人教版数学九下同步单元讲练测第28章锐角三角函数01讲核心（2份，原卷版+解析版）

这是一份人教版数学九下同步单元讲练测第28章锐角三角函数01讲核心（2份，原卷版+解析版），文件包含人教版数学九下同步单元讲练测第28章锐角三角函数01讲核心原卷版doc、人教版数学九下同步单元讲练测第28章锐角三角函数01讲核心解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共70页， 欢迎下载使用。
考点一 锐角三角函数的概念1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的三个三角函数的定义如下表所示：1. 锐角的_______统称为锐角的三角函数．【答案】正弦、余弦、正切【解析】【分析】根据初中所学三角函数的种类直接填写即可得到答案．【详解】解：锐角的正弦、余弦、正切统称为锐角的三角函数．【点睛】本题考查初中所学锐角三角函数种类，熟记三种三角函数是解决问题的关键．3．同角三角函数之间的关系2. 同角三角函数关系：______；【答案】1【解析】【分析】根据三角函数值定义，结合图形，数形结合即可得到答案．【详解】解，如图所示：根据三角函数值定义：，，中，，，故答案为：．【点睛】根据三角函数值定义，作出图形，结合勾股定理数形结合是解决问题的关键．考点2 特殊角的三角函数值1．30°、45°、60°角的三角函数值2．特殊三角形三边的比（1）30°直角三角形三边的比（由小到大）是（2）45°直角三角形三边的比（由小到大）是考点3 解直角三角形1．解直角三角形的含义3. 在直角三角形中，由已知元素求出_________的过程，叫做解直角三角形．【答案】未知元素【解析】【分析】根据解直角三角形定义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形直接填写即可得到答案．【详解】解：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形，故答案为：未知元素．【点睛】本题考查解直角三角形定义，熟记在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形是解决问题的关键．4. 直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：（1）角角关系：两锐角互余，即_________；（2）边边关系：勾股定理，即_________；【答案】 ①. ②. 【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得到答案；（2）根据勾股定理即可得到答案．【详解】解：（1）在中，，结合三角形内角和定理可知，从而得到，即直角三角形中，角角关系：两锐角互余；（2）根据勾股定理，在中，，如图所示，．【点睛】本题考查直角三角形的性质，熟记角角关系：两锐角互余；边边关系：勾股定理，是解决问题的关键．（3）边角关系：锐角三角函数，即sinA=、cosA=、tanA=、sinB=、cosB=、tanB=．5. 解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：（1）已知两条边：一_____边和一______；两_______；（2）已知一条边和一个锐角：一______和一______；____ 和一______．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．【答案】 ①. 直角 ②. 斜边 ③. 直角边 ④. 直角边 ⑤. 锐角 ⑥. 斜边 ⑦. 锐角【解析】【分析】根据解直角三角形的定义及常见题型总结归纳即可得到答案．【详解】解：（1）已知两条边：一直角边和一斜边；两直角边；（2）已知一条边和一个锐角：一直角边和一锐角；斜边和一锐角；这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．故答案为：直角，斜边，直角边；直角边，锐角，斜边，锐角．【点睛】本题考查解直角三角形定义，熟记解直角三角形相关题型，总结归纳情况是解决问题的关键．考点4 解直角三角形的实际应用1．仰角与俯角6. 当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为_____；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为_____．【答案】 ①. 仰角 ②. 俯角【解析】【分析】根据仰角定义：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角；俯角的定义：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角直接填写即可得到答案．【详解】解：如图所示：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角，故答案为：仰角；俯角．【点睛】本题考查仰角、俯角定义，熟记根据仰角定义：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角；俯角的定义：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角，是解决问题的关键．2．坡角与坡度7. 