专题06 函数与导数领域中的典型压轴小题全归纳与剖析（讲义）-2025年高考数学二轮复习讲练（新高考通用）

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\l "_Tc186036427" 01考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc186036427 \h 2
\l "_Tc186036428" 02知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc186036428 \h 3
\l "_Tc186036429" 03 知识梳理·方法技巧 PAGEREF _Tc186036429 \h 4
\l "_Tc186036430" 04 真题研析·精准预测 PAGEREF _Tc186036430 \h 7
\l "_Tc186036431" 05 核心精讲·题型突破 PAGEREF _Tc186036431 \h 10
\l "_Tc186036432" 题型一：唯一零点求值问题 PAGEREF _Tc186036432 \h 10
\l "_Tc186036433" 题型二：不动点与稳定点 PAGEREF _Tc186036433 \h 11
\l "_Tc186036434" 题型三：运用反函数思想妙解压轴题 PAGEREF _Tc186036434 \h 12
\l "_Tc186036435" 题型四：倍值函数 PAGEREF _Tc186036435 \h 13
\l "_Tc186036436" 题型五：最值函数 PAGEREF _Tc186036436 \h 15
\l "_Tc186036437" 题型六：嵌套函数 PAGEREF _Tc186036437 \h 16
\l "_Tc186036438" 题型七：共零点问题 PAGEREF _Tc186036438 \h 17
\l "_Tc186036439" 题型八：双参数比值型问题 PAGEREF _Tc186036439 \h 18
\l "_Tc186036440" 题型九：指数函数与对数函数的交点 PAGEREF _Tc186036440 \h 19
\l "_Tc186036441" 题型十：曼哈顿距离问题 PAGEREF _Tc186036441 \h 20
\l "_Tc186036442" 题型十一：平口单峰函数 PAGEREF _Tc186036442 \h 22
\l "_Tc186036443" 题型十二：三次函数 PAGEREF _Tc186036443 \h 23
\l "_Tc186036444" 题型十三：指对同构 PAGEREF _Tc186036444 \h 25
\l "_Tc186036445" 题型十四：切线放缩与夹逼 PAGEREF _Tc186036445 \h 26
\l "_Tc186036446" 题型十五：整数解问题 PAGEREF _Tc186036446 \h 28
\l "_Tc186036447" 题型十六：导数中的“最短距离”问题 PAGEREF _Tc186036447 \h 29
\l "_Tc186036448" 题型十七：等高线问题 PAGEREF _Tc186036448 \h 31
\l "_Tc186036449" 重难点突破：多变量问题 PAGEREF _Tc186036449 \h 32
高考中函数与导数的经典压轴小题，往往聚焦于函数的零点、不等式恒成立等核心考点，这些考点与函数的性质、表达式及图像紧密相连。解题过程要求考生展现出坚实的逻辑推理能力和空间直观想象力，以及熟练的数学运算技巧。此外，面对贴近实际的数学问题，考生还需具备敏锐的数据分析能力和数学建模思维，能够将实际问题抽象为数学模型，并运用所学知识进行求解。
1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）．
3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点解不等式．
4、分段函数零点的求解与判断方法：
（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；
（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
5、动态二次函数中静态的值：
解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图象的开口、对称轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题．
6、动态二次函数零点个数和分布问题：
通常转化为相应二次函数的图象与轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通过对称轴，根的判别式，相应区间端点函数值等来考虑．
7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型：
（1）对称轴变动，区间固定；
（2）对称轴固定，区间变动；
（3）对称轴变动，区间也变动．
这时要讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值．
8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象来研究原函数的图象．如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点…
具体来说，对于三次函数，其导函数为，根的判别式．
（1）当时，恒成立，三次函数在上为增函数，没有极值点，有且只有一个零点；
（2）当时，有两根，，不妨设，则，可得三次函数在，上为增函数，在上为减函数，则，分别为三次函数的两个不相等的极值点，那么：
① 若，则有且只有个零点；
② 若，则有个零点；
③ 若，则有个零点．
特别地，若三次函数存在极值点，且，则地解析式为．
同理，对于三次函数，其性质也可类比得到．
9、由于三次函数的导函数为二次函数，其图象变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点，此结论可以由对称性的定义加以证明．事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点．
10、对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同．导数的几何意义就是求图象在该店处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如果是过某一点，一定要设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可．
