，∴，∵，∴，∵、两点纵坐标分别为1、3，∴，∴，解得：，∴点的纵坐标为6，故C正确．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出，是解题的关键．二、填空题（2022·辽宁鞍山·中考真题）31. 如图，，，相交于点，若，，则的长为_________．【答案】5【解析】【分析】由平行线的性质求出∠B＝∠C，∠A＝∠D，得△EAB∽△EDC，再由相似三角形的性质求出线段CD即可．【详解】解：∵，∴∠B＝∠C，∠A＝∠D，∴△EAB∽△EDC，∴AB：CD＝AE：DE＝1：2，又∵AB＝2.5，∴CD＝5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．（2022·辽宁阜新·中考真题）32. 如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是______． 【答案】27【解析】【分析】根据矩形的性质，很容易证明∽，相似三角形面积之比等于对应边比的平方，即可求出的面积．【详解】解：四边形是矩形，，，，∽，，，：：，：：，即：：，．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用．掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．（2022·贵州毕节·中考真题）33. 如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________．【答案】##2.4【解析】【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到PQ的长度．【详解】解：∵，∴，∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线，∵,∴,∴，∴，∴，∴则PQ的最小值为，故答案为：．【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题．（2022·广西·中考真题）34. 古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是________米．【答案】134【解析】【分析】在同一时刻物高和影子成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，根据相似三角形的性质即可得．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：134．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是了解：同一时刻物高和影长成正比．（2022·山东东营·中考真题）35. 如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________．【答案】##4.8【解析】【分析】通过四边形EFGH为矩形推出，因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为△AEH的高，可得出，再将数据代入即可得出答案．【详解】∵四边形EFGH是矩形，∴，∴，∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高，∴，∴，∵，代入可得：，解得，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．三、解答题（2022·山东菏泽·中考真题）36. 如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论．【详解】证明：∵∴∠C=∠BEC，∵∠BEC=∠AED，∴∠AED=∠C，∵AD⊥BD，∴∠D=90°，∵，∴∠D=∠ABC，∴．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．（2022·江苏徐州·中考真题）37. 如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面，坡角．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为，在坡面上的影长为．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度． 【答案】(170+60)cm【解析】【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可．【详解】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F， 在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，则DF=CD=90（cm），CF=CD•cos∠DCF=180×=90（cm），由题意得：=，即=，解得：EF=135，∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm，则=，解得：AB=170+60，答：立柱AB的高度为(170+60)cm．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是数形结合，正确作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算．（2022·广西河池·中考真题）38. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）． （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标．【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析【解析】【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1．（2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可．小问1详解】如图，为所作．【小问2详解】如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）．【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴．（2022·湖北武汉·中考真题）39. 如图，正方形内接于，点E为的中点，连接交于点F，延长交于点G，连接．（1）求证：；（2）若．求和的长．【答案】（1）见详解 （2）FB=【解析】【分析】（1）根据正方形性质得出AD=BC，可证∠ABD=∠CGB，再证△BFE∽△GFB即可；（2）根据点E为AB中点，求出AE=BE=3，利用勾股定理求得BD=，CE=，然后证明△CDF∽△BEF，得出DF=2BF，CF=2EF，求出BF=,EF=即可．【小问1详解】证明：正方形内接于，∴AD=BC，∴，∴∠ABD=∠CGB，又∵∠EFB=∠BFG，∴△BFE∽△GFB，∴，即；【小问2详解】解：∵点E为AB中点，∴AE=BE=3，∵四边形ABCD为正方形，∴CD=AB=AD=6，BD=，CE=，∵，∴△CDF∽△EBF，∴，∴DF=2BF，CF=2EF，∴3BF=BD=，3EF=，∴BF=，EF=，由（1）得FG=．【点睛】本题考查圆内接正方形性质，弧，弦，圆周角关系，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握圆内接正方形性质，弧，弦，圆周角关系，勾股定理，三角形相似判定与性质是解题关键．（2022·吉林·中考真题）40. 下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线，与的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设与之间的距离为，则，．∴．【探究】（1）如图②，当点在，之间时，设点，到直线的距离分别为，，则．证明：∵ （2）如图③，当点在，之间时，连接并延长交于点，则．证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，∴ ．∴ ．∴．由【探究】（1）可知 ，∴．（3）如图④，当点在下方时，连接交于点．若点，，所对应的刻度值分别为5，1.5，0，的值为 ．【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式可得，由此即可得证；（2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，先根据平行线的判定可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，然后结合【探究】（1）的结论即可得证；（3）过点作于点，过点作于点，先根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式可得，，由此即可得出答案．【小问1详解】证明：，，．【小问2详解】证明：过点作，垂足为，过点作，垂足为，则，．．．由【探究】（1）可知，．【小问3详解】解：过点作于点，过点作于点，则，，，，点所对应的刻度值分别为5，，0，，，，又，，，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．