坡面与水平面所成的角称为_______；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为______；坡角与坡度的关系为：坡角的_______就是坡度，坡角越____，坡度越大．【答案】 ①. 坡角 ②. 坡度 ③. 正切值 ④. 大【解析】【分析】根据坡角、坡度的定义，以及坡角与坡度的关系直接填空即可得到答案．【详解】解：坡面与水平面所成的角称为坡角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度；坡角与坡度的关系为：坡角的正切值就是坡度，坡角越大，坡度越大．故答案为：坡角，坡度，正切值，大【点睛】本题考查坡角、坡度定义以及坡角与坡度的关系，熟记这些基础知识是解决问题的关键．坡度：；坡角:．3．方向角8. 指北或指南方向线与目标方向所成的小于的角叫做_________；【答案】方向角【解析】【分析】根据方向角定义：指北或指南方向线与目标方向所成的小于的角直接填写即可得到答案．【详解】解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于的角叫做方向角，故答案为：方向角．【点睛】本题考查方向角的定义，熟记指北或指南方向线与目标方向所成的小于的角叫做方向角是解决问题的关键．4．其它实际问题锐角三角函数的定义1．锐角三角函数是线段的比．正弦、余弦、正切是在直角三角形中定义的，其本质是直角三角形两条线段的比，它只是一个比值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在的直角三角形的大小无关．2．锐角三角函数与直角三角形锐角三角函数是在直角三角形中定义的，也只能在直角三角形中应用，如果没有直角三角形，可考虑添加辅助线构造直角三角形．3．锐角三角函数定义式的变换4．互余的两个角的三角函数关系如果∠A+∠B＝90°，则，；5．三角函数与参数法由于三角函数是比值，可以利用参数来表示作比的两条线段．如，可设a=3k，b=5k，再用勾股定理计算出b=4k．【例题】9. 如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（　　）A. 3 B. 2 C. 2 D. 3【答案】A【解析】【分析】连接CM，DN，根据题意可得，从而可得∠APD＝∠NCD，然后先利用勾股定理的逆定理证明△CDN是直角三角形，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】解：取格点M， 连接CM，在CM上取格点N，连接 DN，由题意得：，∴∠APD＝∠NCD，由题意得：，，，∴，∴△CDN是直角三角形，∴tan∠DCN＝＝＝3，∴∠APD的正切值为3，故选：A．【点睛】本题主要考查了求正切值，勾股定理逆定理， 根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．10. 已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB=，则线段AB的长的最小值为（　　）A. B. C. 3 D. 4【答案】D【解析】【分析】如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．首先证明当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小，解直角三角形求出此时AB的值，可得结论．【详解】解：如图，过点O作直线直线l，则直线l与直线之间的距离为4，作点B关于直线的对称点，连接，，交直线于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．在Rt△中，AB=，∴的值最小时，AB的值最小，∵OA+OB=OA+≥，∴当A，O，共线时，的值最小，此时AB的值最小，∵直线l'垂直平分线段，∴TB=，∴∠ =∠，∵∠TBA+∠=90°，∠TAB+∠=90°，∴∠TAB=∠TBA，∴TA=TB，∵cos∠AOB=cos∠ATB=，∴，∴可以假设TH=3k，AT=TB=5k，∴BH=TB-TH=2k，∴AH==4k，∴AB=， ∵，∴，解得k=，∴AB的最小值，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称最短问题，解题的关键是学会利用轴对称的性质添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于选择题中的压轴题．11. 已知是锐角，，求，的值【答案】，【解析】【分析】根据题意，作出包含的直角三角形，利用三角函数定义、勾股定理等知识，数形结合求解即可得到答案．【详解】解：如图所示：在中，是锐角，，设，则由勾股定理得，，．【点睛】本题考查求锐角的三角函数值，涉及正弦、余弦和正切定义、勾股定理等知识，根据题意，作出图形，数形结合求解三角函数是解决问题的关键．【练经典】12. 如图，在Rt中，，，，则sinA的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，再根据正弦的定义：对边比斜边，进行计算即可．【详解】解：∵，，，∴，∴；故选D．【点睛】本题考查正弦的定义．熟练掌握正弦的定义是解题的关键．13. 在菱形中，，点在直线上，，连接，则的正切值为_________．