11、恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．
12、如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值．
13、当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围．
14、两类零点问题的不同处理方法
利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且．．
①直接法：判断-一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明．
②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明．
15、利用导数研究方程根（函数零点）的技巧
（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．
（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．
（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
16、已知函数零点个数求参数的常用方法
（1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
（2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
4．（2024年天津高考数学真题）设，函数.若fx恰有一个零点，则的取值范围为 ．
5．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
6．（多选题）（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数，则（ ）
A．是的极小值点B．当时，
C．当时，D．当时，
7．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（多选题）（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
9．（2023年北京高考数学真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
10．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
11．（2023年天津高考数学真题）设,函数,若fx恰有两个零点，则的取值范围为 ．
12．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
13．（2022年新高考天津数学高考真题）设，对任意实数x，用fx表示中的较小者．若函数至少有3个零点，则的取值范围为 .
14．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ．
15．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ．
16．（2022年新高考北京数学高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ．
题型一：唯一零点求值问题
【典例1-1】已知函数有唯一零点，则（ ）
A．1B．C．D．
【典例1-2】已知函数有唯一零点，则（ ）
A．B．C．D．1
根据偶函数零点特性可知：若偶函数有唯一零点，则必然在处取得，即.
【变式1-1】已知函数有唯一零点，则实数（ ）
A．B．2C．D．
【变式1-2】已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为
A．或B．1或C．或2D．或1
1．已知函数有唯一零点，则实数（ ）
A．B．C．D．1
2．已知函数，，若与的图象有且只有一个公共点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．函数有且只有一个零点，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型二：不动点与稳定点
【典例2-1】设函数（，为自然对数的底数）.若曲线 上存在使得，则的取值范围是 .
【典例2-2】设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在一点使得，则的取值范围是 ．
1、不动点
定义：一般地，对于定义在区间上的函数，若存在，使得，则称是函数的一阶不动点，简称不动点．
从代数角度看，一阶不动点是方程的根．
从几何角度看，一阶不动点是曲线与直线的交点的横坐标．
2、稳定点
定义：若存在，使，则称是函数的二阶不动点，简称稳定点．
从代数角度看，二阶不动点是方程的解，也就是方程组的解；
从几何角度看，函数的二阶不动点是指：函数图象上关于直线对称的两点的横坐标（即函数与其反函数的交点的横坐标），或直线与函数交点的横坐标．
3、不动点与稳定点的结论
（1）有解等价于有解．特别地，当函数单调递增时，的解与的解相同．
（2）无解等价于无解．
（3）有解等价于有解．
（4）无解等价于无解．
【变式2-1】已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围是 ．
【变式2-2】设函数，若曲线上存在点,使得成立，求实数的取值范围为 .
1．（2024·高三·福建泉州·期中）已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围是 ．
2．已知.若，则的取值范围是 .
3．对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，则称为函数的“稳定点”．如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数的取值范围是 ．
题型三：运用反函数思想妙解压轴题
【典例3-1】（2024·高三·江苏·课后作业）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 ．
【典例3-2】已知函数，，且，给出下列结论：
（1），（2），（3），（4），（5），
则上述正确结论的序号是 .
1、反函数定义：已知函数，其值域为．如果对中的任意给定的一个值，在中满足的值有且仅有一个，那么由此得到的关于的函数叫作的反函数，记作．因为习惯上将视为自变量，视为函数值，所以通常将该函数写为．
2、反函数性质：原函数与反函数关于对称．
【变式3-1】设点在曲线上，点在曲线上，若PQ的最小值为，则 .