【答案】或【解析】【分析】连接AC交BD于O，由菱形的性质得OB=OD，AC⊥BD，，设OA=a，则，分两种情况，分别求出OE的长，即可解决问题．【详解】解：连接AC交BD于O， ∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，AC⊥BD，， 设OA=a，则AB=2OA=2a， 则， 分两种情况： ①如图1，点E在线段BD上时， 在Rt△AOE中，②如图2，点E在射线DB上时， ∴OE=BE+OB= ， 在Rt△AOE中，综上所述，∠AED的正切值为或； 故答案为：或．【点睛】本题考查了菱形的性质、含角的直角三角形的性质、锐角三角函数定义以及分类讨论等知识，熟练掌握菱形的性质，进行分类讨论是解题的关键．14. 已知中，，求、和．【答案】，，【解析】【分析】根据题意，作出符合题意的直角三角形，利用三角函数定义、勾股定理等知识，数形结合求解即可得到答案．【详解】解：如图所示：在中，，则，,，由勾股定理得，．【点睛】本题考查解直角三角形及求三角函数值，涉及正切定义、勾股定理、余弦定理等知识，根据题意，作出图形，数形结合是解决问题的关键．【练易错】易错点：混淆三角函数的定义式而出错15. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为___________．【答案】【解析】【分析】取格点D，构造等直角三角形，通过勾股定理计算出，即可求解；【详解】解：如下图所示，由图可得，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查利用网格图求角的三角函数、直角三角形的性质，熟练掌握三角函数定义，利用网格构造直角三角形是解题的关键．特殊角的三角函数值1．利用锐角三角函数的变化规律记特殊角的三角函数值锐角的正弦是增函数，30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2，分子都置于里面，被开方数依次是1、2、3；锐角的余弦是减函数，30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2，分子都置于里面，被开方数依次是3、2、1；锐角的正切是增函数，中间1，前除后乘．2．利用特殊角的直角三角形三边的关系记特殊角的三角函数值（1）30°直角三角形三边的比（由小到大）是（2）45°直角三角形三边的比（由小到大）是【例题】16. 若，是一个三角形的两个锐角，且满足.则此三角形的形状是（　　）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 无法确定【答案】C【解析】【分析】根据非负数的性质可知，；根据 都是锐角可知，从而判断三角形的形状．【详解】∵，∴，，∴，，又∵，是一个三角形的两个锐角，∴，，∴此三角形的形状是等边三角形．故选C．【点睛】考查了三角形的形状问题、三角函数值和绝对值的非负性，熟记特殊角的三角函数值和绝对值的非负性是解答此题的关键．17. 计算（1）.（2）.【答案】（1）2； （2）．【解析】【分析】（1）准确计算特殊角的三角函数值即可；（2）注意去绝对值号时是否变号，的奇次幂结果仍是．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值的运算，去绝对值以及的大指数幂，准确记忆特殊角三角函数值是解题的关键．【练经典】18. 点关于原点中心对称的点的坐标是（　　）A. （，） B. （，）C. （，） D. （，）【答案】D【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值确定出M坐标，找出关于原点中心对称的点坐标即可．【详解】解：点化简得：，所以关于原点对称的点的坐标是（，），故选：D．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，原点对称，熟练掌握特殊角的三角函数值，原点对称是解题的关键．19. 计算：（1）sin260°﹣tan30°⋅cos30°+tan45°；（2）．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．（2）原式利用二次根式的性质，负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值以及绝对值的代数意义化简即可得到结果；【小问1详解】sin260°﹣tan30°⋅cos30°+tan45°【小问2详解】【点睛】此题考查了特殊三角函数值及实数的运算，熟记特殊三角函数值、掌握运算法则是解本题的关键．【练易错】易错点：混淆特殊角的三角函数值导致错误20. 计算【答案】0【解析】【分析】结合特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值的计算，及实数的混合计算，二次根式的性质，能够熟练的写出特殊角的三角函数值是解题关键．解直角三角形1．解直角三角形的常见类型及解法2．非直角三角形，一般通过作垂线，构造直角三角形求解【例题】21. 如图，圆规两脚OA，OB张开的角度∠AOB为，，则两脚张开的距离AB为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据圆规两角张开形成等腰三角形，过点作，交于点，解直角三角形即可．【详解】解：过点作，交于点，∵是圆规两脚，∴，∴，∴，∴；故选A．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和解直角三角形．熟练掌握等腰三角形的性质和解直角三角形是解题的关键．22. 如图，中，，，已知，，则______．【答案】10【解析】【分析】根据题意得出，则，设，则，根据三角形面积求出，，进而得出，运用三角形面积公式计算即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴设，则，∵，即，∴，即，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形，读懂题意，根据锐角三角函数求出三角形的各边长是解本题的关键．23. 如图，在平面直角坐标系中，，连结并延长至C，连结，若满足，，则点C的坐标为_________．【答案】【解析】【分析】根据相似三角形的判定和性质得出，进而得出，利用，得出，利用勾股定理解得，从而可知的长，进而可知的值，由，设，，根据的值列出关于的方程，解得的值，则可得点的坐标．【详解】解： ，∴，又，，，，，，，，，，由勾股定理可得：，即，解得：，．．如图，过点作轴于点，，设，，，，，，解得：，经检验，是原方程的解．∴，，点坐标为：．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理在计算中的应用及解分式方程等知识点，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．24. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长．【答案】3+【解析】【分析】过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．【详解】解：过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=，∴BD=CD=，由勾股定理得：AD==3，∴AB=AD+BD=3+，答：AB的长是3+．【点睛】此题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握了解直角三角形，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理．【练经典】25. 如图，在中，，点E在线段上，在延长线上取一点D，连接，使得，若，则的面积为_______．【答案】30【解析】【分析】过点A作于点F，过点E作于点M，过点E作，延长AD，过点C作于点G，依次证明，，由相似三角形的性质可知，，结合已知条件可得；设，则，，，证明，即有，由，可推导，即，，由三角函数即可确定，易得；设，则，，在中，由勾股定理可解得，则有，；证明，借助相似三角形的性质可计算，然后利用三角形面积公式获得结论．【详解】解：过点A作于点F，过点E作于点M，过点E作，延长AD，过点C作于点G，∵，即， 又∵∴，∴，又∵，∴，∴，，即，∵，∴，∵，∴，∴，设，则，∵，，∴，，∵，，即，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中，，∴,∵，∴，设，则，∴，在中，由勾股定理可得，∵，∴，解得，即，，∴，∵，，即，又∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：30．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、三角形面积公式等知识，正确作出辅助线，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题关键．26. 如图所示，在四边形中，，，M为中点，动点P从点B出发沿向终点C运动，连接，，取中点N，连接，求线段的最小值 _____．【答案】2【解析】【分析】过点D作于E，根据垂线段最短得到点P与点E重合时，最小，根据解直角三角形的性质求出，根据三角形中位线定理计算，得到答案．【详解】解：如图，过点D作于E，则当点P与点E重合时，最小，在中，，，∴，∵M为中点，N是中点，∴是的中位线，∴，∴线段的最小值为，故答案为：2．【点睛】本题考查解直角三角形的性质、垂线段最短，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．27. 已知：在中，是直径，是的切线，连接与交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接，如图所示，在中，是直径，是的切线，得到，，从而，又，得到，结合是的一个外角，根据外角性质即可得到；（2）由（1）可知，在中，，，得到，再根据勾股定理得到，从而求出的半径为．【小问1详解】证明：连接，如图所示：在中，是直径，，，即，是的切线，，即，，在中，，，是的一个外角，；【小问2详解】解：如图所示：由（1）知，在中，，则，，，，即的半径为．【点睛】本题考查圆综合，涉及直径所对的圆周角是直角、切线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角性质、勾股定理、三角函数求线段长等知识，熟练掌握圆中相关知识以及圆与三角形综合求角度与线段长的方法是解决问题的关键．【练易错】易错点：忽略解直角三角形的前提条件，在非直角三角形中直接求解导致错误28. 已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．