【变式3-2】（2024·高三·湖北黄冈·期中）已知函数与函数互为反函数，它们的图象关于对称．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
1．设分别是方程和的根，则 ．
2．（2024·高三·广东佛山·开学考试）已知函数，对任意的正实数x都有恒成立，则a的取值范围是 ．
题型四：倍值函数
【典例4-1】已知函数（且），若存在实数，使函数在上的值域恰好为，则的取值范围为 .
【典例4-2】已知函数，当时，的值域为，则实数的取值范围是 .
对于函数，这样的问题称之为倍值函数问题，该类问题主要有三个模型：（1）模型一：函数单调递增，方程同构即可；（2）模型二：函数单调递减，两式相减即可；（3）模型三：函数有增有减，分类讨论即可．
【变式4-1】已知函数，若存在实数，，使得函数在区间的值域为，则实数的取值范围是 ．
【变式4-2】已知函数，的解集为，若在0,+∞上的值域与函数在上的值域相同，则实数的取值范围为 .
1．（2024·高三·浙江·开学考试）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：(1)在上是单调函数；(2)在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有 ．（填上所有正确的序号）
①；
②；
③；
④．
2．已知函数的定义域为，若存在区间使得：
（Ⅰ）在上是单调函数；
（Ⅱ）在上的值域是，
则称区间为函数的“倍值区间”．
下列函数中存在“倍值区间”的有 （填上所有你认为正确的序号）
①； ②；
③； ④．
3．对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数.若是上倍值函数，则实数的取值范围是 .
题型五：最值函数
【典例5-1】（2024·天津北辰·三模）设，对任意实数x，记．若有三个零点，则实数a的取值范围是 ．
【典例5-2】（2024·河南·模拟预测）以表示数集中最大的数．设，已知或，则的最小值为 ．
指的是二者之中取最小， 指的是二者之中取最大．
性质一：
．
性质二： ．
【变式5-1】定义为数集M中最大的数，已知，若或，则的最小值为 .
【变式5-2】（2024·云南昆明·三模）以表示数集中最大的数．已知，，，则的最小值为
1．设表示，，中最大的数，设，且，则的最小值为 ．
2．设表示，，，中最大的数，已知，均为正数，则的最小值为 .
3．（2024·全国·模拟预测）记表示这3个数中最大的数．已知都是正实数，，则的最小值为 ．
题型六：嵌套函数
【典例6-1】已知函数，，则函数的零点个数为 个．
【典例6-2】（2024·高三·辽宁大连·期末）已知函数有三个零点，且有，则的值为 .
嵌套函数：又名复合函数，指的是形如的函数，嵌套函数零点问题的求解关键在于“设”，注意定义域与值域的转化，结合图像解题．
【变式6-1】（2024·河南南阳·模拟预测）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为 .
【变式6-2】已知函数有三个不同的零点，其中则的值为 .
1．（2024·高三·湖北襄阳·期中）若函数有极值点，，则关于的方程 +的不同实数根的个数是 .
2．若函数有两个极值点，其中,，且，则方程的实根个数为 个.
3．若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为
题型七：共零点问题
【典例7-1】设函数，若，则（ ）
A．0B．1C．eD．前3个答案都不对
【典例7-2】（2024·高三·湖北武汉·开学考试）设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
共零点问题：此类问题往往是的形式，其特征是两个函数具备相同的零点．
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）设函数，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．9
【变式7-2】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数，且在定义域内恒成立，则实数的取值范围为 ．
1．若函数是上的单调减函数，已知，,且在定义域内恒成立，则实数的取值范围为 .
2．设函数，若，则的最小值为 .
3．设函数，若，且，则的最小值为 .