【答案】sin B=【解析】【分析】过C作CD⊥AB于D，根据三角形的面积求出CD，根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】解：过C作CD⊥AB于D，∵△ABC中，AB=9，△ABC的面积等于9，∴ ×AB×CD=9，∴CD=2，∴sinB= .【点睛】本题考查三角形的面积和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的计算能力．解直角三角形的实际应用1．解直角三角形的实际应用的一般步骤画示意图→转化为数学问题→构造直角三角形→解直角三角形2．解直角三角形的实际应用中的一些技巧（1）有“斜”用“弦”．斜边是已知量，求直角边，就用正弦或余弦；（2）无“斜”用“切”．一条直角边是已知量，求另一条直角边，就用正切；（3）避“除”就“乘”．一般选取乘积关系式，，，尽量少用或不用作除的关系式；（4）有“始”去“中”．能用原始数据，尽量不用中间数据，这样可以提高计算的精确程度．【例题】29. 上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，10时到达B处（如图）．从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么船在B处时与小岛M的距离（ ）A. 海里 B. 海里 C. 40海里 D. 海里【答案】D【解析】【分析】过点B作于点N．根据三角函数求的长，从而求的长．【详解】解：如图，过点B作于点N．由题意得，海里，．作于点．在中，海里．在直角中，，则，所以（海里）．故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理的应用等知识，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．30. 如图，传送带和地面所成斜坡坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为（ ）A. 3米 B. 米 C. 2米 D. 3米【答案】B【解析】【分析】过点B作BC⊥AC于点C，构造直角△ABC解决问题．【详解】解：过点B作BC⊥AC于点C，∵ ，∴AC=3，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∴AB=米 ，故选择B．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解决问题的关键是构造直角三角形．31. 如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为 ________ 米 （结果保留根号）【答案】【解析】【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解.【详解】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，∵BC=6，∴CE=，∴DF=CE=，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．32. 如图，在某居民楼楼顶有一广告牌，在距楼底点左侧水平距离的点处有一个山坡，山坡的坡度（或坡比），山坡坡底点到坡顶点的距离，在坡底点处测得居民楼楼顶点的仰角为，在坡顶点处测得居民楼楼顶广告牌上端点的仰角为，居民楼，广告牌与山坡的剖面在同一平面内，则广告牌的高度约为_______（结果精确到0.1，参考数据：，，）【答案】7.5米【解析】【分析】作于，作于，则，，，求出，，则，由三角函数定义求出，则，证出是等腰直角三角形，则，求出即可．【详解】解：作于，作于，如图所示：则，，，山坡的坡度，，，在 中，，，，在中，，，，又，，是等腰直角三角形，，，故答案为：7.5米．【点睛】本题考查了直角三角形的应用坡度、仰角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【练经典】33. 如图，商用手扶梯的坡比为，已知扶梯的长为12米，则小明乘坐扶梯从处到处上升的高度为（ ） A. 6米 B. 米 C. 12米 D. 米【答案】A【解析】【分析】根据坡比的定义可知，设AC=x，则BC=x，由勾股定理求出AB=2x=12，得出x=6即可．【详解】解：∵商用手扶梯AB的坡比1：，设AC=x米，则BC=x米，∴，解得：x=6，∴AC=6米，故选：A．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及勾股定理．理解坡度的定义是解此题的关键．34. 如图，嘉琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度，嘉琪通过操控装置测得无人机俯视桥头，的俯角分别为和，且，，在同一水平线上，已知桥米，则无人机的飞行高度（ ）A. 15米 B. 米 C. 米 D. 米【答案】B【解析】【分析】由、可得出、，进而可得出、，再结合即可求出的长度．【详解】解：，，，，，，，（米．答：无人机的飞行高度为米．故选：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，掌握仰角俯角定义解题的关键．35. 如图，航模小组用无人机来测量建筑物BC的高度，无人机从A处测得建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，若此时无人机与该建筑物的水平距离AD为30m，则该建筑物的高度BC为_____m．（结果保留根号）【答案】（30+30）．【解析】【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD•tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可．【详解】解：∵在Rt△ABD中，AD＝90，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝30（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，∴CD＝AD•tan60°＝30×＝30（m），∴BC＝BD+CD＝30+30（m）答：该建筑物的高度BC约为（30+30）米．故答案为：（30+30）．【点睛】此题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．36. 重庆实验外国语学校坐落在美丽且有灵气的华岩寺旁边，特别是金灿灿的大佛让身高1.6米的小王同学很感兴趣，刚刚学过三角函数知识，他就想测一下大佛的高度，小王到点测得佛顶仰角为，接着向大佛走了10米来到处，再经过一段坡度，坡长为5米的斜坡到达处，此时与大佛的水平距离米（其中点、、、、在同一平面内，点、、在同一条直线上），请问大佛的高度为多少米？（参考数据：）．【答案】16米【解析】【分析】过点作于点，过点作于点，设，，得出，解得，求出米，解直角三角形求出的长，则可求出答案．【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图所示：斜坡的坡度，米，设，，，解得，米，米，由题意可知四边形和四边形是矩形，米，米，米，在中，，，米，米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．【练易错】易错点：误解方向角、仰角与俯角、坡角与坡度概念导致错误37. 如图，在建筑物AB上，挂着35 m长的宣传条幅AE，从另一建筑物CD的顶部D处看条幅顶端A处，仰角为45°，看条幅底端E处，俯角为37°．求两建筑物间的距离BC．(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， tan37°≈0.75) 【答案】两建筑物间的距离BC为20m. 【解析】【分析】如图，过点D作DFAB交AB于点F，则∠DFA=∠DFE=90°，结合已知条件易得AF=DF，EF=DF·tan37°，结合AE=AF+EF=35即可列出方程解得DF的长，这样由四边形BCDF是矩形即可得到BC=DF从而求出BC的长了．【详解】解：过点D作DFAB交AB于点F， ∴∠DFA=∠DFE=90°，∵∠ABC=∠BCD=90°，∴四边形BCDF是矩形，∴BC=DF，∵在Rt△ADF中，∠ADF=45°，∴AF=DF，∵在Rt△DFE中，∠EDF=37°，∴EF=DF·tan37°，又∵AF＋EF=AE=35，∴DF＋DF·tan37°=35，解得DF=BC=20（m） 答：两建筑物间的距离BC为20m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．38. 如图，在某监测点处望见一艘正在作业的渔船在南偏西方向的处，若渔船沿北偏西方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达处，在处观测到在的北偏东方向上，求、之间的距离．【答案】【解析】【分析】根据路程速度时间，结合题意求出，再由等腰直角三角形的判定与性质得到答案即可．【详解】解：如图所示：由题意得海里，,,,,,,,,在等腰，海里，则由勾股定理得到海里答：、之间的距离为海里．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用题-方向角问题，根据题意，结合图形，准确找到各个方向角、掌握等腰直角三角形的判定与性质是解决问题的关键．【新定义小练】39. 定义：对于线段和点P，当，且时，称点P为线段的“等距点”．特别地，当，且时，称点P为线段的“强等距点”．在平面直角坐标系中，点A的坐标为；若点B是线段的“强等距点”，且在第一象限，则点B的坐标为___．【答案】，【解析】【分析】过点B作BM⊥x轴于点M，根据“强等距点”的定义可得出∠ABO=120°，BO=BA，根据等腰三角形的性质以及特殊角的三角函数值即可求出线段OM、BM的长度，再由点B在第一象限即可得出结论．【详解】解：如图，过点．作轴于点，点是线段的“强等距点”，，，轴于点，，．在中，，，．点的坐标为，或，，点在第一象限，，．故答案为：，．【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，等腰三角形的性质，读懂题意明白“等距点”和“强等距点”的性质是解题的关键．40. 在中，是上的动点（异于、），过点的直线截，使截得的三角形与相似，我们不妨称这种直线为过点的的相似线，简记为（为正整数）．（1）如图①，，，当时，、都是过点的的相似线（其中，），此外，还有________条；（2）如图②，，，当________．时，截得的三角形面积为面积的．【答案】 ①. 1 ②. 