题型八：双参数比值型问题
【典例8-1】（2024·江苏·一模）已知函数，其中为自然对数的底数，若不等式恒成立，则的最大值为 ．
【典例8-2】（2024·高三·浙江宁波·开学考试）设函数，若不等式对任意恒成立，则的最大值为 ．
对于双参数比值型问题，零点比大小法是一种有效的解决策略。这种方法类似于数形结合的思想，首先我们将问题中的曲线和直线部分“曲直分开”，分别绘制出它们的图像，并找出它们的零点。
在这里，直线的零点具有特殊的意义，它通常对应着我们待求的双参数比值。接下来，我们观察直线和曲线的交点情况，特别是当直线的零点与曲线的零点重合时，这意味着双参数比值取得了最值（这个最值可能是最大值，也可能是最小值，具体取决于题目的要求）。
在图像上，这种最值情况表现为直线与曲线在曲线的零点处相切。换句话说，当直线与曲线仅有一个交点，并且这个交点恰好是曲线的零点时，双参数的比值就达到了它的最值。
因此，通过绘制曲线和直线的图像，寻找它们的零点，并观察它们之间的交点情况，我们可以直观地找到双参数比值的最值。这种方法不仅直观易懂，而且在实际应用中非常有效。
【变式8-1】（2024·河北沧州·三模）若不等式，对于恒成立，则的最大值为 .
【变式8-2】已知关于不等式对任意和正数恒成立，则的最小值为 ．
1．已知m、n为实数，，若对恒成立，则的最小值为 ．
2．已知a，，若关于x的不等式在上恒成立，则的最大值为 ．
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）设，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是 .
题型九：指数函数与对数函数的交点
【典例9-1】（2024·山东济南·一模）设分别是函数和的零点(其中)，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例9-2】（2024·山东·模拟预测）已知函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
当时，方程有且只有三解；
当时，方程有且只有一解．
当，方程无解
当时，方程有且只有一解．
当时，方程有且只有两解
【变式9-1】设，分别是函数和的零点（其中），则的取值范围
A．B．2,+∞C．D．
【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）若函数与其反函数的图像有交点，则实数的值可以是（ ）
A．1B．C．2D．
1．已知关于的方程有解，则实数的取值范围是
2．已知指数函数（，且）图象与其反函数的图象有公共点，则a的取值范围是 .
题型十：曼哈顿距离问题
【典例10-1】（2024·浙江·一模）设函数，当时，记的最大值为，则的最小值为 .
【典例10-2】设函数，当时，记最大值为，则的最小值为 .
结论1：已知，为定点，且，则到直线上任意一点的“曼哈顿距离”为：．
结论2：已知两平行直线：，，分别为上任意一点，则之间的“曼哈顿距离”为：．（证明过程留给读者）
【变式10-1】在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”，则椭圆上一点和直线上一点的“折线距离”的最小值为
【变式10-2】（2024·山西晋中·三模）已知函数的最大值为，则满足条件的整数的个数为 ．
1．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离为：.已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·高三·浙江·开学考试）设函数，当时，记的最大值为，若恒成立，则的最大值为（ ）
A．eB．C．0D．
3．（2024·高三·北京丰台·期末）已知函数，当时，记函数的最大值为，则的最小值为（ ）
A．3.5B．4
C．4.5D．5
题型十一：平口单峰函数
【典例11-1】已知函数，当，时，的最大值为，则的最小值为
A．B．C．D．1
【典例11-2】已知，，记的最大值为，则的最小值是
A．B．C．D．
若为上连续的单峰函数，且，则称为平口单峰函数．
结论：若为上的平口单峰函数，且，为极值点，则当变化时，的最大值中的最小值为，当且仅当，时取得．
【变式11-1】已知函数定义域为，，记的最大值为，则的最小值为
A．4B．3C．2D．
【变式11-2】已知，，，若对于任意的恒成立，则 ．
1．已知函数，若对任意的实数，，总存在，，使得成立，则实数的取值范围是
A．B．，C．，D．，
2．设函数，若对任意的正实数和实数，总存在，，使得，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
3．已知函数，对于任意的，，都存在，使得成立，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
题型十二：三次函数
【典例12-1】（2024·河南郑州·一模）已知函数，实数满足， ，则
A．6B．8C．10D．12
【典例12-2】（2024·山西·一模）已知函数存在极值点，且，其中，
A．3B．2C．1D．0