或或．【解析】【分析】（1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线；（2）设P（lx）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2，然后按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线，根据相似比求解即可．【详解】解：（1）存在另外 1 条相似线．如图①所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；故答案为：1；（2）设P（lx）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2．如图②所示，共有4条相似线：①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴；②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴；③第3条l3，此时⊥AB，与△ABC另一个交点在BC上，则 BP与BC为对应边，且，∴；④第4条l4，此时l4⊥AB，交AC于D，则斜边AD和AB为对应边，∵，∴D与C重合，∴直角边AP与AC为对应边，且，∴，∴．故答案为：或或．【点睛】本题考查了自定义概念问题，涉及相似三角形判定与性质、解直角三角形，解题的关键是根据题意，结合图形找出所有的相似线．【阅读类小练】41. [教材呈现]如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．（1）请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．（2）[结论应用]如图2，直角三角形纸片中，，点D是边上的中点，连接，将沿折叠，点A落在点E处，此时恰好有．若，那么　 　．（3）如图3，在中，是边上的高线，是边上的中线，G是的中点，．若，则　 　．【答案】（1）见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）如图1中，延长到E，使，连接、，证得四边形是矩形，根据矩形的性质即可证得结论；（2）如图2中，设交于点O．证明，求出，证明，可得结论；（3）连接，证明，利用等腰三角形的三线合一的性质证明，利用勾股定理求出，可得结论．【小问1详解】证明：延长到E，使，连接，∴则．∵是斜边上的中线，∴，∴四边形是平行四边形．∵，∴平行四边形是矩形，∴，∴；【小问2详解】解：如图2中，设交于点O．∵，∴，∴．由翻折的性质可知．∵，∴．∵，∴，∴，∴．∵，，∴．∵，∴，∴．故答案为：；【小问3详解】解：如图3中，连接．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，解决问题．【综合实践类小练】（2022·山东枣庄·中考真题）42. 为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告【答案】台儿庄古城城门楼的高度约为17米【解析】【分析】设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，在Rt△AOP中，利用锐角三角函数可得OP≈1.5OA＝1.5x米，在Rt△BOP中，利用锐角三角函数可得OP≈0.8OB＝0.8（x+10）米，然后列出方程，即可求解．【详解】解：设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，在Rt△AOP中，tan∠OAP＝＝tan56°≈1.5，∴OP≈1.5OA＝1.5x米，在Rt△BOP中，tan∠OBP＝＝tan39°≈0.8，∴OP≈0.8OB＝0.8（x+10）米，∴1.5x＝0.8（x+10），解得：x＝，∴OP≈1.5x＝1.5×≈17米，答：台儿庄古城城门楼的高度约为17米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意 ，准确构造直角三角形是解题的关键．（2022·辽宁锦州·中考真题）43. 某数学小组要测量学校路灯的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仅进行测量，测量结果如下：计算路灯顶部到地面的距离约为多少米?（结果精确到0.1米．参考数据；）【答案】3.5米【解析】【分析】延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，先得到四边形ABCD、CDFE是矩形，然后由解直角三角形求出AF的长度，再求出PF的长度，即可求出答案．【详解】解：如图：延长DA，交PE于点F，则DF⊥PE，∵，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，同理：四边形CDFE是矩形；∴，，在直角△PDF中，有，在直角△PAF中，有，∴，即，∴，解得：；∴；∴（米）；∴路灯顶部到地面的距离约为3.5米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，正确的求出PF的长度．44. 综合与实践：问题情境：在综合与实践课上，数学老师出示了一道思考题：如图，在正方形中，是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰直角三角形，使得，，且点恰好在射线上．（1）如图1，当点在对角线上，点在边上时，那么与之间的数量关系是_________；探索发现：（2）当点在正方形外部时如图2与图3，（1）中的结论是否还成立？若成立，请利用图2进行证明；若不成立，请说明理由；问题解决：（3）如图4，在正方形中，，当是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积．【答案】（1）； （2）成立，证明见解析； （3）．【解析】【分析】（1）连接，根据正方形的性质和是等腰直角三角形，证得，可得，即可；（2）连接，根据正方形的性质和是等腰直角三角形，证得，可得，即可；（3）连接交于点，过点作交直线于点，根据正方形的性质，可得，再证得，可得，，在中，根据勾股定理可得，即可．【小问1详解】解：如图，连接，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴．即；故答案为：；【小问2详解】解：（1）中的结论还成立，证明如下：如图2，连接，∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴．即；【小问3详解】解：如图4，连接交于点，过点作交直线于点，∵四边形是正方形，，∴，，，∴，，∴，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，在中，由勾股定理得，，设，∴，解得，，（舍去），即，∴．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．【规律类小练】45. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，过点D作DC1⊥AC于点C1，以C1A，C1D为邻边作矩形AA1DC1，连接A1C1，交AD于点O1，过点D作DC2⊥A1C1于点C2，交AC于点M1，以C2A1，C2D为邻边作矩形A1A2DC2，连接A2C2，交A1D于点O2，过点D作DC3⊥A2C2于点C3，交A1C1于点M2；以C3A2，C3D为邻边作矩形A2A3DC3，连接A3C3，交A2D于点O3，过点D作DC4⊥A3C3于点C4，交A2C2于点M3…若四边形AO1C2M1的面积为S1，四边形A1O2C3M2的面积为S2，四边形A2O3C4M3的面积为S3…四边形An﹣1OnCn＋1Mn的面积为Sn，则Sn＝__________．（结果用含正整数n的式子表示）【答案】【解析】【分析】根据四边形ABCD是矩形，可得AC＝，运用面积法可得DC1＝＝，进而得出DCn＝，得出S1＝，……，Sn＝＝×＝．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，AD＝BC＝2，CD＝AB＝1，∴AC＝＝＝，∵DC1•AC＝AB•BC，∴DC1＝＝＝，同理，DC2＝DC1＝（）2，DC3＝（）3，……，DCn＝（）n，∵＝tan∠ACD＝＝2，∴CC1＝DC1＝，∵tan∠CAD＝＝＝，∴A1D＝AC1＝2DC1＝，∴AM1＝AC1﹣C1M1＝2DC1﹣DC1＝×DC1＝，同理，A1M2＝×DC2，A2M3＝×DC3，……，An﹣1Mn＝×DCn，∵四边形AA1DC1是矩形，∴O1A＝O1D＝O1A1＝O1C1＝1，同理∵DC2•A1C1＝A1D•DC1，∴DC2＝＝＝，在Rt△DO1C2中，O1C2＝＝＝＝DC2，同理，O2C3＝DC3，O3C4＝DC4，……，OnCn＋1＝DCn＋1，∴ ＝×AM1×DC1﹣×O1C2×DC2＝（﹣）＝＝，同理，＝×＝，S3＝＝×＝，……，Sn＝＝×＝．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形性质，勾股定理，解直角三角形，三角形面积等，解题关键是通过计算找出规律．函数名称定义式自变量的取值范围函数值的取值范围正弦sinA=余弦cosA=正切tanA=∠A30°45°60°sinAcosAtanA1函数名称定义式求分子求分母正弦余弦正切已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边a，b由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边，如c，a由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边，如∠A，b∠B=90°－∠A，锐角、对边，如∠A，a∠B=90°－∠A，，斜边、锐角，如c，∠A∠B=90°－∠A，，例2 如图，在中，，是斜边上中线．求证： ．证明：延长至点E，使，连接．活动课题测量台儿庄古城城门楼高度活动目的运用三角函数知识解决实际问题活动工具测角仪、皮尺等测量工具方案示意图测量步骤如图②（1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°；（2）前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°．参考数据sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．计算城门楼PO的高度（结果保留整数）测量项目测量数据从A处测得路灯顶部P的仰角从D处测得路灯顶部P的仰角测角仪到地面的距离两次测量时测角仪之间的水平距离