1、由于三次函数的导函数为二次函数，其图象变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点，此结论可以由对称性的定义加以证明．事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点．
2、对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同．导数的几何意义就是求图象在该店处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如果是过某一点，一定要设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可．
【变式12-1】已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．当时，若有三个零点，则b的取值范围为
B．若满足，则
C．若过点可作曲线的三条切线，则
D．若存在极值点，且，其中，则
【变式12-2】（2024·河北唐山·三模）已知函数有两个极值点，且，若，函数，则g(x)
A．仅有一个零点B．恰有两个零点
C．恰有三个零点D．至少两个零点
1．已知函数，若过点可作曲线的三条切线，
则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
2．（2024·四川成都·模拟预测）对于三次函数（），给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（ ）
A．2014B．2013C．D．1007
3．设分别满足方程，.则 .
题型十三：指对同构
【典例13-1】（2024·全国·模拟预测）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于的方程（，，）可化为同构方程，则 ， ．
【典例13-2】（2024·高三·黑龙江鸡西·期中）同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题.如与（可化为）可以同构为.若已知恒成立，则的取值范围是 .
常见同构式
= 1 \* GB3 ①积型
对数化:令，得
指数化:令，得
不等式两边同时取对数变形：令，得
= 2 \* GB3 ②商型
对数化:令，得
指数化:令，得
不等式两边同时取对数变形：令，得
= 3 \* GB3 ③和差型
对数化:令，得
指数化:令，得
再比如令，得．
【变式13-1】同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式．已知实数满足，，则 ．
【变式13-2】（2024·高三·四川内江·期中）若恒成立，则的取值范围为 .
1．（2024·湖南郴州·三模）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
2．设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
3．若关于的不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是 .
题型十四：切线放缩与夹逼
【典例14-1】（2024·山西晋中·二模）若存在实数x，y满足，则（ ）
A．B．0C．1D．
【典例14-2】（2024·云南昆明·一模）若存在，满足，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
（1）指数函数的切线不等式：
①；②．
（2）对数函数的切线不等式：
①；②；③．
（3）三角函数的切线不等式：
①当时， ；当时， ；
②当时， ；当时， ．
③切线与割线相结合的形式：当时， ．
【变式14-1】（2024·河南·一模）已知实数满足，则
A．B．C．D．
【变式14-2】（2024·河南·模拟预测）已知函数，，其中e为自然对数的底数，若存在实数使得成立，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
1．若，是实数，是自然对数的底数，，则 .
2．若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为 ．
3．完成下列各问
（1）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是 ；
（2）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是 ；
（3）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是 ；
（4）已知不等式对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是 ；
（5）已知函数，其中，若恒成立，则实数a与b的大小关系是 ；
（6）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是 ；
（7）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是 ；
（8）已知不等式，对恒成立，则k的最大值为 ；
（9）若，则实数a的取值范围是 ；
4．已知，则的值是 .
题型十五：整数解问题
【典例15-1】已知，存在唯一的整数，使得成立，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例15-2】若满足在上恒成立的a唯一，则整数b的值为（ ）
A．3B．C．4D．
1、直接法：为了得到含参函数的单调性与最值，往往需要对参数进行分类讨论；
2、参数分离法：参数分离后，根据所得函数的图象，讨论参数的取值范围，分离又有完全分离与不完全分离两种．
【变式15-1】已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式15-2】若不等式（其中）的解集中恰有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
1．（2024·高三·重庆·期中）若关于x的不等式 的解集中恰有三个整数解，则整数a的取值是（ ）(参考数据:ln2≈0.6931， ln3≈1.0986)
A．4B．5C．6D．7
2．（2024·湖南长沙·模拟预测）若当时，关于x的不等式恒成立，则满足条件的a的最小整数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
3．若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型十六：导数中的“最短距离”问题
【典例16-1】曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A．B．C．D．
【典例16-2】设表示自然对数的底数，函数（），若关于的不等式有解，则实数的值为（ ）
A．B．C．0D．
此类问题可以通过构造函数、平移直线或者利用不等式等方法来求解
【变式16-1】（2024·高三·天津和平·期中）已知函数，若对任意的正实数t，在R上都是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式16-2】（2024·河北石家庄·一模）已知函数，若存在使得成立，则实数的值为
A．B．C．D．
1．点是曲线上的一个动点，点是曲线上的一个动点，则的最小值为．
A．B．
C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，为曲线在点处的切线上的一个动点，为圆上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知点P是曲线上一点，若点P到直线的距离最小，则点P的坐标为 .
题型十七：等高线问题
【典例17-1】函数，若，且a，b，c，d互不相等，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例17-2】设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
对于函数，若，则直线叫做函数的等高线．此类题通常以求取值范围的形式出现，其基本方法是“减元”，即充分利用函数值相等这一条件实施“消元”．
【变式17-1】已知函数，若关于x的方程有4个不同的实根，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式17-2】设函数，若（其中），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
1．已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，若，其中，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．方程恰有3个不同的实数解
B．函数有两个极值点
C．若关于x的方程恰有1个解，则
D．若，且，则存在最大值
重难点突破：多变量问题
【典例18-1】已知函数，若有两个极值点，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例18-2】已知函数有两个极值点，，若不等式恒成立，那么的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
求解双变量函数或不等式问题的基本思想是通过消元，将双变量问题转化为单变量问题加以解决．可以利用双变量之间的关系代入消元；也可以通过整体换元后化为单变量函数；还可以分离双变量后，根据同构式直接构造函数；对于多变量问题，可以合理选择其中一个变量为主元，逐个处理变量；对于某些含有“任意”“存在”等关键词的恒成立或有解问题，则通过分析函数的值域或最值来解决．
【变式18-1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，若有两个极值点、且，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式18-2】（2024·吉林·模拟预测）已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
1．（2024·高三·江苏镇江·期中）已知函数，，实数，满足，若，0,+∞，使得成立，则的最大值为（ ）
A．7B．6C．D．
2．对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
3．（多选题）已知函数f（x）=ax2﹣x+lnx有两个不同的极值点x1，x2，若不等式恒成立，则t的取值可能是（ ）
A．B．
C．D．
考点要求
目标要求
考题统计
考情分析
零点
掌握零点概念，熟练求解方法。
2024年天津卷第15题，5分
2024年II卷第6题，5分
2023年II卷第11题，5分
2022年I卷第10题，5分
2021年I卷第7题，5分
预测2025年高考数学，导数知识将成为重头戏。它或以简洁明了的选择题、填空题形式独立出现，主要考察基础计算与几何理解，难度相对较低；或巧妙融入解答题之中，成为解题关键。特别是利用导数探究函数单调性、极值与最值等深层次应用，预计将作为选择题、填空题的难点部分，出现在题序后端，难度适中偏上，综合考察学生的分析能力和解题技巧。这样的设计既考验学生的基础知识，又挑战其综合运用能力，是高考数学中的一大亮点。
不等式
掌握导数应用，解决不等式问题。
2024年II卷第8题，5分
2021年II卷第16题，5分
三次函数
理解性质，熟练求解应用。
2024年 I卷第10题，6分
2022年 I卷第10题，5分
2021年 乙卷第12题，5分
判别式
图象
单调性
增区间：，；
减区间：
增区间：
增区间：
图象